7.3.2.1正弦函数、余弦函数的图象 讲义（含解析）

编号：046 课题: §7.3.2.1 正弦函数、余弦函数的图象
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握正弦曲线、余弦曲线的图象；
2.正弦函数、余弦函数图象的初步认识；
3.会用“五点法”作三角函数的图象；
4.掌握正弦函数、余弦函数图象的应用．
本节重点难点
重点：用“五点法”作三角函数的图象；
难点：正弦函数、余弦函数图象的应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
1.正弦曲线
(1)正弦曲线
正弦函数y=sin x,x∈R的图象叫正弦曲线.
(2)正弦函数图象的画法
①几何法:
(ⅰ)利用正弦线画出y=sin x,x∈[0,2π]的图象;
(ⅱ)将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
②“五点法”:
(ⅰ)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0),______,(π,0),____,(2π,0),用光滑的曲线连接;
(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
(3)本质:正弦曲线是正弦函数的图形表示,是正弦函数的一种直观表示.
(4)应用:根据正弦曲线,能帮助学生更直观地认识正弦函数,进而根据正弦曲线推导正弦函数的一些常用性质.
【思考】在作y=2+sin x的图象时,应抓住哪些关键点
2.余弦曲线
(1)余弦曲线
余弦函数y=cos x,x∈R的图象叫余弦曲线.
(2)余弦函数图象的画法
①要得到y=cos x的图象,只需把y=sin x的图象向___平移个单位长度即可.
②用“五点法”画余弦曲线y=cos x在[0,2π]上的图象时,所取的五个关键点
分别为(0,1),, ______,, _____,再用光滑的曲线连接.
【思考】
y=cos x(x∈R)的图象可由y=sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么
【课前基础演练】
题1．函数y＝sin x，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.99的交点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题2．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则f(x)的图象( )
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移 个单位，得g(x)的图象
D．向右平移 个单位，得g(x)的图象
题3．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( )
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
题4．函数y＝－cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A． B．(π，1)
C．(0，1) D．(2π，1)
题5．将余弦函数y＝cos x的图象向右至少平移m个单位，可以得到函数y＝－sin x的图象，则m＝( )
A． B．π C． D．
题6．与图中曲线(部分)对应的函数解析式是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|
题7（多选题）．用“五点法”画y＝3sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪些点是关键点( )
A． B．
C．(π，0) D．(2π，0)
题8（多选题）．已知函数若y＝ ，则x的可能取值为( )
A．－ B． C． D．
题9．利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0，2π]的x的区间是__________．
题10．函数的定义域为____________________________．
题11．用“五点法”画出y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的简图．
【课堂检测达标】
题12. 点M 在函数y＝sin x的图象上，则m等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
题13．已知函数f(x)＝sin (ω>0)部分图象大致如图所示，则f(x)的最小正周期为( )
A. B． C． D．
题14（多选题）．函数y＝sin x－1，x∈[0，2π]与y＝a有一个公共点，则a的值可以为( )
A．－1 B．0 C．1 D．－2
题15（多选题）．函数y＝3＋sin x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点可能有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
题16．关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；
②y＝cos (－x)与y＝cos |x|的图象相同；
③y＝|sin x|与y＝sin (－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos x与y＝cos (－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是________．
题17．已知函数f(x)＝2cos x＋1，若f(x)的图象过点 ，则m＝______；若f(x)<0，则x的取值集合为____________________________________________．
题18．若集合，θ∈[0，2π]，求M∩N.
题19．方程sin x＝ 在x∈ 上有两个实数根，求a的取值范围．
【综合突破拔高】
题20．下列图象中，是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是( )
题21．函数y＝sin |x|的图象是( )
题22．下列函数图象相同的是( )
A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin (π＋x)
B．f(x)＝sin 与g(x)＝sin
C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin (－x)
D．f(x)＝sin (2π＋x)与g(x)＝sin x
题23．方程x2－cos x＝0的实数解的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题24．不等式sin x≥ ，x∈(0，2π)的解集为( )
A． B． C． D．
题25．方程sin x＝ 的根的个数是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
题26（多选题）．以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
题27．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)图象的列表．
x 0 ① 2π
－sin x ② －1 0 ③ 0
①________；②________；③________．
题28．在(0，2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是________.
题29．用“五点法”画出y＝cos ，x∈[0，2π]的简图．
题30．用“五点法”作出下列函数的简图．y＝－cos x，x∈[0，2π].
编号：046 课题: §7.3.2.1 正弦函数、余弦函数的图象
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握正弦曲线、余弦曲线的图象；
2.正弦函数、余弦函数图象的初步认识；
3.会用“五点法”作三角函数的图象；
4.掌握正弦函数、余弦函数图象的应用．
本节重点难点
重点：用“五点法”作三角函数的图象；
难点：正弦函数、余弦函数图象的应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
1.正弦曲线
(1)正弦曲线
正弦函数y=sin x,x∈R的图象叫正弦曲线.
(2)正弦函数图象的画法
①几何法:
(ⅰ)利用正弦线画出y=sin x,x∈[0,2π]的图象;
(ⅱ)将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
②“五点法”:
(ⅰ)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0),_________,(π,0),________,(2π,0),用光滑的曲线连接;
(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
(3)本质:正弦曲线是正弦函数的图形表示,是正弦函数的一种直观表示.
(4)应用:根据正弦曲线,能帮助学生更直观地认识正弦函数,进而根据正弦曲线推导正弦函数的一些常用性质.
【思考】在作y=2+sin x的图象时,应抓住哪些关键点
提示:作正弦函数y=2+sin x,x∈[0,2π]的图象时,起关键作用的点有以下五
个:(0,2),,(π,2),,(2π,2).
2.余弦曲线
(1)余弦曲线
余弦函数y=cos x,x∈R的图象叫余弦曲线.
(2)余弦函数图象的画法
①要得到y=cos x的图象,只需把y=sin x的图象向_左__平移个单位长度即可.
②用“五点法”画余弦曲线y=cos x在[0,2π]上的图象时,所取的五个关键点
分别为(0,1),, ________,, ______,再用光滑的曲线连接.
【思考】
y=cos x(x∈R)的图象可由y=sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么
提示:因为,所以y=sin x(x∈R)的图象向左平移个单位长度可得y=cos x(x∈R)的图象.
【课前基础演练】
题1．函数y＝sin x，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.99的交点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选B.观察图象(略)易知：有两个交点．
题2．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则f(x)的图象( )
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移 个单位，得g(x)的图象
D．向右平移 个单位，得g(x)的图象
【解析】选D.f(x)＝sin，g(x)＝cos＝cos＝sin x，f(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象．
题3．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( )
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
【解析】选C.求解方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝cos x在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．
f(x)＝|x|和g(x)＝cos x的图象如图，
显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．
题4．函数y＝－cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A． B．(π，1)
C．(0，1) D．(2π，1)
【解析】选B.用“五点法”作出函数y＝－cos x，x>0的图象如图所示，可知B正确．
题5．将余弦函数y＝cos x的图象向右至少平移m个单位，可以得到函数y＝－sin x的图象，则m＝( )
A． B．π C． D．
【解析】选C.根据诱导公式得，y＝－sin x＝cos＝cos，故欲得到y＝－sin x的图象，需将y＝cos x的图象向右至少平移 个单位长度．
题6．与图中曲线(部分)对应的函数解析式是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|
【解析】选C.注意题图所对应的函数值的正负，可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin |x|>0，而题图中显然小于零，因此排除选项B.
题7（多选题）．用“五点法”画y＝3sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪些点是关键点( )
A． B．
C．(π，0) D．(2π，0)
【解析】选BCD.五个关键点的横坐标依次是0， ，π， ，2π.代入横坐标，计算得B，C，D正确．
题8（多选题）．已知函数若y＝ ，则x的可能取值为( )
A．－ B． C． D．
【解析】选ABD.作出函数的图象，再作直线y＝ ，如图所示，则当－π≤x<0时，
由图象知x＝－ ，当0≤x≤π时，x＝ 或x＝ .
【光速解题】根据题意，画出函数f(x)的图象及直线y＝ 的图象，分别求出交点坐标即可．
题9．利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0，2π]的x的区间是__________．
【解析】画出y＝cos x，x∈[0，2π]上的图象如图所示．
cos x>0的区间为 .
答案：
题10．函数的定义域为____________________________．
【解析】要使原函数解析式有意义，必须满足 ＜sin x≤ .首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象，如图所示，
作直线y＝ ，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为 和 ；
作直线y＝ ，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为 和 .
观察图象可知，在[0，2π]上，当 ＜x≤ 或 ≤x＜ 时，不等式 ＜sin x≤ 成立，
所以 ＜sin x≤ 的解集为{x| ＋2kπ＜x≤ ＋2kπ或 ＋2kπ≤x＜ ＋2kπ，k∈Z}．
答案：{x| ＋2kπ＜x≤ ＋2kπ或 ＋2kπ≤x＜ ＋2kπ，k∈Z}
题11．用“五点法”画出y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的简图．
【解析】列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－2cos x＋3 1 3 5 3 1
描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象．
【课堂检测达标】
题12. 点M 在函数y＝sin x的图象上，则m等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
【解析】选C.由题意得－m＝sin ，所以－m＝1，所以m＝－1.
题13．已知函数f(x)＝sin (ω>0)部分图象大致如图所示，则f(x)的最小正周期为( )
A. B． C． D．
【解析】选A.当x＝ 时，f(x)＝1，所以 ＋2kπ，k∈Z，即ω＝ k，k∈Z，由图象可知，解得，
当k≥1时，T＝ ，不符合题意．
当k＝0时，ω＝ ，所以f(x)的最小正周期为T＝，符合题意．
题14（多选题）．函数y＝sin x－1，x∈[0，2π]与y＝a有一个公共点，则a的值可以为( )
A．－1 B．0 C．1 D．－2
【解析】选BD.画出y＝sin x－1的图象．如图．
依题意a＝0或a＝－2.
题15（多选题）．函数y＝3＋sin x，x∈的图象与直线y＝t(t为常数)的交点可能有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】选ABC.在平面直角坐标系中，作出y＝3＋sin x，x∈的图象，
由图象可知，与直线y＝t(t为常数)的交点个数可能为0，1，2.
题16．关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；
②y＝cos (－x)与y＝cos |x|的图象相同；
③y＝|sin x|与y＝sin (－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos x与y＝cos (－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是________．
【解析】对②，y＝cos (－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；
对④，y＝cos (－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．
答案：②④
题17．已知函数f(x)＝2cos x＋1，若f(x)的图象过点 ，则m＝______；若f(x)<0，则x的取值集合为____________________________________________．
【解析】当x＝ 时，f(x)＝2cos ＋1＝1，所以m＝1.
f(x)<0即cos x<－ ，
作出y＝cos x在x∈[0，2π]上的图象，如图所示．
由图知x的取值集合为{x| ＋2kπ答案：1 {x| ＋2kπ题18．若集合，θ∈[0，2π]，求M∩N.
【解析】首先作出正弦函数，余弦函数在[0，2π]上的图象以及直线y＝ ，如图所示．
由图象可知，在[0，2π]内，
sin θ≥ 时，得 ≤θ≤ ，cos θ≤ 时，得 ≤θ≤ .
所以在[0，2π]内，同时满足sin θ≥ 与cos θ≤ 时， ≤θ≤ .所以M∩N＝ .
题19．方程sin x＝ 在x∈ 上有两个实数根，求a的取值范围．
【解析】首先作出y＝sin x，x∈的图象，然后再作出y＝的图象，如果y＝sin x，x∈与y＝的图象有两个交点，方程sin x＝，x∈就有两个实数根．
设y1＝sin x，x∈，y2＝.
y1＝sin x，x∈的图象如图．
由图象可知，当 ≤＜1，即－1＜a≤1－ 时，y1＝sin x，x∈的图象与y2＝的图象有两个交点，即方程sin x＝在x∈上有两个实根．
【综合突破拔高】
题20．下列图象中，是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是( )
【解析】选D.函数y＝－sin x的图象与函数y＝sin x的图象关于x轴对称．
题21．函数y＝sin |x|的图象是( )
【解析】选B.y＝sin |x|＝ 故选B.
题22．下列函数图象相同的是( )
A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin (π＋x)
B．f(x)＝sin 与g(x)＝sin
C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin (－x)
D．f(x)＝sin (2π＋x)与g(x)＝sin x
【解析】选D.A中g(x)＝－sin x；
B中f(x)＝－cos x，g(x)＝cos x；
C中g(x)＝－sin x；
D中f(x)＝sin x．
题23．方程x2－cos x＝0的实数解的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，
由图象可知，原方程有两个实数解．
题24．不等式sin x≥ ，x∈(0，2π)的解集为( )
A． B． C． D．
【解析】选B.因为sin x≥，x∈(0，2π)，结合y＝sin x的图象知， ，故不等式sin x≥的解集为.
题25．方程sin x＝ 的根的个数是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【解析】选A.在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示．
根据图象可知方程有7个根．
题26（多选题）．以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
【解析】选ACD.观察y＝sin x的图象可知A，C，D正确，且关于原点中心对称．
题27．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin x(0≤x≤2π)图象的列表．
x 0 ① 2π
－sin x ② －1 0 ③ 0
①________；②________；③________．
【解析】用“五点法”作y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0，0)， ，(π，0)， ，(2π，0)，故①为π，②为0，③为1.
答案：①π ②0 ③1
题28．在(0，2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是________.
【解析】在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，2π)与y＝cos x，x∈(0，2π)的图象如图所示，
由图象可观察出当x∈ 时，sin x>cos x.
答案：
题29．用“五点法”画出y＝cos ，x∈[0，2π]的简图．
【解析】由诱导公式得y＝cos＝－sin x，
(1)列表：
x 0 π 2π
－sin x 0 －1 0 1 0
cos 0 －1 0 1 0
(2)描点：在坐标系内描出点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来．
题30．用“五点法”作出下列函数的简图．y＝－cos x，x∈[0，2π].
【解析】列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－cos x －1 0 1 0 －1
描点连线，如图