八年级数学—11.1与三角形有关的线段同步训练
单选题
题型一：三角形的识别及分类
1．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·七年级单元测试）如图，图中的三角形共有（ ）
A．10个 B．12个 C．14个 D．16个
3．（2023秋·七年级单元测试）现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之差大于第三边；③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（ ）
A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个
4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（ ）
A．①对，②不对 B．②对，①不对
C．①、②都不对 D．①、②都对
题型二：三角形三边关系的应用
5．（2023秋·安徽·八年级阶段练习）长为 4，5，6，9的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ）种．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，为估计池塘两岸，间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·九年级专题练面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是 （ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
题型三：三角形的稳定性及四边形的不稳定性
8．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是( )
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．三角形的内角和为 D．垂线段最短
9．（2023春·湖南永州·八年级统考期末）如图是某校门口的电动伸缩门，电动伸缩门利用了（ ）性质
A．四边形的不稳定性 B．三角形的稳定性
C．四边形的稳定性 D．三角形的不稳定性
题型四：三角形的高、中线与角平分线的定义及相关计算
10．（2022春·广东河源·八年级校考开学考试）如图，求作 中 边上的高，其结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023秋·浙江·八年级专题练习）三角形三条中线（ ）
A．交点在三角形外 B．交点在三角形内
C．交点在三角形顶点 D．交点在三角形边上
12．（2023春·湖北·七年级统考期末）有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是（ ）
A．N点 B．M点 C．P点 D．Q点
13．（2023春·四川成都·七年级校考期中）如图，在中，点E是的中点，，，的周长是25，则的周长是（ ）
A．18 B．22 C．28 D．32
14．（2021秋·广东中山·八年级校联考期中）点D是的边的中点，点E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023春·山东枣庄·七年级统考期末）如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中小正方形的边长为1，A、B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2，满足条件的点C的个数有（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
填空题
题型一：三角形的识别及分类
17．（2022秋·八年级课时练习）由不在同一条直线上的三条线段 所组成的图形叫做三角形．
18．（2023秋·重庆忠县·八年级统考期末）在中，若，则的形状是 三角形（填钝角、直角和锐角）
题型二：三角形三边关系的应用
19．（2023春·山东滨州·七年级统考期末）已知三边长分别为，则 ．
20．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）一个三角形的两边长分别为和，且第三条边长为整数，则第三条边长为 ．
21．（2020秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）在中，，则的取值范围是 ．
题型三：三角形的稳定性及四边形的不稳定性
22．（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）匠人制作马扎时，支撑架都设计成如右图形状，这种方法是利用了三角形的 ．
23.（2023秋·全国·八年级专题练习）我校大门口的电子伸缩门是利用了数学的 原理．
题型四：三角形的高、中线与角平分线的定义及相关计算
24．（2022秋·山西忻州·八年级校考期中）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形三条 的交点．（请从“高”、“角平分线”、“中线”中选择）
25．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在直角中，边上有，，三点，，，，垂足为．以为中线的三角形是 ；以为角平分线的三角形是 ；以为高线的三角形有 个．
26．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期中）如图，、分别为的中线和高，，已知，，则的面积为 ．
解答题
题型一：三角形的识别及分类
27．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点．
(1)的三个顶点是什么 三条边是什么
(2)是哪些三角形的边
28．（2023春·全国·七年级专题练习）满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．
(1)△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；
(2)三个内角的度数之比为1:2:3.
题型二：三角形三边关系的应用
29．（2022秋·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图，填空：
由三角形两边之和大于第三边，得
___________①___________，___________②___________
将不等式左边、右边分别相加，得___________③___________
由图可得：，∴___________④___________
题型三：三角形的高、中线与角平分线的应用
30．（2023春·四川遂宁·七年级射洪中学校考期中）如图，在边长为1个单位的正方形网格中．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
(1)画出边上的中线；
(2)画出边上的高线；
(3)的面积为______；
(4)在图中能使的格点P的个数有______个（点P异于点B）．
31．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成70和50两部分，求和的长．
32．（2023春·河北邯郸·七年级校联考阶段练习）如图，在中，是中线，是的高，且，．
(1)___________（填数字）；
(2)求及的长；
(3)若，求和的周长差．
参考答案：
1．C
2．B
3．C
4．B
5．B
6．A
7．B
8．A
9．A
10．C
11．B
12．A
13．B
14．B
15．D
16．C
17．首尾顺次连接
18．锐角
19．/
20．2或3
21．
22．稳定性
23．四边形的不稳定性．
24．中线
25．
26．15
27．(1)的三个顶点是点，，，三条边是，，
(2)是，，，的边
【分析】（1）根据三角形的边和顶点解答即可；
（2）根据三角形的边解答即可．
【详解】（1）解：的三个顶点是点，，，三条边是，，；
（2）解：是，，，的边．
28．(1)锐角三角形；(2)直角三角形．
【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.
【详解】(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，
∴满足条件的三角形是锐角三角形．
(2)∵三个内角的度数之比为1∶2∶3，∴可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，
∴满足条件的三角形是直角三角形．
29．①；②；③；④
【分析】根据三角形三边关系定理和不等式的性质进行填空即可．
【详解】解：由三角形两边之和大于第三边，得：，，
将不等式左边、右边分别相加，得 ，
由图可得：，∴，
故答案为：；；；．
30．(1)见解析
(2)见解析
(3)8
(4)7
【分析】（1）如图1，格点向右2个，然后向上3个单位，取中点，连接即可；
（2）如图1，格点向右4个单位，取点，连接即可；
（3）根据，计算求解即可；
（4）如图1，根据平行线间的距离相等，作的平行线，确定点，进而可得结果．
【详解】（1）解：如图1，点即为所求；
（2）解：如图1；点即为所求；
（3）解：由题意知，，
故答案为：8；
（4）解：如图1，共有7个格点，
故答案为：7．
31．，
【分析】先根据和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．
【详解】解：设，则，
边上的中线把的周长分成70和50两部分，，
①当，时，
，
解得：，
，
，
，
，满足条件
，满足三边关系，
，；
②当，时，
，
解得：，
，
，
，
，
不满足三角形的三边关系，
不合题意，舍去，
，．
32．(1)2
(2)，
(3)1
【分析】（1）根据三角形的中线的性质即可求解；
（2）根据三角形的中线的性质可得，根据三角形的面积公式即可求得；
（3）根据三角形的周长公式，结合（1）（2）中结论即可求得．
【详解】（1）∵是中线，
∴，
即，
故答案为：2．
（2）∵是中线，
∴，
又∵，且，
故．
（3）∵的周长为，
的周长为，
且，
故和的周长差为
即和的周长差为1．八年级数学—11.2与三角形有关的角同步训练
单选题
题型一：三角形内角和定理的证明
1．（2023春·广东揭阳·九年级校考阶段练习）如下图所示，能利用图中作法：过点作的平行线，证明三角形内角和是的原理是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
2．（2023·浙江·八年级假期作业）某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（ ）
A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作
C． 过点A作于点D D．过BC上一点D作，
题型二：三角形内角和定理的应用
3．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）若一个三角形的三个内角的比为，则此三角形的最大内角度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，在中，平分交于点，过点作交于点，若，，则的大小为( )
A． B． C． D．
5．（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．105°
6．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，平分，平分，平分，平分，若，则等于（ ）
A．30° B．35° C．50° D．85°
7．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，D是上一点，于点E，于点F，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·浙江·八年级专题练习）在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
题型三：直角三角形的两锐角互补
9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）在中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·湖南娄底·八年级统考期中）如图，，于点，则图中互余的角有（ ）对．
A．3 B．4 C．5 D．6
题型四：三角形中的折叠问题
11．（2023秋·重庆开州·八年级统考期末）如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·河南郑州·七年级郑州中学校联考期中）一次数学活动中，小明对纸带沿折叠，量得，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
题型五：三角形外角性质的运用
13．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，已知直线，，，则的度数为（ ）
A．42° B．44° C．46° D．48°
14．（2022秋·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图所示，的度数是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023春·四川自贡·七年级统考期末）已知直线，将含角的直角三角板按下图所示摆放．若，则（ ）
A． B． C． D．
填空题
题型一：三角形内角和定理的证明
16．（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，，，，则 ．
17．（2023·浙江·八年级假期作业）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ．
题型二：三角形内角和定理的应用
18．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）如图，三角形有一部分被墨迹所遮挡，观察可判断三角形的形状为 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
19．（2023·吉林松原·统考二模）如图，为边边上一点，过点作．若，则 ．
20．（2023春·山东东营·七年级统考期中）如图，在中，是高，平分，，，则 ．
题型三：直角三角形的两锐角互补
21．（2023春·广西梧州·八年级统考期中）在直角三角形中，两个锐角的度数比为，则较大的锐角度数为 ．
22．（2022春·八年级单元测试）直角三角形两锐角之差是12度，则较大的一个锐角是 度．
23．（2023春·上海宝山·七年级统考期末）如图，在中，、分别是、边上的高，、交于点O，如果，那么 °．
题型四：三角形中的折叠问题
24．（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图，将沿折叠，使点与点重合，若，，则 ， ．
25．（2023春·广东梅州·七年级校考期中）如图，中，，，将沿折叠，点落在形内的，则的度数为 ．
题型五：三角形外角性质的运用
26．（2020秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）在中，，，则 ．
27．（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，若，则 °．
28．（2023·河南周口·校联考三模）空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，，，，则的度数是 ．
解答题
题型一：三角形内角和定理的证明
29．（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务．
小学我们就知道三角形内角和是，怎样说理呢？已知三角形，请对说理．（要求用两种方法）
30．（2023春·重庆巴南·七年级重庆市实验中学校联考期中）在小学我们通过度量或者剪拼的方法可以验证三角形的内角和等于，但是，由于测量有误差，这种“验证”不是数学证明，不能完全让人信服，又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于，所以，需要通过推理方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于．
(1)请根据以下操作，完成证明过程：
如图，已知，求证：．
证明：如图，延长到点E，过点C作．
∵，
∴__________（ ）
__________（ ）
∵、、组成平角
∴（平角定义）
∴（ ）
(2)经过证明我们得到了定理：三角形的内角和等于．请同学们使用这个定理及你已经所学几何知识，求解下列问题：若在上图中，，，平分交于点F，求的度数．
题型二：三角形内角和定理的应用
31．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，，平分交于，．
(1)与平行吗？为什么？
(2)若，求的度数．
32．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．
(1)如果，求的度数；
(2)试说明：．
题型三：三角形中的折叠问题
33．（2022秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上的一点，将△ABC沿AD翻折后，点B恰好落在线段CD上的B'处，且AB'平分∠CAD．求∠BAB'的度数．
题型四：三角形外角性质的运用
34．（2023秋·云南临沧·八年级统考期末）如图，在中，，，平分．
(1)求的度数：
(2)若平分，求的度数．
参考答案：
1．B
2．C
3．B
4．D
5．D
6．A
7．C
8．C
9．D
10．B
11．A
12．C
13．A
14．D
15．A
16．
17．三角形内角和等于180°
18．钝角
19．
20．/15度
21．/75度
22．51
23．50
24． 80°/80度 45°/45度
25．/60度
26．
27．
28．/度
29．见解析
【分析】方法一：过点A作，根据平行线的性质即可证明；方法二：如图，延长至，过点作，根据平行线的性质即可证明．
【详解】解：方法一：如图，过点A作直线，
∵，
∴，，
∵，
∴，即三角形内角和是．
方法二：如图，延长至，过点作．
∴，
，
∵
∴，即三角形内角和是．
【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，正确作出辅助线，掌握转化与回归思想是解题的关键．
30．(1)；两直线平行，内错角相等；，两直线平行，同位角相等；等量代换
(2)
【分析】（1）延长到点E，过点C作,则有 ， ，根据平角定义和等量代换得到结论；
（2）运用三角形的内角和定理可以得到然后利用角平分线得到，然后利用两直线平行，内错角相等得到结果．
【详解】（1）证明：如图，延长到点E，过点C作．
∵，
∴ （两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
∵、、组成平角
∴（平角定义）
∴（等量代换）
故答案为：；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换．
（2）解：∵
∴，
又∵平分交于点F，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理的证明和应用，掌握平行线的性质是解题的关键．
31．(1)平行，证明过程见解析
(2)
【分析】（1）先根据角平分线的定义和角的和差得到，再根据同旁内角互补，两直线平行，可得结论；
（2）利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：平行．
证明： 平分，
，
，
，
，
；
（2） 平分，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识．平行线的判定定理有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．三角形的内角和定理：三角形的内角和为．熟练掌握并运用这些定理是解题的关键．
32．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形内角和 可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数；
（2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，即可得证．
【详解】（1）解：，，
，
平分交于，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
平分交于，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
33．60°
【分析】由折叠和角平分线可求∠BAD=30°，即可求出∠BAB'的度数．
【详解】解：由折叠可知，∠BAD=∠B'AD，
∵AB'平分∠CAD．
∴∠B'AC=∠B'AD，
∴∠BAD=∠B'AC=∠B'AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD=∠B'AC=∠B'AD=30°，
∴∠BAB'=60°．
【点睛】本题考查了折叠和角平分线，解题关键是掌握折叠角相等和角平分线的性质．
34．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形外角的性质，即可得出答案；根据外角的性质得出；
（2）根据角平分线的定义，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据三角形的外角的性质，计算即可得出答案．
【详解】（1）解： ，，
；
（2）解：由（1）可知：，
又 平分，
，
，平分，
，
，
．八年级数学—11.3.1多边形
单选题
题型一：多边形的识别
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）下列图形中，属于多边形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
题型二：多边形截角后的边数问题
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
4．（2022秋·河南洛阳·八年级校考期末）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是
A．5 B．6 C．7 D．8
题型三：多边形对角线条数的应用
5．（2023春·山东枣庄·八年级校考期末）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ）
A．54 B．44 C．35 D．27
6．（2023春·山东淄博·六年级统考期中）若一个边形从一个顶点最多能引出6条对角线，则是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
7．（2022秋·贵州贵阳·七年级统考期末）经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成3个三角形，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
题型四：对角线分成的三角形个数问题
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在探究过多边形的一个顶点引出的对角线把多边形分成三角形的个数时，画出的图形如下：
根据图形可知，过边形的一个顶点引出的对角线，把边形分成的三角形的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
填空题
题型一：多边形的分类
9．（2022秋·七年级单元测试）如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）北京时间11月21日0时，2022国际足联卡塔尔世界杯迎来揭幕战吸引了亿万球迷的观看．同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块．
题型二：多边形截角后的边数问题
11．（2022·全国·八年级专题练习）把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩 个角．
12．（2022·全国·八年级专题练习）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ．
13．（2022秋·陕西西安·七年级统考期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ．
题型三：多边形对角线条数的应用
14．（2022秋·重庆云阳·八年级校联考期中）六边形木架，至少要再钉上 根木条，使原六边形不变形．
15．（2022春·七年级单元测试）边形过每一个顶点的对角线有 条．
题型四：对角线分成的三角形个数问题
16．（2021秋·八年级单元测试）过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形．
17．（2022秋·八年级课时练习）从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形被分割成2018个三角形，则这个多边形的边数为 ．
三、解答题
题型一：多边形的概念及分类
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？
题型二：多边形对角线条数的应用
19．（2023春·广西百色·八年级统考期末）观察探究及应用；
(1)观察下列图形并完成填空．
如图①一个四边形有2条对角线；
如图②一个五边形有5条对角线；
如图③一个六边形有______条对角线；
如图④一个七边形有______条对角线；
(2)分析探究：由凸n边形的一个顶点出发，可做______条对角线，一个凸n边形有______条对角线；
(3)应用：一个凸十二边形有______条对角线．
题型三：对角线分成的三角形个数问题
20．（2021秋·全国·七年级专题练习）已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．
21．（2023·全国·八年级假期作业） （1） 从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个五边形分成_______个三角形.若是一个六边形，可以分割成_______个三角形.n边形可以分割成______个三角形.
（2）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成多少个三角形？
（3）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点）,再将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成多少个三角形？
参考答案：
1．C
2．A
3．C
4．D
5．C
6．C
7．C
8．B
9． 四边形 五边形 八边形 四边形 五边形
10．12
11．3或4或5．
12．6或7或8
13．5或6或7
14．3
15．/
16．
17．2020
18．见解析
【分析】根据图形的特征作答即可．
【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角；
四边形有4个顶点，4条边，4个内角；
五边形有5个顶点，5条边，5个内角；
……
可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同；
n边形有n个顶点，n条边，n个内角．
【点睛】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念．
19．(1)9，
(2)，
(3)54
【分析】（1）分别通过计数可得答案；
（2）先探究从三角形到六边形的一个顶点出发作的对角线的数量，得到每种图形的对角线的总数量，再总结归纳出规律即可；
（3）把代入进行计算即可．
【详解】（1）解：如图③一个六边形有9条对角线；
如图④一个七边形有14条对角线；
（2）∵从三角形的一个顶点出发，可作0条对角线；共有0条对角线；
从四边形的一个顶点出发，可作1条对角线；共有条对角线；
从五边形的一个顶点出发，可作2条对角线；共有条对角线；
从六边形的一个顶点出发，可作3条对角线；共有条对角线；
∴由凸n边形的一个顶点出发，可做条对角线，一个凸n边形有条对角线．
（3）当时，
（条），
∴一个凸十二边形有54条对角线．
【点睛】本题考查的是凸多边形的对角线的数量的探究，掌握探究的方法并总结运用规律解决问题是关键．
20．6
【分析】设此多边形有n条边，则从一个顶点引出的对角线有（n-3）条，根据“一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍”列出方程，解方程即可．
【详解】解：设此多边形有n条边，由题意，得
n=2（n-3），
解得n=6．
故此多边形有6条边．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，如果多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n-3）条．
21．（1）3，4，(n-2)；（2）n个；（3）(n-1)个.
【分析】（1）由四边形，五边形，六边形可得出规律，从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成（n-2）个三角形，依此作答；
（2）多边形内一点，可与多边形顶点连接n条线段，构造出n个三角形；
（3）若P点取在一边上，则可以与其他顶点连接出n-2条线段，可以分n边形为（n-1）个三角形．
【详解】(1)从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，
可以把这个五边形分成5-2=3个三角形；
若是一个六边形,可以分割成6-2=4个三角形；
……，依次类推，
n边形可以分割成(n-2)个三角形.
故答案为：3，4，(n-2)；
(2) n边形共有n条边，n个顶点，将n边形任意一条边的两顶点与点P相连，得到的三角形是唯一的，故可知此多边形被分割为n个三角形；
(3) 若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），再将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成（n-1）个三角形.
【点睛】本题考查对角线分多边形的三角形个数问题，根据前几个图形的特点寻找规律是关键.八年级数学—11.3.2多边形的内角和
单选题
题型一：多边形内角和问题
1．（2023春·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）九边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·甘肃陇南·统考二模）的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是的分子结构图，包括20个正六边形和12个正五边形，其中正五边形的一个内角的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，的平分线与的平分线交于点，若，则（ ）
B． C． D．
题型二：多边形多（少）算一个内角问题
4．（2023春·九年级单元测试）小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（ ）
A．1 B．1 C．1 D．1
5．（2022秋·重庆云阳·七年级校考阶段练习）小明同学在用计算器计算某边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
题型三：多边形截角后的内角和问题
6．（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）一张多边形纸片沿如图中的虚线l剪去一部分后，得到一个内角和为1800°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
7．（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）如图，一个角的三角形纸片，剪去角后，得到一个四边形，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（ ）
A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6
题型四：多边形外角和问题
9．（2023春·河北保定·八年级校联考期末）正多边形的一个外角等于，这个多边形的边数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．用个全等的正五边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
11．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下面命题正确的个数有（ ）
（1）三角形具有稳定性；
（2）三角形内角和是；
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和；
（4）多边形的一组外角和是；
（5）直角三角形的两个锐角互余；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2021秋·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）如图，的结果为（ ）
A．270° B．300° C．360° D．540°
题型五：平面镶嵌的应用
13．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）用形状相同的多边形进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠地铺成一片，这就是一种密铺平面图形．下列图形中不能进行密铺的是（ ）
A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．等边三角形
14．（2023·北京·九年级专题练习）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
填空题
题型一：多边形内角和问题
15．（2023春·山西晋中·八年级统考期末）菠萝是夏季的一种时令水果，外披坚硬晶亮的“铠甲”，铠甲由多个六边形组成，体现无坚不摧的几何之美．如图，，则 ．
16．（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，正八边形一个内角的度数为 ．
题型二：多边形多（少）算一个内角问题
17．（2017·陕西·八年级阶段练习）已知一个n边形，除去一个内角α外，其余内角和等于1500°，则这个内角α= °．
18．（2023春·江苏·七年级专题练习）小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结构是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是 ．
题型三：多边形截角后的内角和问题
19．（2023春·山东枣庄·八年级校考期末）一个长方形切去一个角后，形成另一多边形的内角和为 ．
20．（2023春·全国·八年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ．
题型四：多边形外角的应用
21．（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）正边形的一个内角为，则 ．
22．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，那么的度数等于 ．
解答题
题型一：多边形内角和问题
23．（2023春·全国·八年级专题练习）根据图中相关数据，求出的值．
题型二：多边形多（少）算一个内角问题
24．（2023春·全国·八年级专题练习）看图回答问题：
(1)内角和为2014°，小明为什么说不可能？
(2)小华求的是几边形的内角和？
题型三：多边形外角的应用
25．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米，他在何处？
题型四：多边形内角和外角的综合运用
26．（2023春·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）（1）正八边形的每个内角是每个外角的倍，求的值；
（2）一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．
27．（2021春·全国·八年级专题练习）（1）一个多边形的内角和比它的外角和多，求该多边形的边数；
（2）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，，求和的度数．
参考答案：
1．B
2．C
3．B
4．D
5．D
6．B
7．C
8．D
9．D
10．C
11．D
12．C
13．B
14．B
15．
16．/135度
17．120
18．1980
19．或或
20．17，18或19
21．
22．/30度
23．的值为68
24．(1)理由见详解
(2)
【分析】（1）根据多边形的内角和定理即可求解；
（2）根据题意设多边形的边数为，根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：∵设多边形的边数为，则边形的内角和是，
∴内角和一定是度的倍数，
∵，
∴内角和为不可能．
（2）解：设多边形的边数为，
∴，解得，，
∴多边形的边数是，
∴小华求的是十三边形的内角和．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
25．他在点A处
【分析】根据题意可得，某人行走的路线正好是一个正多边形，利用多边形的外角和即可解决问题．
【详解】解：360°÷72°＝5，
∴某人行走的路线正好是一个正五边形，
∵某人从A处出发，向东走10米到达B处，再向左转72°走10米到达C处……照此方法行走，拐过4次弯后再走10米，
∴一共走了：10×5＝50（米），
∴最后他在点A处．
【点睛】本题主要考查根据多边形的外角和解决实际问题．解题的关键是明确多边形的外角和是360°，明确第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．
26．（1）；（2）十四边形
【分析】（1）分别求出正八边形的每个内角和外角的度数，即可求解；
（2）设这个多边形的边数为，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）∵正八边形的每个内角，正八边形的每个外角，
∴；
（2）设这个多边形的边数为，根据题意得：，
解得．
∴这个多边形是十四边形．
【点睛】此题考查多边形内角与外角，正确的列出方程组是解题的关键．
27．（1）该多边形的边数为8；（2）；．
【分析】（1）根据多边形的内角和公式以及外角和为360°建立关于边数的方程，求解即可；
（2）根据角平分线的性质得到，再由三角形的外角性质可得，根据是的高及三角形的外角性质可得．
【详解】解：（1）设该多边形的边数为n，由已知，得
，
解得，
∴该多边形的边数为8；
（2）∵是的角平分线，且，
∴，，
又∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∴．
【点睛】本题考查多边形的内角与外角、三角形的外角性质，解题的关键是掌握多边形的内角和定理及三角形外角的性质．
