第四章 指数函数与对数函数 单元测试（含解析）

单元测试4
一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的零点是（ ）
A． B． C． D．
3．设函数的图象过点（2，1），其反函数的图象过点（2，8），则等于
A．3 B．4 C．5 D．6
4．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
5．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数在区间上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
7．若非零实数，，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
8．设， 则
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
二、多选题
9．已知3是函数的一个零点，则（ ）
A． B． C． D．
10．下列各组函数中，不表示同一函数的是（　　）
A．与
B．与
C．与
D．与
11．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．若的定义域为R，则
B．若的值域为R，则或
C．若，则的单调减区间为
D．若在上单调递减，则
三、填空题
13．若，则______．
14．已知函数（且）的图象恒过定点，则________.
15．若函数（且）有最大值，则的取值范围是___________.
16．若定义域为的函数满足对任意能构成三角形三边长的实数a，b，cI，均有f(a)，f(b)，f(c)也能够成三角形三边长，则m最大值为_____.
四、解答题
17．某乡镇目前人均一年占有粮食360kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么年后人均一年占有kg粮食，求函数关于的解析式.
18．已知对数函数求的值.
19．用二分法求函数在区间内的零点的近似值（误差不超过0.1）．
20．设，其中为实数．
（1）设集合，集合，若，化简集合、集合并求实数的取值范围；
（2）若集合中的元素有且仅有2个，求实数的取值范围．
21．2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活.为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调研研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数且图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数大于等于80时听课效果最佳.
(1)试求的函数关系式；
(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完？请说明理由.
22．已知函数的表达式为
(1)求函数的定义域；
(2)若函数的最小值为，求实数a的值．
单元测试4参考答案
1．【答案】C
【解析】要使函数解析式有意义，需满足解得:.
故选：C
2．【答案】B
【解析】令.
所以函数的零点是.
故选：B
3．【答案】B
【解析】因为的反函数的图象过点，
因此函数的图象过点.
又过点，
则所以
解得或又，所以
所以.
故选B
4．【答案】D
【解析】因为在R上单调递减，
由复合函数单调性可知，只需求出的单调递减区间，
其中单调递减区间为，
故的单调递增区间是.
故选：D
5．【答案】C
【解析】对于A选项：，，故A错误；
对于B选项：，故B错误；
对于C选项：，故C正确；
对于D选项：当时，，而当时，没有意义，故D错误.
故选：C
6．【答案】C
【解析】因为，且，所以函数为奇函数，故排除A，B．
当时，，，，所以；
当时，，，，所以．故排除D．
故选：C．
7．【答案】A
【解析】由已知，得，
得，，，
所以，，，
而，所以.
故选：A．
8．【答案】D
【解析】因为，为单调递增函数，所以即y1>y3>y2，选D.
9．【答案】BD
【解析】显然，，
当时，代入函数可得，可得，
所以.
则，则.
故选：BD
10．【答案】BCD
【解析】对于，的定义域为，的定义域为，所以表示同一函数；
对于，，定义域为，，定义域为，所以不表示同一函数；
对于，的定义域为，的定义域为，则不表示同一函数；
对于，的定义域为，的定义域为，则不表示同一函数．
故选：BCD．
11．【答案】BD
【解析】A错，；
B正确，；
C错，；
D正确，.
故选：BD
12．
【答案】BD
【解析】对于A，若的定义域为R，则在R上恒成立，所以，所以，所以A错误；
对于B，若的值域为R，则，所以或，所以B正确：
对于C，若，则，函数的定义域为，设，即求函数的减区间，由复合函数的单调性原理得函数的单减区间为，所以C错误；
对于D，若在上单调递减，则且，所以，所以D正确．
故选：BD
13．【答案】
【解析】.
故答案为：
14．【答案】3
【解析】根据指数函数过定点的知识可知，解得，所以.
故答案为：
15．【答案】
【解析】因为内函数的是开口向下的二次函数，有最大值，则外函数为增函数，且内函数的最大值为正数,所以， 解得
故答案为：
16．【答案】
【解析】在上严格增，所以 ，不妨设，
对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，
所以，
因为，所以，对任意都成立，
所以，所以，所以，
所以，所以m的最大值为．
故答案为：.
17．【答案】.
【解析】设该乡镇目前人口总量为，则该乡镇目前一年的粮食总产量为360Mkg.
经过1年后，该乡镇粮食总产量为kg，人口总量为，
则人均占有粮食为kg；
经过2年后，人均占有粮食为kg；
……
经过年后，人均占有粮食为kg.
故所求函数的解析式为.
故填：.
18．【答案】3
【解析】因为是对数函数，故，解得，
所以 ，.
19．【答案】
【解析】由题意，函数在上单调递增，则函数在上有唯一零点，列表如下：
次数 ， ， 的近似值 区间长
1 0 1 0.5 0.125 1
2 0 0.5 0.25 0.5
3 0.25 0.5 0.375 0.25
4 0.375 0.5 0.4375 0.125
可得函数在上的零点的近似值为，误差不超过0.1．
20．【答案】（1），；（2）.
【解析】解：（1）化简，
又，所以
（2）由，
得等价于，且，
设，在上严格增，在上严格减，g(1)=1,g(3)=3,g(x)在(0,3)内的图象如图所示.

由题意等价于直线与函数在上恰有两个交点，
此时.
21．【答案】(1)
(2)教师能够合理安排时间讲完题目，理由见解析．
【解析】（1）当，时，设，
将点代入得，
当，时，；
当，时，将点代入，得，
所以；
（2）当，时，，
解得，所以，，
当，时，，
解得，所以，，
综上，时学生听课效果最佳，
此时，
所以，教师能够合理安排时间讲完题目．
22．【答案】(1)；(2)
【解析】（1）令，
解得，
所以函数的定义域为．
（2），令．
当时，，等号当且仅当时成立．
又，所以对数函数在区间上为严格减函数．
因此，当，即时，函数取到最小值．
由题意，可知，解得．