7.3.2.3正切函数的图象与性质 讲义（含解析）

编号：048 课题: §7.3.2.3 正切函数的图象与性质
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握正切函数的图象与性质；
2.会求正切函数的定义域、周期性、奇偶性；
3.掌握正切函数的单调性及应用；
4.理解并掌握正切函数图象、性质的综合应用．
本节重点难点
重点：正切函数的单调性及应用；
难点：正切函数图象、性质的综合应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
正切函数的图象与性质
(1)图象与性质
解析式 y=tan x
图象
定义域
值域 R
周期 π
奇偶性 __________函数
对称 中心 _____________,k∈Z
单调性 在每一个区间___________________________ 上都单调递增
(2)本质:根据正切函数的解析式、图象,总结正切函数的性质.
(3)应用:画正切函数的图象,解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问题.
【思考】
正切函数在整个定义域上都是增函数吗
【课前基础演练】
题1．函数f(x)＝lg 的定义域为( )
A．
B．
C．
D．
题2．当x∈ 时，函数y＝tan |x|的图象( )
A．关于原点对称
B．关于y轴对称
C．关于x轴对称
D．无法确定
题3．已知函数f(x)＝tan ωx在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．－2≤ω<0 D．0<ω≤
题4．函数f(x)＝tan 的最小正周期、对称中心分别是( )
A．
B．
C．
D．
题5．已知θ是三角形的一个内角，且tan θ≥－1，则θ的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．以上都不对
题6．下列关于函数y＝tan 的说法正确的是( )
A．在区间 上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点 对称
D．图象关于直线x＝ 对称
题7(多选题)．下列各式中正确的是( )
A．tan 735°＜tan 800°
B．tan 1＞tan 2
C．tan ＜tan
D．tan ＜tan
题8(多选题)．下列函数中是偶函数，且最小正周期为π的函数为( )
A．y＝sin |x| B．y＝
C．y＝ D．y＝
题9．函数y＝的定义域是________．
题10．函数y＝2tan ωx(常数ω>0)在开区间 上是严格增函数，则实数ω的取值范围是________．
题11．求函数y＝tan 的定义域、周期及单调区间．
【课堂检测达标】
题12. 函数的定义域为( )
A．
B．
C．
D．
题13．函数y＝tan x＋sin x＋ 在区间 内的图象是( )
题14.函数 ( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
题15(多选题)．函数f(x)＝tan 与函数g(x)＝sin ( －2x)的最小正周期相同，则 可能值为( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
题16(多选题)．以下函数中是奇函数的是( )
A．y＝sin x＋tan x
B．y＝x tan x－1
C．
D．
题17．若tan x＞tan 且x是第三象限角，则x的取值范围是______________．
题18．已知函数f(x)＝2tan 的最小正周期是3.则a＝________，f(x)的对称中心为
__________．
题19．已知函数f(x)＝3tan .
(1)求f(x)的定义域、值域．
(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．
题20．是否存在整数a，使得函数y＝tan ( －ax)在x∈ 上是单调递增的？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【综合突破拔高】
题21．函数y＝tan 的最小正周期是( )
A．4 B．4π C．2π D．2
题22．若函数y＝3tan 的最小正周期是 ，则ω＝( )
A．2 B．－2 C． D．±2
题23．函数f(x)＝tan ＋tan是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
题24．函数y＝2tan图象的一个对称中心是( )
A． B． C． D．
题25．函数f(x)＝x·tan x(－1≤x≤1)的图象可能是( )
题26．a＝tan ，b＝sin ，c＝tan ，实数a，b，c的大小关系为( )
A．b题27(多选题)．下列各式不成立的是( )
A．tan ＞tan
B．tan ＜tan
C．tan ＜tan
D．tan ＞tan
题28(多选题)．关于函数f(x)＝|tan x|的性质，下列叙述正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)是偶函数
C．f(x)的图象关于直线 对称
D．f(x)在每一个区间 内单调递增
题29．①函数y＝tan x在它的定义域内是增函数；②若α，β是第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；③函数y＝A sin (ωx＋φ)一定是奇函数；④函数的最小正周期为 .上列四个命题中，正确的命题是________．
题30．函数y＝tan ，x∈ 的值域是__________．
题31．求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．
题32．(1)求函数y＝tan 的单调区间；
(2)比较tan 与tan 的大小．
编号：048 课题: §7.3.2.3 正切函数的图象与性质
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握正切函数的图象与性质；
2.会求正切函数的定义域、周期性、奇偶性；
3.掌握正切函数的单调性及应用；
4.理解并掌握正切函数图象、性质的综合应用．
本节重点难点
重点：正切函数的单调性及应用；
难点：正切函数图象、性质的综合应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
正切函数的图象与性质
(1)图象与性质
解析式 y=tan x
图象
定义域
值域 R
周期 π
奇偶性 _奇__函数
对称 中心 ____ ____,k∈Z
单调性 在每一个区间_____________ 上都单调递增
(2)本质:根据正切函数的解析式、图象,总结正切函数的性质.
(3)应用:画正切函数的图象,解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问题.
【思考】
正切函数在整个定义域上都是增函数吗
提示:不是.正切函数在每一个区间上是单调递增的.但在整个定义域上不是增函数.
【课前基础演练】
题1．函数f(x)＝lg 的定义域为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.若函数有意义，则tan x－1>0，所以tan x>1，
所以kπ＋ 题2．当x∈ 时，函数y＝tan |x|的图象( )
A．关于原点对称
B．关于y轴对称
C．关于x轴对称
D．无法确定
【解析】选B.函数y＝tan |x|，x∈是偶函数，其图象关于y轴对称．
题3．已知函数f(x)＝tan ωx在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．－2≤ω<0 D．0<ω≤
【解析】选B.由f(x)在上单调递减知：ω<0，且 ，因此－ ，解得－1≤ω<0.
题4．函数f(x)＝tan 的最小正周期、对称中心分别是( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.因为ω＝ ，所以最小正周期T＝.令 ，得，
所以f(x)的对称中心是.
题5．已知θ是三角形的一个内角，且tan θ≥－1，则θ的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．以上都不对
【解析】选C.作出正切函数y＝tan x(x∈(0，π))的图象，由图象可得tan θ≥－1的解集为
题6．下列关于函数y＝tan 的说法正确的是( )
A．在区间 上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点 对称
D．图象关于直线x＝ 对称
【解析】选B.令kπ－ 题7(多选题)．下列各式中正确的是( )
A．tan 735°＜tan 800°
B．tan 1＞tan 2
C．tan ＜tan
D．tan ＜tan
【解析】选ABD.因为tan 735°＝tan (735°－720°)＝tan 15°，tan 800°＝tan (800°－720°)＝tan 80°且0°＜15°＜80°＜90°，正切函数在 上单调递增，
所以tan 735°＜tan 800°；tan 1＞tan 0＝0，tan 2＜0，所以tan 1＞tan 2；
因为 ，且正切函数在 上是单调递增的，所以tan ＞tan，
因为tan＝tan，且 ，正切函数在2 (π)上单调递增，所以tan＜tan，
即tan 题8(多选题)．下列函数中是偶函数，且最小正周期为π的函数为( )
A．y＝sin |x| B．y＝
C．y＝ D．y＝
【解析】选BC.A的图象如下，
根据图象可知，图象关于y轴对称，y＝sin |x|是偶函数，但不是周期函数，所以排除A；
B的图象如下，
根据图象可知，图象关于y轴对称，y＝ 是偶函数，
最小正周期是π，所以B正确．C的图象如下，
根据图象可知，图象关于y轴对称，y＝ 是偶函数，最小正周期为π，所以C正确；
D的图象如下，
根据图象可知，图象关于y轴对称，y＝ 是偶函数，最小正周期为2π，所以排除D.
题9．函数y＝的定义域是________．
【解析】由题意得1－tan x≥0即tan x≤1结合图象可解得kπ－ 答案： (k∈Z)
题10．函数y＝2tan ωx(常数ω>0)在开区间 上是严格增函数，则实数ω的取值范围是________．
【解析】由题意可知，函数y＝2tan ωx的单调递增区间为 ，
因函数y＝2tan ωx(常数ω>0)在开区间上是严格增函数，
所以，解得ω∈ .
答案：
题11．求函数y＝tan 的定义域、周期及单调区间．
【解析】由，得，所以函数y＝tan的定义域为.T＝ ＝2π，所以函数y＝tan的周期为2π.由，得.
所以函数y＝tan的单调递增区间为.
【课堂检测达标】
题12. 函数的定义域为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得.
题13．函数y＝tan x＋sin x＋ 在区间 内的图象是( )
【解析】选A.函数y＝tan x＋sin x＋
当x＝时，sin x＝ ，tan x＝－ ，所以tan x0，故排除C，D选项，
当x＝ 时，sin x＝－ ，tan x＝ ，所以tan x>sin x，所以f(x)＝2tan x＝2 >2，故排除B选项．
题14.函数 ( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
【解析】选A.因为1＋cos x≠0，即cos x≠－1，
得x≠2kπ＋π，k∈Z.
又tan x中x≠kπ＋ ，k∈Z，所以函数的定义域关于(0，0)对称．
令f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
题15(多选题)．函数f(x)＝tan 与函数g(x)＝sin ( －2x)的最小正周期相同，则 可能值为( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
【解析】选AB.g(x)的最小正周期为π，则 ＝π，得ω＝±1.
题16(多选题)．以下函数中是奇函数的是( )
A．y＝sin x＋tan x
B．y＝x tan x－1
C．
D．
【解析】选ACD.A中，f(－x)＝sin (－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－(sin x＋tan x)＝－f(x)，故函数y＝sin x＋tan x是奇函数；
B中，f(－x)＝－x tan (－x)－1＝x tan x－1＝f(x)，故f(x)为偶函数；
C中，，
故f(x)为奇函数；
D中，，f(x)也为奇函数．
题17．若tan x＞tan 且x是第三象限角，则x的取值范围是______________．
【解析】因为tan x＞tan ＝tan，又x为第三象限角，所以2kπ＋ ＜x＜2kπ＋ ( ).
答案：
题18．已知函数f(x)＝2tan 的最小正周期是3.则a＝________，f(x)的对称中心为
__________．
【解析】函数f(x)＝2tan的最小正周期是3，则3＝ ，得a＝ ，
所以函数f(x)＝2tan，
由 ，得 ，
故对称中心为 .
答案：
题19．已知函数f(x)＝3tan .
(1)求f(x)的定义域、值域．
(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．
【解析】(1)由 ，解得 .所以定义域为，值域为R.
(2)f(x)为周期函数，周期T＝ ＝2π.f(x)为非奇非偶函数．由 ，解得.
所以函数的单调递增区间为 .
题20．是否存在整数a，使得函数y＝tan ( －ax)在x∈ 上是单调递增的？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【解析】存在．因为y＝tan θ在区间(kπ－ ，kπ＋ )( )上是单调递增的，所以a＜0.又x∈ ，所以－ax∈ ，
所以 ，所以
解得 －5 (2)－5 (8k)≤a≤6－8k(k∈Z).
令k＝0，得－ ≤a≤6不符合题意，
令k＝－1，得 ≤a≤14不符合题意，令k＝1，
此时－2≤a≤－2，所以a＝－2＜0，
所以存在整数a＝－2，满足题意．
【综合突破拔高】
题21．函数y＝tan 的最小正周期是( )
A．4 B．4π C．2π D．2
【解析】选D.T＝.
题22．若函数y＝3tan 的最小正周期是 ，则ω＝( )
A．2 B．－2 C． D．±2
【解析】选D.依题意有T＝ ＝ ，所以|ω|＝2，所以ω＝±2.
题23．函数f(x)＝tan ＋tan是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【解析】选A.函数定义域为{x|x≠kπ－4 (π)且x≠kπ＋4 (π)，k∈Z}，关于原点对称，
又f(－x)＝tan＋tan＝－tan (x＋ )－tan＝－f(x)，
所以函数是奇函数．
题24．函数y＝2tan图象的一个对称中心是( )
A． B． C． D．
【解析】选A. ，则，验证四个选项，可知选项A正确．
题25．函数f(x)＝x·tan x(－1≤x≤1)的图象可能是( )
【解析】选B.由f(x)＝x tan x(－1≤x≤1)，则f(－x)＝(- x)tan (- x)＝x tan x，
所以f(x)＝f(- x)，即函数f(x)是偶函数，故排除A，C，
当00，排除D.
题26．a＝tan ，b＝sin ，c＝tan ，实数a，b，c的大小关系为( )
A．b【解析】选A.a＝tan，b＝sin＝sin＝sin，c＝tan＝tan＝tan，
因为y＝tan x在 上单调递增，所以tan >tan即c>a，因为0sin＝b，
综上，c>a>b即b题27(多选题)．下列各式不成立的是( )
A．tan ＞tan
B．tan ＜tan
C．tan ＜tan
D．tan ＞tan
【解析】选ABC.tan ＝tan ＜tan ；
tan ＝tan ＜tan ；
tan ＝tan ，tan ＝tan ，
因为tan ＞tan ，所以tan ＞tan ；
tan ＝tan ＝tan ＝－tan ，
tan ＝tan ＝tan ＝－tan ，
又tan ＞tan ，所以tan ＜tan .
题28(多选题)．关于函数f(x)＝|tan x|的性质，下列叙述正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)是偶函数
C．f(x)的图象关于直线 对称
D．f(x)在每一个区间 内单调递增
【解析】选BCD.对于函数f(x)＝|tan x|的性质，根据该函数的图象知，其最小正周期为π，A错误；
又f(－x)＝|tan (－x)|＝|tan x|＝f(x)，所以f(x)是定义域上的偶函数，B正确；
根据函数f(x)的图象知，f(x)的图象关于直线对称，C正确；
根据f(x)的图象知，f(x)在每一个区间内单调递增，D正确．
题29．①函数y＝tan x在它的定义域内是增函数；②若α，β是第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；③函数y＝A sin (ωx＋φ)一定是奇函数；④函数的最小正周期为 .上列四个命题中，正确的命题是________．
【解析】函数y＝tan x的定义域为，
当x＝ 时，y＝1；当x＝ 时，y＝1，所以函数y＝tan x在它的定义域内不是增函数，故①不正确；当α＝ ，β＝ 时，满足α，β是第一象限角，且α>β，但是tan ＝tan ＝1，故②不正确；当φ＝ 时，y＝A sin (ωx＋φ)＝A sin＝A cos (ωx)为偶函数，故③不正确；
因为y＝cos 的最小正周期为T＝ ＝π，而函数的图象是由函数y＝cos的图象保留x轴上方的图象，将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方而得到的，所以函数的最小正周期是函数的最小正周期的一半，即函数的最小正周期是 ，故④正确．
答案：④
题30．函数y＝tan ，x∈ 的值域是__________．
【解析】因为，所以 ，
所以tan <1，即函数的值域为(－∞，1).
答案：(－∞，1)
题31．求函数y＝tan的定义域、周期及单调区间．
【解析】自变量x的取值应满足： ；即 ，
所以函数的定义 .
设，又tan (z+π)＝tan z，
所以tan ＝tan 即，因为 ，
都有，所以函数的周期为2.
由 ，解得 ，
因此函数在区间 上单调递增．
题32．(1)求函数y＝tan 的单调区间；
(2)比较tan 与tan 的大小．
【解析】(1)由 得，，
所以函数y＝tan的单调递增区间是 .
(2)由于tan＝tan＝tan＝－tan，
tan＝－tan＝－tan，又 ，
而y＝tan x在 上单调递增，所以tan －tan，即tan >tan.