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黑龙江省龙西北八校联合体2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知为复数且（为虚数单位），则共轭复数的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ）
A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567
5．为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（ ）
A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度
D．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
6．下列说法中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量X服从正态分布，则
B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，若，则
D．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2
7．在三棱锥中，平面，且.若三棱锥的外接球体积为，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为
A． B． C． D．
8．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的合格率为0.85，第二车间的合格率为0.88，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ）
A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88
二、多选题
9．（2020高一下·广东期中）在公比q为整数的等比数列 中， 是数列 的前n项和，若 ， ，则下列说法正确的是（ ）.
A．
B．数列 是等比数列
C．
D．数列 是公差为2的等差数列
10．下列说法正确的是（ ）
A．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组数据的样本相关系数为1
B．若变量，的样本相关系数为0，则与不存在相关关系
C．若以模型拟合一组样本数据，设，将样本数据进行相应变换后算得回归直线的方程为，则，的估计值分别为和0.5
D．在回归分析中，相关指数的值越大，说明模型拟合的效果越好
11．（2023高二下·长春月考）已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．必有唯一极值点
B．若，则在(0，+∞)上单调递增
C．若，对有恒成立，则
D．若存在，使得成立，则
三、填空题
13．设随机变量，，且，则 .
14．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则展开式中含的项的系数为 .
15．（2020高二下·蚌埠月考）如图所示的五个区域中，中心区 域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 ．
16．（2023高二下·石家庄期中）已知关于x的不等式恒成立，则的取值范围为 .
四、解答题
17．已知函数，其中a为常数．
（1）当函数的图象在点处的切线的斜率为1时，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数在上的最小值.
18．一个袋子里装有除颜色以外完全相同的白球和黑球共10个.若从中不放回地取球，每次取1个球，在第一次取出黑球的条件下，第二次取出白球的概率为.
（1）求白球和黑球各有多少个；
（2）若有放回地从袋中随机摸出3个球，求恰好摸到2个黑球的概率；
（3）若不放回地从袋中随机摸出2个球，用表示摸出的黑球个数，求的分布列和期望.
19．已知函数，其中
（1）若函数在处取得极值，求实数a的值；
（2）若函数在上恒成立，求实数a的取值范围.
20．（2022高二下·普洱期末）某中学是走读中学，为了让学生更有效率的利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习 完成作业，同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下列联表：（单位：人）
是否设立自习室 成绩 合计
非优良 优良
未设立自习室 26 14 40
设立自习室 10 30 40
合计 36 44 80
下面的临界值表供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，其中）
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为设立自习室对提高学生成绩有效？
（2）设从该班第一次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为X；从该班第二次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为Y，求X与Y的均值并比较大小，请解释所得结论的实际含义.
21．近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势，一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了关键作用，另一方面，也成为环境污染，空气污染，土壤污染的重要来源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题.研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提.某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，化肥施用量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）.
参考数据：
650 91.5 52.5 1478.6 30.5 15 15 46.5
表中.
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②若随机变量，则有，；③取.
（1）根据散点图判断与，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；
（3）经生产技术提高后，该化肥的有效率Z大幅提高，经试验统计得Z大致服从正态分布N），那这种化肥的有效率超过58%的概率约为多少？
22．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求使不等式恒成立的最大整数的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法；不等式的综合
【解析】【解答】解：由集合，得不等式，解得：，
因为，所以，由，
可得：，
故答案为：C.
【分析】由集合，得不等式，解出不等式，可得集合A的全部元素，由交集的定义可得最后答案.
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，则共轭复数的虚部为.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z，即可得到其共轭复数，从而得到其虚部.
3．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：若，则，可得，
所以，则，
可得，
所以在上的投影向量的坐标为.
故答案为：C.
【分析】根据向量垂直的坐标表示可得，再根据向量投影的定义结合向量的坐标运算求解.
4．【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记事件A表示“清明节当天下雨”，B表示“第二天下雨”，
由题意可知：，所以．
故答案为：B.
【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.
5．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，
再向左平移个单位得，
所以为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上，
各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，
故答案为：B.
【分析】根据三角函数周期变换与相位变换的性质，逐一验证四个选项即可得结果.
6．【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差；两个变量的线性相关；相关系数；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对A：已知随机变量X服从正态分布，，
则，可得，则，
所以，故A错误；
对B：线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，
相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，
反之，线性相关性越弱，故B错误；
对C：已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，
则，故C错误；
对D：设数据的方差为，
则样本数据的方差为，则，
所以数据的方差为2，故D正确.
故答案为：D.
【分析】对A：利用正态分布的对称性可以求得的值；对B：根据相关系数的意义分析判定；对C：利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值；对D：利用方差的性质可以求得数据的方差.
7．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为平面ABC，所以，
又因为，所以平面PAB，所以，
设PC的中点为O，则O到的四个顶点的距离都相等，所以点O是三棱锥外接球球心，
又因为外接球的体积为，解得外接球半径，所以.
设，则，得，
所以，
当且仅当时，取得最大值，此时，
所以三棱锥的表面积.
故答案为：C.
【分析】根据题意确定球心位置在PC的中点，求出半径得到各棱长，再计算各面面积可解.
8．【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设{从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，{提出的一台是第车间生产的产品}，
则，
由题意可得，，
由全概率公式可得,
故答案为：C.
【分析】设{从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，则{提出的一台是第车间生产的产品}，根据全概率公式即可求出答案．
9．【答案】A,B,C
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列 为等比数列，又 ，所以 ，又 ，
所以 或 ，又公比q为整数，则 ，
即 ， ，
对于A，由上可得 ，即A符合题意；
对于B， ， ，则数列 是等比数列，即B符合题意；
对于C， ，即C符合题意；
对于D， ，即数列 是公差为1的等差数列，即D不符合题意，
即说法正确的是ABC，
故答案为：ABC
【分析】先由已知条件求得数列 的通项公式及前n项和，再利用定义判断数列是否为等差数列或等比数列得解。
10．【答案】A,C,D
【知识点】两个变量的线性相关；相关系数
【解析】【解答】解：对A：因为回归直线方程为，则正相关，又一组样本数据的散点图中所有样本点都在直线上，则这组数据的样本相关系数为1，故A正确；
对B：若变量的样本相关系数为0，则x与y可以存非线性相关关系，故B错误；
对C：由两边取对数得，设，则，
又因为，则的估计值分别为e和0.5，故C正确；
对D：在回归分析中，相关指数的值越大，说明模型拟合的效果越好，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对A：根据直线方程判断；对B：利用相关系数的意义判断；对C：由两边取对数求解判断；对D：根据相关系数的意义判断.
11．【答案】A,C
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，则．
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
当时，取最大值，．
的值域为，
，即，当且仅当时，等号成立．
则有，A选项错；，B选项对；，C选项错；
令，，
当时，，单调递减；
由，则有，即 ，
由，可得，D选项对．
故答案为：AC．
【分析】利用导函数判断函数的单调性，再利用对数函数的运算性质，逐项进行判断，可得答案.
12．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：对A：由题意得，
当时，，此时在定义域内单调递增，无极值点，故A错误；
对B：当时，，故当 时，，
则在上单调递增，故B正确；
对C：当时，对有恒成立，
当时，恒成立，
当时，即对恒成立，
令，此时，
当时，,单调递减；
当时，,单调递增；
故，故，故C错误；
对D：若存在，使得成立，即在时，，
令 ，当时，，
故，故,，故D正确，
故答案为：BD.
【分析】对A：求函数的导数，判断当时，，即此时，无极值点，即可判断A;对B：求出函数的导数，判断其正负即可；对C：构造函数，将有恒成立，转化为求函数的最值问题判断即可；对D：将问题转化为在时，，然后构造函数，求该函数的最值即可.
13．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为，则，
又因为，则，解得，
可得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据二项分布可得，再结合期望、方差的性质运算求解.
14．【答案】45
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：，可得二项式，
令，则，
可得的展开式的通项为，
令，所以的项的系数为，
故答案为：45.
【分析】根据二项式系数相等可求解，根据赋值法可求，进而根据通项即可求解.
15．【答案】84
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】分三种情况：
（1）用四种颜色涂色，有 种涂法；
（2）用三种颜色涂色，有 种涂法；
（3）用两种颜色涂色，有 种涂法；
所以共有涂色方法 .
故答案为：84
【分析】 每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色；A、C同色两大类 。
16．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】不等式可化为，
构造函数，则原不等式可化为
因为，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，
所以，
∴在上单调递增，
∴原不等式可化为即，
由已知在上恒成立，
所以，
设，
∴，令，得，
当时，，函数在单调递增，
当时，，函数在单调递减，
∴，
∴，
∴的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，将不等式可化为，构造函数，则原不等式可化为，再利用导数的运算法则得出导函数，即，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，所以，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出原不等式可化为即，由已知在上恒成立，所以，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，从而结合不等式恒成立问题求解方法和对数的运算法则得出实数的取值范围。
17．【答案】（1）解：函数的定义域为，求导得，
因函数的图象在点处的切线的斜率为1，则，解得，
所以a的值是1.
（2）解：由（1）得，，由得或，
因，则当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上的最小值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1) 根据导数的几何意义可得，进而可得结果；
(2) 利用导数判断在上的单调性，进而可得最值.
18．【答案】（1）解：设袋中由黑球x个，则白球有10-x个，
设取出黑球为事件A，取出白球的事件为B，
则，
解得，
所以白球有4个，黑球有6个；
（2）解：由（1）知摸出黑球的概率是，
则有放回地从袋中随机摸出3个球，
恰好摸到2个黑球的概率为
（3）解：的可能取值为0，1，2，
则，，
，
的分布列为：
X 0 1 2
P
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布的应用；条件概率
【解析】【分析】 (1)设袋中由黑球x个，则白球有10-x个，根据题意结合条件概率公式列式求解；
(2)由(1)知摸出黑球的概率是，根据独立重复性实验的概率公式运算求解；
(3)由题意可知：的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望.
19．【答案】（1）解：依题意，函数的定义域为，求导得：，因函数在处取得极值，
则有，解得，此时，，
当时，，当时，，因此，函数在处取得极值，则，
所以实数a的值是2.
（2）解：因，，
令，，求导得：，
当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，
因此，当时，，于是得，
所以实数a的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1)求导，根据解得，并代入结合单调性检验；
(2) 原题意等价于在上恒成立，令，利用导数判断其单调性和最值，进而可得结果.
20．【答案】（1）解：零假设为：设立自习室对提高学生成绩无效.
根据列联表中的数据，计算得到，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为设立自习室对提高学生成绩有效，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）解：易知X的所有可能取值为0，1，2.
则.
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以.
同理可得Y的所有可能取值为0，1，2，
则，
所以Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
所以，即，其实际含义是设立自习室后学生的数学成绩提高，说明设立自习室对提高学生成绩有效.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题中的数据，利用独立性检验可判断；
(2)先求得分布列，再计算数学期望，从数学期望的比较中可得出结论.
21．【答案】（1）解：根据散点图，呈现非线性的变化趋势，故更适合作为关于的回归方程类型.
（2）解：对两边取对数，得，即，
由表中数据得：，，
，则，
∴关于的回归方程为，
当时，，
∴当化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量约为810公斤.
（3）解：依题意，，则有，
∴，则，
∴这种化肥的有效率超过58%的概率约为.
【知识点】变量间的相关关系；两个变量的线性相关；正态密度曲线的特点；3σ原则
【解析】【分析】 (1) 根据散点图的变化趋势分析判断；
(2) 对两边取对数，整理可得，进而利用线性回归方程运算求解；
(3) 由题意可得，结合正态分布的对称性运算求解.
22．【答案】（1）解：当时，，
∴ 由，解得；由，得
∴的单调递增区间为，单调递增区间为
（2）解：由恒成立，得，
∴．
∵，∴恒成立
设，则
令，则．
∵，∴在上单调递增
而．
∴存在，使，即
∴当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
∴在处有极小值（也是最小值）
∴．
又由恒成立，即
∴的最大整数值为3.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，利用导数判断原函数的单调性；
(2) 根据题意分析可得 当时，恒成立，设，利用导数判断其单调性和最值，并结合零点代换分析求解.
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黑龙江省龙西北八校联合体2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法；不等式的综合
【解析】【解答】解：由集合，得不等式，解得：，
因为，所以，由，
可得：，
故答案为：C.
【分析】由集合，得不等式，解出不等式，可得集合A的全部元素，由交集的定义可得最后答案.
2．已知为复数且（为虚数单位），则共轭复数的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，则共轭复数的虚部为.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z，即可得到其共轭复数，从而得到其虚部.
3．已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：若，则，可得，
所以，则，
可得，
所以在上的投影向量的坐标为.
故答案为：C.
【分析】根据向量垂直的坐标表示可得，再根据向量投影的定义结合向量的坐标运算求解.
4．下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ）
A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567
【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记事件A表示“清明节当天下雨”，B表示“第二天下雨”，
由题意可知：，所以．
故答案为：B.
【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.
5．为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（ ）
A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度
D．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，
再向左平移个单位得，
所以为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上，
各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，
故答案为：B.
【分析】根据三角函数周期变换与相位变换的性质，逐一验证四个选项即可得结果.
6．下列说法中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量X服从正态分布，则
B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，若，则
D．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2
【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差；两个变量的线性相关；相关系数；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对A：已知随机变量X服从正态分布，，
则，可得，则，
所以，故A错误；
对B：线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，
相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，
反之，线性相关性越弱，故B错误；
对C：已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，
则，故C错误；
对D：设数据的方差为，
则样本数据的方差为，则，
所以数据的方差为2，故D正确.
故答案为：D.
【分析】对A：利用正态分布的对称性可以求得的值；对B：根据相关系数的意义分析判定；对C：利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值；对D：利用方差的性质可以求得数据的方差.
7．在三棱锥中，平面，且.若三棱锥的外接球体积为，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：因为平面ABC，所以，
又因为，所以平面PAB，所以，
设PC的中点为O，则O到的四个顶点的距离都相等，所以点O是三棱锥外接球球心，
又因为外接球的体积为，解得外接球半径，所以.
设，则，得，
所以，
当且仅当时，取得最大值，此时，
所以三棱锥的表面积.
故答案为：C.
【分析】根据题意确定球心位置在PC的中点，求出半径得到各棱长，再计算各面面积可解.
8．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的合格率为0.85，第二车间的合格率为0.88，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（ ）
A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88
【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设{从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，{提出的一台是第车间生产的产品}，
则，
由题意可得，，
由全概率公式可得,
故答案为：C.
【分析】设{从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，则{提出的一台是第车间生产的产品}，根据全概率公式即可求出答案．
二、多选题
9．（2020高一下·广东期中）在公比q为整数的等比数列 中， 是数列 的前n项和，若 ， ，则下列说法正确的是（ ）.
A．
B．数列 是等比数列
C．
D．数列 是公差为2的等差数列
【答案】A,B,C
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列 为等比数列，又 ，所以 ，又 ，
所以 或 ，又公比q为整数，则 ，
即 ， ，
对于A，由上可得 ，即A符合题意；
对于B， ， ，则数列 是等比数列，即B符合题意；
对于C， ，即C符合题意；
对于D， ，即数列 是公差为1的等差数列，即D不符合题意，
即说法正确的是ABC，
故答案为：ABC
【分析】先由已知条件求得数列 的通项公式及前n项和，再利用定义判断数列是否为等差数列或等比数列得解。
10．下列说法正确的是（ ）
A．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组数据的样本相关系数为1
B．若变量，的样本相关系数为0，则与不存在相关关系
C．若以模型拟合一组样本数据，设，将样本数据进行相应变换后算得回归直线的方程为，则，的估计值分别为和0.5
D．在回归分析中，相关指数的值越大，说明模型拟合的效果越好
【答案】A,C,D
【知识点】两个变量的线性相关；相关系数
【解析】【解答】解：对A：因为回归直线方程为，则正相关，又一组样本数据的散点图中所有样本点都在直线上，则这组数据的样本相关系数为1，故A正确；
对B：若变量的样本相关系数为0，则x与y可以存非线性相关关系，故B错误；
对C：由两边取对数得，设，则，
又因为，则的估计值分别为e和0.5，故C正确；
对D：在回归分析中，相关指数的值越大，说明模型拟合的效果越好，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对A：根据直线方程判断；对B：利用相关系数的意义判断；对C：由两边取对数求解判断；对D：根据相关系数的意义判断.
11．（2023高二下·长春月考）已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，则．
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
当时，取最大值，．
的值域为，
，即，当且仅当时，等号成立．
则有，A选项错；，B选项对；，C选项错；
令，，
当时，，单调递减；
由，则有，即 ，
由，可得，D选项对．
故答案为：AC．
【分析】利用导函数判断函数的单调性，再利用对数函数的运算性质，逐项进行判断，可得答案.
12．已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．必有唯一极值点
B．若，则在(0，+∞)上单调递增
C．若，对有恒成立，则
D．若存在，使得成立，则
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：对A：由题意得，
当时，，此时在定义域内单调递增，无极值点，故A错误；
对B：当时，，故当 时，，
则在上单调递增，故B正确；
对C：当时，对有恒成立，
当时，恒成立，
当时，即对恒成立，
令，此时，
当时，,单调递减；
当时，,单调递增；
故，故，故C错误；
对D：若存在，使得成立，即在时，，
令 ，当时，，
故，故,，故D正确，
故答案为：BD.
【分析】对A：求函数的导数，判断当时，，即此时，无极值点，即可判断A;对B：求出函数的导数，判断其正负即可；对C：构造函数，将有恒成立，转化为求函数的最值问题判断即可；对D：将问题转化为在时，，然后构造函数，求该函数的最值即可.
三、填空题
13．设随机变量，，且，则 .
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为，则，
又因为，则，解得，
可得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据二项分布可得，再结合期望、方差的性质运算求解.
14．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则展开式中含的项的系数为 .
【答案】45
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：，可得二项式，
令，则，
可得的展开式的通项为，
令，所以的项的系数为，
故答案为：45.
【分析】根据二项式系数相等可求解，根据赋值法可求，进而根据通项即可求解.
15．（2020高二下·蚌埠月考）如图所示的五个区域中，中心区 域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 ．
【答案】84
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】分三种情况：
（1）用四种颜色涂色，有 种涂法；
（2）用三种颜色涂色，有 种涂法；
（3）用两种颜色涂色，有 种涂法；
所以共有涂色方法 .
故答案为：84
【分析】 每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色；A、C同色两大类 。
16．（2023高二下·石家庄期中）已知关于x的不等式恒成立，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】不等式可化为，
构造函数，则原不等式可化为
因为，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，
所以，
∴在上单调递增，
∴原不等式可化为即，
由已知在上恒成立，
所以，
设，
∴，令，得，
当时，，函数在单调递增，
当时，，函数在单调递减，
∴，
∴，
∴的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，将不等式可化为，构造函数，则原不等式可化为，再利用导数的运算法则得出导函数，即，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，所以，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出原不等式可化为即，由已知在上恒成立，所以，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，从而结合不等式恒成立问题求解方法和对数的运算法则得出实数的取值范围。
四、解答题
17．已知函数，其中a为常数．
（1）当函数的图象在点处的切线的斜率为1时，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数在上的最小值.
【答案】（1）解：函数的定义域为，求导得，
因函数的图象在点处的切线的斜率为1，则，解得，
所以a的值是1.
（2）解：由（1）得，，由得或，
因，则当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上的最小值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1) 根据导数的几何意义可得，进而可得结果；
(2) 利用导数判断在上的单调性，进而可得最值.
18．一个袋子里装有除颜色以外完全相同的白球和黑球共10个.若从中不放回地取球，每次取1个球，在第一次取出黑球的条件下，第二次取出白球的概率为.
（1）求白球和黑球各有多少个；
（2）若有放回地从袋中随机摸出3个球，求恰好摸到2个黑球的概率；
（3）若不放回地从袋中随机摸出2个球，用表示摸出的黑球个数，求的分布列和期望.
【答案】（1）解：设袋中由黑球x个，则白球有10-x个，
设取出黑球为事件A，取出白球的事件为B，
则，
解得，
所以白球有4个，黑球有6个；
（2）解：由（1）知摸出黑球的概率是，
则有放回地从袋中随机摸出3个球，
恰好摸到2个黑球的概率为
（3）解：的可能取值为0，1，2，
则，，
，
的分布列为：
X 0 1 2
P
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布的应用；条件概率
【解析】【分析】 (1)设袋中由黑球x个，则白球有10-x个，根据题意结合条件概率公式列式求解；
(2)由(1)知摸出黑球的概率是，根据独立重复性实验的概率公式运算求解；
(3)由题意可知：的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望.
19．已知函数，其中
（1）若函数在处取得极值，求实数a的值；
（2）若函数在上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：依题意，函数的定义域为，求导得：，因函数在处取得极值，
则有，解得，此时，，
当时，，当时，，因此，函数在处取得极值，则，
所以实数a的值是2.
（2）解：因，，
令，，求导得：，
当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，
因此，当时，，于是得，
所以实数a的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1)求导，根据解得，并代入结合单调性检验；
(2) 原题意等价于在上恒成立，令，利用导数判断其单调性和最值，进而可得结果.
20．（2022高二下·普洱期末）某中学是走读中学，为了让学生更有效率的利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习 完成作业，同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下列联表：（单位：人）
是否设立自习室 成绩 合计
非优良 优良
未设立自习室 26 14 40
设立自习室 10 30 40
合计 36 44 80
下面的临界值表供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，其中）
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为设立自习室对提高学生成绩有效？
（2）设从该班第一次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为X；从该班第二次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为Y，求X与Y的均值并比较大小，请解释所得结论的实际含义.
【答案】（1）解：零假设为：设立自习室对提高学生成绩无效.
根据列联表中的数据，计算得到，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为设立自习室对提高学生成绩有效，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）解：易知X的所有可能取值为0，1，2.
则.
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以.
同理可得Y的所有可能取值为0，1，2，
则，
所以Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
所以，即，其实际含义是设立自习室后学生的数学成绩提高，说明设立自习室对提高学生成绩有效.
【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题中的数据，利用独立性检验可判断；
(2)先求得分布列，再计算数学期望，从数学期望的比较中可得出结论.
21．近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势，一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了关键作用，另一方面，也成为环境污染，空气污染，土壤污染的重要来源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题.研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提.某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，化肥施用量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）.
参考数据：
650 91.5 52.5 1478.6 30.5 15 15 46.5
表中.
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②若随机变量，则有，；③取.
（1）根据散点图判断与，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；
（3）经生产技术提高后，该化肥的有效率Z大幅提高，经试验统计得Z大致服从正态分布N），那这种化肥的有效率超过58%的概率约为多少？
【答案】（1）解：根据散点图，呈现非线性的变化趋势，故更适合作为关于的回归方程类型.
（2）解：对两边取对数，得，即，
由表中数据得：，，
，则，
∴关于的回归方程为，
当时，，
∴当化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量约为810公斤.
（3）解：依题意，，则有，
∴，则，
∴这种化肥的有效率超过58%的概率约为.
【知识点】变量间的相关关系；两个变量的线性相关；正态密度曲线的特点；3σ原则
【解析】【分析】 (1) 根据散点图的变化趋势分析判断；
(2) 对两边取对数，整理可得，进而利用线性回归方程运算求解；
(3) 由题意可得，结合正态分布的对称性运算求解.
22．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求使不等式恒成立的最大整数的值.
【答案】（1）解：当时，，
∴ 由，解得；由，得
∴的单调递增区间为，单调递增区间为
（2）解：由恒成立，得，
∴．
∵，∴恒成立
设，则
令，则．
∵，∴在上单调递增
而．
∴存在，使，即
∴当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
∴在处有极小值（也是最小值）
∴．
又由恒成立，即
∴的最大整数值为3.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，利用导数判断原函数的单调性；
(2) 根据题意分析可得 当时，恒成立，设，利用导数判断其单调性和最值，并结合零点代换分析求解.
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