圆的面积公式的推导及应用（课件）-六年级上册数学人教版(共38张PPT)
文档属性
| 名称 | 圆的面积公式的推导及应用（课件）-六年级上册数学人教版(共38张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 26.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-16 10:41:42 | ||
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文档简介
(共38张PPT)
圆的面积
的推导及应用
05
圆
R·六年级上册
一匹马被拴在木桩上。马在它活动的最大范围内走一圈。马最多能吃多大面积的草呢？
创设情境，揭示课题
复习导入
推导过程：长方形的面积=长×宽
平行四边形的面积=底×高
平行四边形的面积公
式是怎样得到的呢？
采用“割补法”，把平行四边形变成长方形。
能不能把圆转化成我们已经学过的图形来推导出圆的面积计算公式呢？
计算下列图形面积。
S=ab
a
b
a
h
a
h
S=ah
S= ah
想一想，我们是用什么方法推导出平行四边形和三角形的面积计算公式？
合作探究，推导圆的面积计算公式
哪个圆的面积大一些？为什么？
R
r
半径决定圆的大小。
画圆时，选取的半径越大，圆的面积就越大。
3cm
5cm
探索新知
探究点 圆的面积计算公式的推导
什么是圆的面积呢？
这个圆形草坪的占地面积是多少平方米呢？
圆所占平面的大小就是圆的面积。
怎样计算一个圆的面积呢？
圆的面积介于这两个正方形面积之间。
探索新知
怎样计算一个圆的面积呢？
这个圆形草坪的占地面积是多少平方米呢？
采用“割补法”转化成学过的图形
把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似于等腰三角形的小纸片拼一拼，你能发现什么？
探索新知
动手操作
在硬纸上画一个圆，把圆分成若干(偶数)等份，剪开后，用这些近似于等腰三角形的小纸片拼一拼，你能发现什么？
注意事项
等分圆时，要沿着半径剪开，分成偶数份；拼接时，要使半径重合。
探索新知
四
等
分
①把圆平均分成4份后，拼成近似的平行四边形。
探索新知
八
等
分
②把圆平均分成8份后，拼成近似的平行四边形。
探索新知
十六等分
③把圆平均分成16份后，拼成近似的平行四边形。
探索新知
三
十
二
等
分
④把圆平均分成32份后，拼成近似的平行四边形。
探索新知
以拼成的近似平行四边形为例：
圆面8等分时：
圆面16等分时：
圆面32等分时：
通过观察，你们发现了什么？
以拼成的近似平行四边形为例：
圆八等分时：
圆十六等分时：
圆三十二等分时：
2
1
4
3
7
8
5
6
1
2
3
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6
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8
16
15
14
13
12
11
10
9
平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
C
2
r
从上图中可以看出圆的半径是r，长方形的宽近似( )，长近似于( )。
圆周长的一半
圆的半径
因为: 长方形面积= 长 × 宽
所以: 圆的面积 = ×
πr
r
C=2πr
πr
=
如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是 ：
S＝πr
探索新知
发现：分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
从图中可以看出圆的半径是r，长方形的长近似于( )，宽近似于( )。
因为长方形的面积＝( )×( )，
所以圆的面积＝( )×( )＝( )。
如果用 S 表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是 ：
圆周长的一半
圆的半径
长
宽
πr
r
πr
S＝πr 。
探索新知
＝3.14×100
＝314(m2)
20÷2=10(m)
例1
圆形草坪的直径是20 m，每平方米草皮8元。铺满这个草坪需要多少元？
3.14×102
答：铺满这个草坪需要2512元。
求出圆的半径
根据公式求出圆的面积
“单价×数量＝总价”，
求出铺满这个草坪需要的钱数
14×8=2512(元)
例2 用一条3米长的绳子把一匹马拴在桩子上(接头处不计)，马在它活动的最大范围内走一圈，这一圈的长是多少？马最多能吃多大面积的草呢？
C=2πr
=2×3.14×3
=18.84（m）
=3.14×32
=28.26（m2）
答：这一圈的长是18.84米，马最多能吃28.26m2的草。
把一张圆形纸片分成若干(偶数)等份，拼成一个近似的长方形。如下图。
拼成的近似长方形的长相当于圆
( )，长方形的宽相当于圆的( )，因为长方形的面积＝( )，所以圆的面积公式用字母表示是( )。
探索新知
小试牛刀
周长的一半
半径
长×宽
S＝πr2
巩固练习
1. 上海南站是世界上第一个圆形火车站，其圆形顶棚是建筑设计施工中的最大亮点，圆顶直径约有270 m，圆顶的面积约是多少平方米？
3.14×（270÷2）2=57226.5（m2）
答：圆顶的面积约是57226.5平方米。
2. 同学们在操场上围成圆圈做“丢手绢”游戏，乐乐绕圆圈跑一圈跑了12.56m。 那么同学们所围成的圆圈的面积是多少平方米？
12.56÷3.14÷2=2（m）
答：圆圈的面积是12.56平方米。
3.14×22=12.56（m2）
当堂练习
1．如图，如果拼成的近似长方形的周长比圆的周长增加了12厘米，则这个圆的面积是多少平方厘米？
3.14×(12÷2)2＝
113.04(平方厘米)
答：这个圆的面积是113.04平方厘米。
当堂练习
2．计算圆的面积。
3.14×32＝28.26(dm2)
3.14×() 2＝78.5(cm2)
当堂练习
3．(易错题)如图，正方形的面积是18 cm2，这个圆的面积是多少平方厘米？
3.14×18＝56.52(cm2)
答：这个圆的面积是
56.52 cm2。
正方形的面积相当于半径的平方。
当堂练习
4．学校有一个半圆形的景观池，沿景观池周围围了一圈护栏，护栏的长是25.7米，这个景观池的占地面积是多少平方米？
25.7÷(3.14＋2)＝5(米)
×3.14×52＝39.25(平方米)
答：这个景观池的占地面积是39.25平方米。
5.轧路机前轮直径1.2米，每分钟滚动6周。1小时能前进多少米？
1周：3.14×1.2=3.768（米）
1分钟前进：3.768×6=22.608（米）
答：1小时能前进1356.48米。
1时=60分
1小时前进：22.608×60=1356.48（米）
直径1.2米
每分钟滚动6周
6.一个运动场如右图，两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的周长是多少米？
答：这个运动场的周长是400.96米。
3.14×32×2+100×2
32m
100m
周长：
=200.96+200
=400.96（米）
周长是多少米
6.一个运动场如右图，两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的面积是多少米？
32m
100m
面积是多少米
3.14×32 =3215.36（平方米）
3215.36+6400=9615.36（平方米）
32×2=64（米）
答：这个运动场的面积是9615.36平方米。
100×64=6400（平方米）
长方形宽：
长方形面积：
圆面积：
总面积：
一个圆形茶几桌面的直径是1m，它的面积是多少平方米？
1÷2＝0.5（m）
3.14×0.52＝0.785（m ）
答：茶几桌面的面积是0.785m 。
[教材P66 做一做]
巩固练习，深化提高
3.计算下面各圆的周长和面积。
[教材P69 练习十五 第2题]
C=πd
=10×3.14
=31.4（cm）
=3.14×（10÷2）2
=78.5（cm2）
C=2πr
=2×3×3.14
=18.84（cm）
=3.14×32
=28.26（cm2）
3.公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10 m，它能喷灌的面积是多少？
3.14×10
=3.14×100
=314（m ）
答：它能喷灌的面积是314 m 。
教材第69页“练习十五”第3题
射程是10 m
4.一个雷达屏幕（圆形）的周长是157厘米，它的面积是多少平方厘米？
半径：157÷3.14÷2=25（厘米）
面积： 3.14×25
=3.14×625
=1962.5（平方厘米）
答：它的面积是1962.5平方厘米。
周长是157厘米
课堂总结
已知圆的直径或周长，求圆的面积的方法：
先计算出圆的半径，再代入公式S=π计算出圆的面积。
1.根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式。
2. 圆的面积公式：S = πr × r = πr
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圆的面积
的推导及应用
05
圆
R·六年级上册
一匹马被拴在木桩上。马在它活动的最大范围内走一圈。马最多能吃多大面积的草呢？
创设情境，揭示课题
复习导入
推导过程：长方形的面积=长×宽
平行四边形的面积=底×高
平行四边形的面积公
式是怎样得到的呢？
采用“割补法”，把平行四边形变成长方形。
能不能把圆转化成我们已经学过的图形来推导出圆的面积计算公式呢？
计算下列图形面积。
S=ab
a
b
a
h
a
h
S=ah
S= ah
想一想，我们是用什么方法推导出平行四边形和三角形的面积计算公式？
合作探究，推导圆的面积计算公式
哪个圆的面积大一些？为什么？
R
r
半径决定圆的大小。
画圆时，选取的半径越大，圆的面积就越大。
3cm
5cm
探索新知
探究点 圆的面积计算公式的推导
什么是圆的面积呢？
这个圆形草坪的占地面积是多少平方米呢？
圆所占平面的大小就是圆的面积。
怎样计算一个圆的面积呢？
圆的面积介于这两个正方形面积之间。
探索新知
怎样计算一个圆的面积呢？
这个圆形草坪的占地面积是多少平方米呢？
采用“割补法”转化成学过的图形
把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似于等腰三角形的小纸片拼一拼，你能发现什么？
探索新知
动手操作
在硬纸上画一个圆，把圆分成若干(偶数)等份，剪开后，用这些近似于等腰三角形的小纸片拼一拼，你能发现什么？
注意事项
等分圆时，要沿着半径剪开，分成偶数份；拼接时，要使半径重合。
探索新知
四
等
分
①把圆平均分成4份后，拼成近似的平行四边形。
探索新知
八
等
分
②把圆平均分成8份后，拼成近似的平行四边形。
探索新知
十六等分
③把圆平均分成16份后，拼成近似的平行四边形。
探索新知
三
十
二
等
分
④把圆平均分成32份后，拼成近似的平行四边形。
探索新知
以拼成的近似平行四边形为例：
圆面8等分时：
圆面16等分时：
圆面32等分时：
通过观察，你们发现了什么？
以拼成的近似平行四边形为例：
圆八等分时：
圆十六等分时：
圆三十二等分时：
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平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
C
2
r
从上图中可以看出圆的半径是r，长方形的宽近似( )，长近似于( )。
圆周长的一半
圆的半径
因为: 长方形面积= 长 × 宽
所以: 圆的面积 = ×
πr
r
C=2πr
πr
=
如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是 ：
S＝πr
探索新知
发现：分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
从图中可以看出圆的半径是r，长方形的长近似于( )，宽近似于( )。
因为长方形的面积＝( )×( )，
所以圆的面积＝( )×( )＝( )。
如果用 S 表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是 ：
圆周长的一半
圆的半径
长
宽
πr
r
πr
S＝πr 。
探索新知
＝3.14×100
＝314(m2)
20÷2=10(m)
例1
圆形草坪的直径是20 m，每平方米草皮8元。铺满这个草坪需要多少元？
3.14×102
答：铺满这个草坪需要2512元。
求出圆的半径
根据公式求出圆的面积
“单价×数量＝总价”，
求出铺满这个草坪需要的钱数
14×8=2512(元)
例2 用一条3米长的绳子把一匹马拴在桩子上(接头处不计)，马在它活动的最大范围内走一圈，这一圈的长是多少？马最多能吃多大面积的草呢？
C=2πr
=2×3.14×3
=18.84（m）
=3.14×32
=28.26（m2）
答：这一圈的长是18.84米，马最多能吃28.26m2的草。
把一张圆形纸片分成若干(偶数)等份，拼成一个近似的长方形。如下图。
拼成的近似长方形的长相当于圆
( )，长方形的宽相当于圆的( )，因为长方形的面积＝( )，所以圆的面积公式用字母表示是( )。
探索新知
小试牛刀
周长的一半
半径
长×宽
S＝πr2
巩固练习
1. 上海南站是世界上第一个圆形火车站，其圆形顶棚是建筑设计施工中的最大亮点，圆顶直径约有270 m，圆顶的面积约是多少平方米？
3.14×（270÷2）2=57226.5（m2）
答：圆顶的面积约是57226.5平方米。
2. 同学们在操场上围成圆圈做“丢手绢”游戏，乐乐绕圆圈跑一圈跑了12.56m。 那么同学们所围成的圆圈的面积是多少平方米？
12.56÷3.14÷2=2（m）
答：圆圈的面积是12.56平方米。
3.14×22=12.56（m2）
当堂练习
1．如图，如果拼成的近似长方形的周长比圆的周长增加了12厘米，则这个圆的面积是多少平方厘米？
3.14×(12÷2)2＝
113.04(平方厘米)
答：这个圆的面积是113.04平方厘米。
当堂练习
2．计算圆的面积。
3.14×32＝28.26(dm2)
3.14×() 2＝78.5(cm2)
当堂练习
3．(易错题)如图，正方形的面积是18 cm2，这个圆的面积是多少平方厘米？
3.14×18＝56.52(cm2)
答：这个圆的面积是
56.52 cm2。
正方形的面积相当于半径的平方。
当堂练习
4．学校有一个半圆形的景观池，沿景观池周围围了一圈护栏，护栏的长是25.7米，这个景观池的占地面积是多少平方米？
25.7÷(3.14＋2)＝5(米)
×3.14×52＝39.25(平方米)
答：这个景观池的占地面积是39.25平方米。
5.轧路机前轮直径1.2米，每分钟滚动6周。1小时能前进多少米？
1周：3.14×1.2=3.768（米）
1分钟前进：3.768×6=22.608（米）
答：1小时能前进1356.48米。
1时=60分
1小时前进：22.608×60=1356.48（米）
直径1.2米
每分钟滚动6周
6.一个运动场如右图，两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的周长是多少米？
答：这个运动场的周长是400.96米。
3.14×32×2+100×2
32m
100m
周长：
=200.96+200
=400.96（米）
周长是多少米
6.一个运动场如右图，两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的面积是多少米？
32m
100m
面积是多少米
3.14×32 =3215.36（平方米）
3215.36+6400=9615.36（平方米）
32×2=64（米）
答：这个运动场的面积是9615.36平方米。
100×64=6400（平方米）
长方形宽：
长方形面积：
圆面积：
总面积：
一个圆形茶几桌面的直径是1m，它的面积是多少平方米？
1÷2＝0.5（m）
3.14×0.52＝0.785（m ）
答：茶几桌面的面积是0.785m 。
[教材P66 做一做]
巩固练习，深化提高
3.计算下面各圆的周长和面积。
[教材P69 练习十五 第2题]
C=πd
=10×3.14
=31.4（cm）
=3.14×（10÷2）2
=78.5（cm2）
C=2πr
=2×3×3.14
=18.84（cm）
=3.14×32
=28.26（cm2）
3.公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10 m，它能喷灌的面积是多少？
3.14×10
=3.14×100
=314（m ）
答：它能喷灌的面积是314 m 。
教材第69页“练习十五”第3题
射程是10 m
4.一个雷达屏幕（圆形）的周长是157厘米，它的面积是多少平方厘米？
半径：157÷3.14÷2=25（厘米）
面积： 3.14×25
=3.14×625
=1962.5（平方厘米）
答：它的面积是1962.5平方厘米。
周长是157厘米
课堂总结
已知圆的直径或周长，求圆的面积的方法：
先计算出圆的半径，再代入公式S=π计算出圆的面积。
1.根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式。
2. 圆的面积公式：S = πr × r = πr
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