第二章 一元二次方程单元测试题（含答案）

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北师大版数学九年级上册第二章测试题
（时间：90分钟 分值：120分）
(一元二次方程)
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）某超市1月份的营业额是200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果每月的增长率都是x，根据题意列出的方程应该是（　　）
A．200（1+x）2=1000 B．200（1+2x）=1000
C．200+200（1+x）+200（1+x）2=1000 D．200（1+3x）=1000
2．（3分）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．则该矩形草坪BC边的长是（　　）
A．12 B．18 C．20 D．12或20
3．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
4．（3分）已知（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣3=0，则m2+n2=（　　）
A．﹣1或3 B．3 C．﹣1 D．无法确定
5．（3分）已知关于x的方程（m+3）x2+5x+m2﹣9=0有一个解是0，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．不确定
6．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　）
A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2
7．（3分）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）
A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2
8．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4
9．（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0
10．（3分）用换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为（　　）
A．y﹣﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0
11．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定
12．（3分）若分式的值为零，则x的值为（　　）
A．3 B．3或﹣3 C．0 D．﹣3
二．填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m　　时为一元二次方程．
14．（3分）一元二次方程x2=2x的根是　　．
15．（3分）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=　　．
16．（3分）写出以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是　　．
　
三．解答题（本题有7小题，共52分）
17．（10分）解方程
（1）x2﹣4x﹣5=0
（2）3x（x﹣1）=2﹣2x．
18．（5分）试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
19．（6分）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？
20．（8分）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
21．（11分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？
　
参考答案
一、选择题。
1．C．
2．A．
3．D．
4．B．
5．C．
6．C．
7．A．
8．A．
9．B．
10．A．
11．C．
12．D．
二、填空题。
13．m≠1．
14．x1=0，x2=2．
15．2016．
16．x2+x﹣20=0．
三、解答题。
17．
解：（1）x2﹣4x﹣5=0
（x﹣5）（x+1）=0
∴x﹣5=0或x+1=0，
解得，x1=5，x2=﹣1；
（2）3x（x﹣1）=2﹣2x
3x（x﹣1）+2（x﹣1）=0
（3x+2）（x﹣1）=0
∴3x+2=0或x﹣1=0，
解得，．
18．证明：∵a2﹣8a+20=（a﹣4）2+4≥4，
∴无论a取何值，a2﹣8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，
∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
19．解：解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得（x﹣2） （2x﹣4）=288，
∴2（x﹣2）2=288，
∴（x﹣2）2=144，
∴x﹣2=±12，
解得：x1=﹣10（不合题意，舍去），x2=14，
所以x=14，2x=2×14=28．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为xm．根据题意，得（x﹣2） （x﹣4）=288．
解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=28．
所以x=28，x=×28=14．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
20．
解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2=324，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210，
解得：m≥22.5．
∴m≥23．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．
21．解：（1）根据题意得
解得k=﹣1，b=120．
所求一次函数的表达式为y=﹣x+120．
（2）W=（x﹣60） （﹣x+120）
=﹣x2+180x﹣7200
=﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，
即60≤x≤60×（1+45%），
∴60≤x≤87，
∴当x=87时，W=﹣（87﹣90）2+900=891．
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
（3）由W≥500，得500≤﹣x2+180x﹣7200，
整理得，x2﹣180x+7700≤0，
而方程x2﹣180x+7700=0的解为 x1=70，x2=110．
即x1=70，x2=110时利润为500元，而函数y=﹣x2+180x﹣7200的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，
而60元/件≤x≤87元/件，所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件．
22．
解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：
×2t（6﹣t）=××6×8，
解得：t=2或4．
答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一．
（2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得：
（6﹣x）2+（2x）2=36，
解得：x=0（舍去）或x=．
答：秒时，P、Q相距6厘米．
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