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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二十一章
课标要求 “数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。本章的具体要求：能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组；理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系；了解一元二次的根与系数的关系；知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题；能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性，建立模型观念。
内容分析 “一元二次方程”主题单元结构包括一元二次方程的概念、解法和一元二次方程的应用。第一节研究一元二次方程的概念及一般形式；第二节研究用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；第三节研究一元二次方程的应用。一元二次方程是在学习了一元一次方程、二元一次方程组等的基础上进一步学习，是对以前实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，它也是一种数学建模的方法，同时又是以后学习一元二次不等式、二次函数等知识的基础，是学好高中数学的基础。此外，学习一元二次方程对其他学科有重要意义，因此，它在初中数学中占有重要的地位。结合学生的实际水平，采用探索学习方式，以类比发现法为主，讨论法、练习法为辅的教学方法，教学中力求体现“问题情境一数学模型一求解一解释应用”的模式，借助多媒体辅助教学指导学生通过观察直观形象的演示,从具体的问题情境中抽象出数学问题，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性的解决问题，有效的发挥学生的思维能力。
学情分析 九年级的学生，在讲本节课之前，已经系统的学习了一元一次方程及相关概念，学习了整式、分式和二次根式，从知识结构上看他们已经具备了继续探一元二次方程的基础。这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有一定的提高。但是通过近一阶段的教学，也发现很多问题：解一元一次方程、整式乘法、移项、去分母、去括号、分解因式、合并同类项、乘法公式的应用都还存在一问题，在本章知识的教学中，要加强学生计算能力的培养，巩固以前所学的知识。
单元目标 （一）教学目标1、联系一元一次方程、方程组和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型。2、了解一元二次方程及其相关概念，理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法。3、理解配方法的意义，用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程(数字系数)，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。4、掌握根的判别式的有关应用，理解一元二次方程两根与系数的关系。5、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题，解决问题的意识和能力。6、经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力。（二）教学重点、难点教学重点：一元二次方程的四种解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及一元二次方程的实际应用。教学难点：列一元二次方程解决实际问题和转化思想的灵活运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数21.1 一元二次方程121.2 解一元二次方程421.3实际问题与一元二次方程1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务21.1一元二次方程通过一元一次方程的概念，探索归纳一元二次方程的概念，提高学生类比、归纳、总结的能力; .掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。学生能够根据概念判断出一元二次方程；正确指出一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项任务1.出示问题：一元一次方程的概念，一元一次方程的形式任务2.出示四个问题来探究一元二次方程任务3.步步追问，得出一元二次方程的概念任务4.出示例题任务5.归纳总结21.2.1配方法1.通过平方根的意义，解形如x2=p(p≥0)的方程，再通过数学转化的思想，解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程；2.掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤；通过配方法将一元二次方程变形，让学生进一步体会转化的思想，增强他们的数学应用意识和能力，激发学生学习的兴趣。会利用直接开平方法解一元二次方程；掌握利用配方法解一元二次方程的步骤，正确解出一元二次方程；掌握转化思想在解题中的应用。任务1：由实际问题得出直接开平方法解一元二次方程；任务2：探究配方法解一元二次方程的步骤；任务3：通过例题进一步理解掌握因式分解法；21.2.2公式法1.会用公式法解一元二次方程；2.理解用根的判别式判别根的情况；3.通过推导求根公式的过程，加强推理能力的训练，进一步发展逻辑思维能力， 体验类比、转化、降次的数学思想。会利用公式法解一元二次方程；掌握用判别式判断根的情况；会推导求根公式。任务1：由配方法推导出根的判别式；任务2：得出一元二次方程的求根公式任务3：通过例题掌握用公式法解一元二次方程。21.2.3因式分解法1.利用因式分解法解一元二次方程；2.能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法；3.通过学生讨论解一元二次方程的方法，理 解对于某些特殊的一元二次方程，利用因式分解法解起来较为简单，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。让学生再次体会“降次”的思想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。理解因式分解法解一元二次方程的原理，体会“降次”方法的优势；能判断什么情况用因式分解法解一元二次方程简便；会利用因式分解法准确求一元二次方程的解。任务1：探究解方程的方法任务2：思考一元二次方程是如何降次的，得出因式分解法任务3：通过例题掌握用因式分解法解一元二次方程。21.2.4一元二次方程根与系数的关系1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算；3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，掌握由特殊一般-特殊的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神。学生掌握一元二次方程根与系数的关系；会利用一元二次方程根与系数的关系解方程。任务1：思考从因式分解法还原到一般式得出根与系数的关系任务2：用求根公式验证根与系数的关系任务3：通过例题会用根与系数的关系求两根的和与积。21.3实际问题与一元二次方程能够利用一元二次方程解决有关实际问题；能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题，解决问题的意识和能力学生能找出题目的等量关系列出方程，并能注意解的合理性，进行取舍。任务1.传播问题任务2.平均增长率问题任务3.几何面积问题
《第二十一章 一元二次方程》单元教学设计
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分课时教学设计
第二课时《一元二次方程根与系数的关系》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2.4的内容,一元二次方程根与系数的关系(也称韦达定理)，该内容是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
学习者分析 从学生心理特征来看，他们有一定的分析问题、归纳问题的能力。因此本节课，注重激发学生的求知欲，让他们真正成为学习的主人。所以在教学中我抓住这些特点一方面运用色彩绚丽的图片课件，激发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面，我创造机会和条件，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，充分体现新课程所倡导的以学生为本的理念。
教学目标 1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题. 3.经历探索一元二次方程的根与系数的关系，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力.
教学重点 一元二次方程根与系数关系
教学难点 让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，能运用根与系数的关系解决待定字母及代数式求值问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 【提问】 1. 一元二次方程的一般形式？ 2. 一元二次方程有实数根的条件是什么？ 3. 一元二次方程的求根公式是什么？学生活动1： 学生思考，回忆回答问题 活动意图说明： 先回顾解一元二次方程的相关知识，为本节课学生学习一元二次方程根与系数关系做好铺垫。环节二：新知探究教师活动2： 思考： 从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0 这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2. 于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： (x1+x2)=-p，x1x2=q. 学生活动2： 先由学生思考，再由教师给出答案 学生积极回答，允许学生有不同的观点 通过引导，学生得出：可以将方程10x-4.9x2=0，通过因式分解变形为：x(10-4.9x)=0。 学生积极思考，学生板演 学生积极思考，教师引导与总结活动意图说明：通过求解一元二次方程的过程，锻炼学生选择合适方法解一元二次方程的能力。再通过小组讨论环节，引导学生通过观察，得出一元二次方程根与系数关系的猜想。教师通过适当引导，培养学生解决问题的能力，激发学生的主动性和求知欲环节三：新知探究教师活动3: 思考： 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 根据求根公式可知，， 由此可得 × 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系为：=.学生活动3： 学生思考，利用求根公式解方程。 教师通过多媒体展示具体推导过程。活动意图说明：推导韦达定理的方法不难，但是重在学生理解推导方法。第一种推导方法是利用求根公式，从而得出一元二次方程两个根的和与积的关系。第二种方法已知一元二次方程两个根x1、x2，先利用因式分解法将方程变形为a(x-x1)(x-x2)，再通过化简得到：a[x2-(x1+x2)x+x1x2] 而 ax2+bx+c=a(x2++)，所以a(x2++) =a[x2-(x1+x2)x+x1x2]，从而得出一元二次方程两个根的和与积的关系。使用韦达定理需要特别注意：首先将一元二次方程化为一般式，再验证Δ是否大于等于0。以一元二次方程根与系数的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力。环节四：典例精析 教师活动3： 例：根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－6x－15＝0; (2) 3x2＋7x－9＝0; (3) 5x－1＝4x2. 例、设x1、x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , （2) x1·x2= , （3) = , （4) ， 学生活动3： 请学生板演，然后师生共同纠错 解：(1)x1+x2 x1x2 = = (2)x1+x2 x1x2 = = (3) x1+x2 x1x2 = = 答案：4,1，14,6活动意图说明：加深学生对因式分解法求解一元二次方程的理解与掌握。环节四：归纳总结教师活动4： 知识拓展 常见的求值: (1)()()= (2) (3) (4) 步骤:1.根据方程的系数求出两根之和与两根之积； 把代数式化成只含两根之和与两根之积的形式; 代入数值进行计算.学生活动4： 先由学生尝试化简，老师最后订正归纳 活动意图说明：考查一元二次方程根与系数关系的题目中，利用韦达定理直接求方程的根是基础题，通常还会遇到已知一元二次方程，求代数式值或已知式子的值求未知数的题目，本环节我们就展示如何通过韦达定理求这些常见代数式的值，再次加深学生对一元二次方程根与系数的关系理解与掌握。
板书设计 1.一元二次方程根与系数的关系：=. 2.根与系数关系的应用
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（ ） A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2 2.若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ） A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．4010 3.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____. 4.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= . 选做题： 5.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 6.当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1. 【综合拓展类作业】 7.已知x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根， 且x12 +x22 =4，求k的值.
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.若方程的两个根为,则的值为( ) A.6 B .-6 C.2 D.-2 2.已知是一元二次方程1-4x=的两个根，则 ， 。 选做题： 3.已知关于x的一元二次方程的两根分别为,试求下列代数式的值： (1)；(2) 【综合拓展类作业】 4．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋5x－p2＝0 的两个实数根为 x1，x2，当 x1＋x2＝x1x2 时，求 p 的值．
教学反思 1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。 2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力 3．使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。
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21.2.4一元二次方程根与系数的关系
人教版九年级上册
教材分析
《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2.4的内容,一元二次方程根与系数的关系(也称韦达定理)，该内容是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
教学目标
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系.
2.灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题.
3.经历探索一元二次方程的根与系数的关系，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力.
新知导入
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程有实数根的条件是什么？
3. 一元二次方程的求根公式是什么
ax2+bx+c=0（a≠0）
新知讲解
思考 从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程
x2-(x1+x2)x+x1x2=0
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：
(x1+x2)=-p，x1x2=q.
新知讲解
思考 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
根据求根公式可知，，
由此可得
×
归纳总结
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系为：
=.
必须
b2-4ac≥0
典例精析
例：根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2－6x－15＝0; (2) 3x2＋7x－9＝0;
(3) 5x－1＝4x2.
解: (1)x1+x2=-=-(-6)=6，
x1x2==-15.
(2) x1+x2=-=-，
x1x2==
(3)化一般式，得4x2-5x+1＝0，
-=
x1x2==
新知讲解
步骤:1.根据方程的系数求出两根之和与两根之积；
2.把代数式化成只含两根之和与两根之积的形式;
3.代入数值进行计算.
★常见的求值:
(1)()()=
(2)
(3)
(4)
典例精析
例、设x1、x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1+x2= ,
（2) x1·x2= ,
（3) = ,
（4) ，
4
1
14
6
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（ ）
A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2
2.若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．4010
D
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.
4.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .
-3
1
-2
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1 + x2=1+x2=6，
即：x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1
∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=
解得k1=9,k2= -3
当k=9或-3时，由于△＞0，∴k的值为9或-3.
∴（）2-4×=1
6.当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.已知x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，
且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4(k - 1)2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2
= 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.
由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4,
解得 k1= 0 , k2 = 4 .
经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
课堂总结
根与系数的关系
（韦达定理）
内 容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
=.
应 用
板书设计
1.一元二次方程根与系数的关系：=.
2.根与系数关系的应用
21.2.4一元二次方程根与系数的关系
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.若方程的两个根为,则的值为( )
A.6 B .-6 C.2 D.-2
2.已知是一元二次方程1-4x=的两个根，则 ， 。
D
2
8
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.已知关于x的一元二次方程的两根分别为,试求下列代数式的值：
(1)；(2)
解：在方程中，a=1，b=-1，c=-1
∴
（1）=
（2）==
作业布置
【综合拓展类作业】
4．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋5x－p2＝0 的两个实数根为 x1，x2，
当 x1＋x2＝x1x2 时，求 p 的值．
解：在方程中，a=1，b=5，c=
∴ ，
∵=
∴-5=
解得p=
谢谢
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