第三章函数的概念与性质 单元测试（含解析）

单元测试3
一、单选题
1．若函数y＝x2－6x－7，则它在[－2,4]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．9，－15 B．12，－15
C．9，－16 D．9，－12
2．若指数函数是上的单调减函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
3．下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知幂函数的图像过点，则（ ）
A． B． C． D．4
5．已知，则的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数是奇函数，定义域为，又在上为增函数，且，则满足的的取值范围是（　　）
A． B．
C．（ D．
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A． B． C． D．
8．已知函数在上单调递减，且为奇函数，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知集合，，下列函数中，若以为定义域，则值域为的子集的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列四个函数：①；②；③；④.其中值域为R的函数有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
11．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则实数的值可为（ ）
A．－3 B．－1
C．1 D．3
12．(多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数
B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数
C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称
D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点
三、填空题
13．函数，的最大值是_________.
14．已知幂函数的图象如图所示，则______．（写出一个正确结果即可）
15．已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数，都有，则不等式的解集为_________.
16．已知定义在R上的函数和函数满足，且对于任意x都满足，则________．
四、解答题
17．用区间表示下列集合：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
18．已知函数,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值.
(1)R；(2)；(3).
19．函数（其中为常数）的图象经过，两点．
（1）求的值；并判断函数的奇偶性；
（2）用函数单调性的定义证明：函数在区间上是增函数．
20．已知，.
(1)求，的值；
(2)求，的值；
(3)求，的值域.
21．求函数的单调区间．
22．已知函数.
（1）若，求证：函数是偶函数；
（2）若，用定义证明函数在上单调递增；
（3）是否存在实数，使得在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
单元测试3参考答案
1．【答案】C
【解析】函数的对称轴为x＝3，
所以当x＝3时，函数取得最小值为－16，
当x＝－2时，函数取得最大值为9，故选C.
2．【答案】C
【解析】由于指数函数是上的单调减函数，则，解得.
故选：C.
3．【答案】D
【解析】两个函数如果是同一函数，则两个函数的定义域和对应法则应相同，
A选项中，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，所以A错误；
B选项中，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，所以B错误，
C选项中，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，所以C错误；
D选项中，，与定义域相同，都是，对应法则也相同，所以二者是同一函数，所以D正确；
故选：D
4．【答案】B
【解析】解：设，依题意，所以，
所以，所以；
故选：B
5．【答案】C
【解析】∵，设，，
，.
故选：C.
常见的函数解析式的求法：
①待定系数法：已知函数类型（如一次函数、二次函数）；
②换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
③配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式；
④消去法：已知与或之间的关系，通过构造方程组得解.
6．【答案】D
【解析】由函数是奇函数，可得，所以，
因为在上为增函数且奇函数的图象关于原点对称，
所以函数的大致图象，如图所示，
当或时，．
故选：D．
7．【答案】C
【解析】对应的自然数为21，即，则或，解得：(舍)，即对应的明文为，故排除A，D；
对应的自然数为23，即，则或，解得：(舍)，，即对应的明文为，故排除B；
故选：C
8．【答案】A
【解析】由为奇函数可知，函数的图象关于点对称，
所以函数的图象关于直线对称.因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增.
又，所以，则.由可知，，解得，
故选：A.
9．【答案】BD
【解析】对于A项，当时，，所以A选项不满足；
对于B项，当时，，所以B项满足；
对于C项，当时，，所以C项不满足；
对于D项，当时，，所以D项满足．
故选：BD
10．【答案】AD
【解析】对于①，易知，一次函数的值域为；
对于②，因为，所以，即
对于③，因为，所以
对于④，当时，；当时，，即
故选：AD
11．【答案】BC
【解析】由题意，函数是定义在上的偶函数，
当时，，
①当时，，
解得，或 (舍去)；
②当时，，
解可得，或 (舍去)；
综上可得，或.
故选：BC.
12．【答案】AB
【解析】对于选项A，若a2－b≤0，
则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2，故在[a，＋∞)上是增函数，故A正确；
对于选项B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|显然是偶函数，故B正确；
对于选项C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|化为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，
但f(x)的图象关于x＝1不对称，故C错误；
对于选项D，令即或，
整理得到或，
而，故有两个不同的解，
且有两个不同的解，且两个方程的解相异，故有4个零点，故D错误．
故选：AB．
13．【答案】
【解析】因为，为增函数，故.
故答案为：.
14．【答案】（答案不唯一）
【解析】由幂函数图象知，函数的定义域是，且在单调递减，于是得幂函数的幂指数为负数，
而函数的图象关于y轴对称，即幂函数是偶函数，则幂函数的幂指数为偶数，
综上得：.
故答案为：
15．【答案】
【解析】不妨令，则等价于
构造函数，则是上的增函数
因为，所以等价于，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
利用函数的单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），求解即可.
16．【答案】5050
【解析】由题意知：定义域为，，可得：，为奇函数，
又，则，可得：
故答案为：5050．
17．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)
18．【答案】(1) 最小值为,无最大值；(2) 最大值为5，最小值为；(3) 最大值为20，最小值为.
【解析】，
函数的图象如图所示，该图象的对称轴为直线.
(1)当时，，当时，等号成立.
故当时，函数的最小值为，无最大值.
(2)由图可知，在上，函数在处取得最大值，最大值为5，在处取得最小值，最小值为.
(3)由图可知，在上，函数在处取得最大值，最大值为20，在处取得最小值，最小值为.
19．【答案】(1) ；是奇函数； (2)证明见解析
【解析】（1）因为函数的图象经过,两点
所以,解方程组可得
代入解析式可得,定义域为
,所以是奇函数
（2）证明:
任取、,且
、，,
，
在上是增函数
20．【答案】(1)，；(2)，；
(3)的值域是，的值域是
【解析】（1）∵，∴
∵，∴.
（2）由（1）知，.
（3）∵，∴，∴的值域是.
∵，∴的值域是.
21．【答案】单调递增区间为，；单调递减区间为，．
【解析】当且，即且时，；
当且，即且时，．
所以函数，
作出函数的图象，如图所示，
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在；.
【解析】（1）若，，的定义域为，关于原点对称，
，所以是偶函数.
（2）任取且，由，
则
由，知，，得
所以，若，函数在上单调递增
（3）
当时，在上，，的最小值在处取得，
令，解得，符合条件；
当时，在上，，的最小值在处取得，
令，解得，符合条件；
当时，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值在处取得，，所以此时最小值不可能是
综上，存在，使得在区间上的最小值为.
方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.
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