2023-2024学年苏科版数学九年级上册1.3一元二次方程的根与系数的关系（四大典型题型巩固）（无答案）

1.3一元二次方程的根与系数的关系（四大典型题型巩固）
知识梳理 【知识点1】根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 【知识点2】一元二次方程的根与系数的关系 （1）如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用前提条件为a≠0，Δ≥0. （2）重要变形： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． 【典型例题】 题型一：由根与系数的关系直接求代数式的值 【例题】已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： （1） （2） 【变式训练】 1.若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） B． C．1 D．7 2.设α，β是一元二次方程x2+5x﹣99＝0的两个根，则α β的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．99 D．﹣99 3.设a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（　　） A．2022 B．﹣2022 C．2020 D．﹣2020 4.若一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 5.关于x的一元二次方程－x＋p－1＝0有两实数根、． （1）求p的取值范围； （2）若p=0，求的值； （3）若[2＋（1－）][2＋（1－）]＝9，求p的值． 【典型例题】 题型二：由根与系数的关系求参数的值 【例题】已知一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【变式训练】 1.已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣1＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝10，求k的值． 3.关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【典型例题】 题型三：一元二次方程的整数根 【例题】若关于x的一元二次方程 的一个根为m，则方程的两根分别是（ ）． A．， B．， C．， D． ， 【变式训练】 1.已知关于的一元二次方程. （1）求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一根为3，求另一个根 2．关于的一元二次方程： (1)若方程有两个不等的实数根，求的取值范围； (2)若、是方程的两根，且．求的值． 3．已知关于的方程 (1)求证：无论取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根； (2)若这个方程的两个实数根满足，求的值及相应的、． 【典型例题】 题型四：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 【例题】已知关于x的方程有两实数根，， (1)若，求k的值． (2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由． 【变式训练】 1.已知，关于x的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围． (2)若方程的两实根为且满足，求k的值． (3)当k为何值时，式子有最小值，并求出该最小值． 2.已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为，，且，求m的值． 3.已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0. (1)不解方程，判断方程的根的情况； (2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长． 题组A 基础过关练 1．已知一元二次方程有两个实数根，则的值为（ ） A．1 B． C．3 D． 2．设一元二次方程的两个实根为和，则（　　） A． B．2 C． D．3 3．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（　　） A． B． C．3 D．5 4.若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A． B． C． D． 5.若一元二次方程的两个根为、，则是（ ） A．1 B． C．2 D． 6.一元二次方程的两个根为， 则___________． 7.是关于的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是______ 8．已知一元二次方程的两个实数根分别为，且的值为菱形的棱长，则菱形的周长为______． 9．若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________． 10.关于x的方程 (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根． (2)若此方程的一个根为1，求m的值： (3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长 11.已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意给定的实数，方程恒有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 12．已知：关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根为，求的值，并求另一根； （3）若方程两根为，，且满足，求的值． 题组B 能力提升练 1．若实数，满足条件：，，则的值是　　 A．2 B． C． D．2或 2．已知一元二次方程的两根分别是、，则的值是　　 A． B．2 C． D．3 3.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣x﹣7＝0的两个实数根，则+4x1x2+的值是（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．﹣13 D．﹣30 4.若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实根，则m2+4m+2n的值是（　　） ﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 5.已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（ ） A．或5 B．或 C． D．5 6．）若是关于的一元二次方程的一个根．则与方程另一个根分别是（ ） A．6，5 B．5， C．2，5 D．，5 7．方程的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 8.关于的方程（为常数）有两个不相等的正根，则的取值范围是______． 9．关于x的方程的两个根分别是，则______________． 10．若、为的两根，则的值为______． 11．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，求实数的值； （3）求使的值为整数的实数的整数值． 12．已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围． （2）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由． （3）求使为负整数的实数的整数值．