2022-2023学年山东省烟台市莱州市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市莱州市七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 袋子中装有个黑球和个白球，随机摸出两个球下列事件是必然事件的是( )
A. 摸出两个白球 B. 摸出一个白球一个黑球
C. 至少摸出一个黑球 D. 摸出两个黑球
2. 已知是方程的一个解，则的值是( )
A. B. C. D.
3. 将一把直尺和一块含角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中，，则的度数为( )
A. B. C. D.
4. 下已知，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，，则下列说法错误的是( )
A.
B. 平行且等于
C. 平行且等于
D.
6. 若不等式组的解集是，则不等式可以是( )
A. B. C. D.
7. 如图，点、、、、、在同一平面内，连接、、、、、，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
8. 已知关于、的方程组中的，满足，则等于( )
A. B. C. D.
9. 随机抽检一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表．下列说法错误的是( )
抽取件数件
合格频数
合格频率
A. 抽取件的合格频数是 B. 抽取件的合格频率是
C. 任抽一件毛衫是合格品的概率为 D. 出售件毛衫，次品大约有件
10. 若关于的不等式组的整数解只有个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11. 在四川抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破．操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是厘米秒，操作人员跑步的速度是米秒．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过( )
A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米
12. 如图，点为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
13. 命题“如果，那么，”是______ 命题填“真”或“假”．
14. 当 ______ 时，的与的和超过．
15. 已知一个等腰三角形的两边，满足方程组，则此等腰三角形的周长为______．
16. 不等式组的解集为，则的取值范围为______．
17. 如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______ ．
18. 如图，在中，，，为上任意一点不与，重合，则 ______ 填“”、“”或“”．
19. 在中，，，则的面积为______ ．
20. 如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，，则______．
三、解答题（本大题共8小题，共57.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
解方程组：；
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
22. 本小题分
如图，在中，，是上一点．
过点作，垂足为点要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，若，求证：．
23. 本小题分
某人制成了一个如图所示的游戏转盘，转盘被分成个相同的扇形，取名为“开心转转转”游戏规定：参与者自由转动转盘，转盘停止后，若指针指向字母“”，则参与者交费元；若指针指向字母“”，则参与者获奖元，若指针指向字母“”，则参与者获奖元．那么任意转动转盘一次，转盘停止后，参与者交费元、参与者获奖元、参与者获奖元的概率各为多少？
24. 本小题分
如图，已知线段，相交于点，连接，，，若，．
求证：是等腰三角形；
．
25. 本小题分
如图，直线：与轴交于点，与直线：交于点，直线交轴于点．
关于，的方程组的解为______ ；
关于的不等式的解集为______ ；
若关于的不等式组的解集是，求直线的表达式．
26. 本小题分
已知方程组的解满足，均为负数．
求的取值范围；
在的条件下，若不等式的解为，求的整数值．
27. 本小题分
某商场计划购进、两种新型台灯共盏，它们的进价与售价如表所示：
类型价格 进价元盏 售价元盏
型
型
若商场预计进货款为元，则这两种台灯各购进多少盏？
将两种台灯全部售出，若总利润不低于元，则该商场需要至少购进多少盏型台灯？
28. 本小题分
已知中，，．
如图，为上任一点，连接，过点作的垂线交过点与平行的直线于点求证：．
若点在的延长线上，如图，其他条件同，请画出此时的图形，并猜想与是否仍然相等？说明你的理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、摸出两个白球，是不可能事件，故A不符合题意；
B、摸出一个白球一个黑球，是随机事件，故B不符合题意；
C、至少摸出一个黑球，是必然事件，故C符合题意；
D、摸出两个黑球，是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：把代入方程得：
，
解得：，
故选：．
把代入方程得出，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元一次方程，能得出关于的方程是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，，
．
故选：．
先根据平行线的性质得出，再由三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、，
，
故A符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C不符合题意；
D、，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、，
，
，
即，故此选项不合题意；
B、，
，，
，故此选项不合题意；
C、，
，，
，故此选项不合题意；
D、不能证明，故此选项符合题意；
故选：．
利用全等三角形的性质进行推理即可．
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
6.【答案】
【解析】解：由得，，
不等式组的解集是，
不等式可以是，
A、不等式解得，，故A符合题意；
B、不等式解得，故B不符合题意；
C、不等式解得，故C不符合题意；
D、不等式解得，，故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的解集同大取大的确定方法，就可以得出．
主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
7.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
，
，
，，
．
故选：．
根据得出，根据四边形内角和即可得出答案．
本题主要考查了多边形的内角与外角以及四边形内角和，解题的关键是熟练掌握四边形内角和为．
8.【答案】
【解析】解：，
得：，
．
又，
，
解得：，
的值为．
故选：．
将方程相加，可得出，方程两边同时除以，可得出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，通过解方程组及，找出是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：抽取件的合格频数是：，故A不合题意；
抽取件的合格频率是：，故B不合题意；
任抽一件毛衫是合格品的概率大约为，原说法错误，故C符合题意；
出售件毛衫，次品大约有：件，故D不合题意；
故选：．
根据表中数据，结合概率的意义、频数与频率的概念进行判断即可．
本题考查的是概率的意义、频数与频率的概念和求法，在大量重复实验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率；频数是指每个对象出现的次数，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值或者百分比，即频率．
10.【答案】
【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
关于的不等式组的整数解只有个，
．
故选A．
先解不等式组可得不等式组的解集为，再根据不等式组的整数解有个，可得的取值范围．
本题考查的是根据不等式组的整数解的个数求解参数的取值范围，难点与易错点是参数取等于号时，可以采用检验的方法进行确定．
11.【答案】
【解析】解：设导火线的长度为厘米，可列不等式：
，
解得厘米．
故选D．
操作人员所用时间应导火线所用时间．据此可列出不等式求解．
解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式．
12.【答案】
【解析】解：连接，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
点在射线上运动，
当时，的值最小，
．
故选：．
连接，证明≌，得，从而点在射线上运动，再利用垂线段最短解决问题．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的运动轨迹问题，证明点在射线上运动是解题的关键．
13.【答案】假
【解析】解：当，时，成立，但，不成立．故命题“如果，那么，”是假命题．
故答案为：假．
利用有理数的加法法则，即可判断命题的正误．
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，得．
解得．
故答案为：．
根据“的与的和超过”列出不等式，然后解该不等式即可．
本题主要考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系．
15.【答案】
【解析】解：解方程组得，
所以等腰三角形的两边长为，．
若腰长为，底边长为，由知，这样的三角形不存在．
若腰长为，底边长为，则三角形的周长为．
所以，此等腰三角形的周长为．
故答案为：．
先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．
16.【答案】
【解析】解：解不等式组，得．
不等式组的解集为，
，
解得．
故答案为．
求出每个不等式的解集，根据已知得出关于的不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于的不等式，难度适中．
17.【答案】
【解析】解：如图：
由题意得：，
，
，
，
由题意得：，
，
，
由折叠得：，
故答案为：．
根据题意可得：，从而可得，进而可得，再由题意可得：，从而可得，然后利用平角定义可得，再利用折叠的性质进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，翻折变换折叠问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，在上截取，使，连接，
是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
即，
故答案为：．
在上截取，使，连接，证明≌，得，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：过点作，交的延长线于点，
，
，，
，
，
，
，
的面积为：．
故答案为：．
过点作，交的延长线于点，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求得的度数，由含角的直角三角形的性质可求解的长，利用三角形的面积公式可求解的面积．
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的面积，含角的直角三角形的性质，求解的长是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：连接，，
是的平分线，，，
，，，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
．
故答案为：
首先连接，，由的平分线与的垂直平分线相交于点，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，继而可得，易证得≌，则可得，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21.【答案】解：方程组整理得，
得：，
解得：，
把代入中得：，
解得：，
原方程组的解为：；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
．
【解析】利用加减消元法，进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：如图所示，即为所求；
证明：，，
，即是的角平分线，
，
，
又，
．
【解析】以点为圆心，画弧，交于点，，以点，为圆心，大于的长为半径，画弧，交于点，连接，交于点，即为所求；
根据外角的性质，得到，进而推出，根据角平分线的性质，即可得证．
本题考查基本作图，角平分线的判定和性质，三角线的外角．熟练掌握垂线的作图方法，以及角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
23.【答案】解：任意转动转盘一次，转盘停止后，参与者交费元的概率；
参与者获奖元的概率；
参与者获奖元的概率．
【解析】利用概率公式分别计算各事件的概率．
本题考查了概率公式：某随机事件的概率这个随机事件发生的情况数除以总情况数．
24.【答案】证明：，
与是直角三角形，
在与中，
，
≌，
，
，
是等腰三角形；
，，
，
．
【解析】证明≌即可解决问题；
结合根据线段的和差即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌．
25.【答案】
【解析】解：在直线上，
当时，．
，
关于，的方程组的解为．
故答案为：；
由知点的坐标为，
由函数图象知，不等式的解集为．
所以关于的不等式的解集为．
故答案为：；
直线，表示的两个一次函数都大于，此时恰好，
直线过点，
又直线过点，
，
解得．
直线的函数解析式为．
因为点在直线上，可求出；直线直线交于点，所以方程组的解就是点的坐标；
实际上是求不等式的解集，结合函数图象直接得到答案；
因为直线，表示的两个一次函数都大于，此时恰好，所以直线过点，又有直线过点，可得关于、的方程组，解方程组即可．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法，另外本题还渗透了数形结合的思想．
26.【答案】解，
得，
，
得，
，
，
，，
，
解得：；
不等式移项得：，
不等式的解为，
，
解得：，
又，
的取值范围为，
整数的值为，
故答案为：．
【解析】将暂时当做已知数解方程组，把和用含有的式子表示出来，再根据为非正数，为负数，列出关于的一元一次不等式组，解之即可，
不等式的解为，根据不等式得性质得到，得到的取值范围，再根据的范围，求得最终的取值范围，即可得到答案．
本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键．
27.【答案】解：设购进型台灯盏，型台灯盏，
根据题意得：，
解得，
答：购进型台灯盏，型台灯盏；
设购进型台灯盏，型台灯盏，
根据题意得：，
解得，
答：该商场至少需要购进盏型台灯．
【解析】设购进型台灯盏，型台灯盏，可得：，即可解得购进型台灯盏，型台灯盏；
设购进型台灯盏，型台灯盏，根据题意得，即可解得答案．
本题考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式．
28.【答案】证明：，
，，
，
，
，，
，，
在和中，
≌
．
与仍然相等，
证明：过点作，过点作于点，
，
，，
，
，
，，
，，
在和中，
≌
．
【解析】先证，再证≌即可得出答案．
根据题意画出图形，然后可根据≌得出结论．
本题考查等腰三角形的性质，难度不大，注意利用全等三角形的知识证明线段的相等．
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