人教版数学九年级上册 22.2二次函数与一元二次方程 同步练习题 （含解析）

2023-2024学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》
同步练习题（附答案）
一、单选题
1．已知抛物线过，，且它与x轴只有一个公共点，则c的值是（　　）
A．4 B． C．6 D．9
2．已知二次函数（其中是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与轴有唯一公共点，则的值为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
3．二次函数（a，b，c为常数）中，x与y的部分对应值如下表：
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 …
以下结论：①该二次函数图象开口向上；
②当时，该二次函数取最大值为1；
③当时，；
④若点，在该二次函数图象上，则；
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．②③④
4．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
5．观察如图的二次函数图象中，其中错误的是（ ）

A． B．函数的最小值为
C． D．当时，
6．二次函数，当时，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．关于的方程的两根分别是，，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象如图所示，当直线与新图象有个交点时，的值为(　　)
A． B． C．或 D．或
二、填空题
9．抛物线与轴的交点坐标是 ．
10．若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ．
11．若函数的图像与轴有交点，则的取值范围是 ．
12．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接，若，，则a的值是 ．
13．抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围是 ．
14．已知直线经过抛物线的顶点，且当时，．则：
（1）直线与抛物线都经过同一个定点，这个定点的坐标是 ．
（2）当时，的取值范围是 ．
15．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为 ．
16．如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是 ．
三、解答题
17．已知抛物线
(1)求抛物线的对称轴（用含m的代数式表示）；
(2)若点在此抛物线上，请比较a，b的大小；
(3)已知点，如果此抛物线与线段只有一个公共点，求m的取值范围．
18．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，已知点，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求的最大值与最小值；
(3)点是抛物线上一动点，且到轴的距离小于3，请直接写出点的横坐标的取值范围．
19．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接．

(1)求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)若已知x轴上一点，则在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知一次函数的图像与二次函数的图像相交于点、．
(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图像；
(2)根据函数图像，直接写出不等式的解集；
(3)方程在范围内只有一个解，求的取值范围；
(4)把二次函数的图像左右平移得到拋物线，直接写出当抛物线与线段只有一个交点时的取值范围．
21．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的表达式及点D坐标；
(2)将抛物线关于点B对称后的抛物线记为．点P是x轴上一点，请问在上是否存在一点Q，使以B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形 若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：∵抛物线过，，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴，解得；
故选：D.
2．解：抛物线经过不同两点，，
抛物线对称轴为直线，
即，整理得，
抛物线与轴有唯一交点，
∴
，
，，
．
故选：C．
3．解：由于抛物线过把，，则设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，抛物线的开口向下，故①错误；
当时，该二次函数取最大值为1，故②正确；
当时，，故③正确；
若点，是抛物线对称轴右侧的两点，则；若点，是抛物线对称轴左侧的两点，；若点，是抛物线对称轴异侧的两点，则或，故④错误，
综上，②③正确；
故选：C．
4．解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为 ，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当时，
即
∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
5．解：由图象得二次函数的图象经过，代入，可得，故A正确；
由图象可得函数开口向上，且对称轴坐标为，故函数的最小值为，故B正确；
由图象可得函数与轴有两个交点，可得，故C正确；
有图像可得时，随着的增大而减小，故当时，，故D错误，
故选：D．
6．解：如图

由上图得：
当时，
，
故选：A．
7．解：将，代入方程，得
解得
二次函数解析式为．
点坐标为．
将代入二次函数，得
，
解得，．
点坐标为．
的长为．
故选：C．
8．解：如图所示，直线在图示位置时，直线与新图象有个交点，
，令，则或，则点，
将点的坐标代入并解得：，
二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，对应的函数表达式为：，
联立，消去整理得：，
，
解得： ，
当或时，直线与这个新图象有三个交点，
故选：D．
9．解：令，则：
解得：，
∴抛物线与轴的交点坐标是，；
故答案为：， ．
10．解：当，即时，函数解析式为：是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，
当即时，函数为二次函数，
∵函数的图象与x轴有且只有一个交点，
∴有1个实数根，
∴，
解得．
故答案为：或．
11．解：当时，函数是一次函数，与x轴有交点，
解得：；
当时，令，与x轴有交点，满足，
解得：且；
综上所述，与x轴有交点时，；
故答案为：．
12．解：过点C作轴于点D，
∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，，
∴，
∵，
∴，
设点A的坐标为，则，
∴，
∴抛物线解析式为，
∵点为抛物线的顶点，
∴抛物线解析式为，
∴，
即，
解得：．
故答案为：
13．解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴关于x的一元二次方程为：，
当时，
，
解得：，
当时，
，
解得：．
∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，
∴，
关于x的一元二次方程有实数根，可以看作是抛物线与直线有交点，
∵抛物线在时有最小值，
∴t的取值范围是：．
故答案为：．
14．解：（1）∵，
∴直线经过点，
∵，
∴抛物线经过点，
即与都经过同一个点；
故答案为：
（2）∵，
∴抛物线的顶点为，
∵直线经过抛物线的顶点，
∴直线与抛物线的交点为，，
∵当时，，
∴，．
画出大致图象如下：
∴当时．的取值范围是．
故答案为：
15．解：抛物线与直线相交于点，，
关于的不等式的解集为，
故答案为：．
16．解：在中，令，则，
∴，
在中，令，则，解得或，
∴，
∴，
设点D的坐标为，则
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵抛物线经过A、B，
∴可设抛物线的解析式为，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：．
17．解：（1）∵，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）∵，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线，
∴时，y随x的增大而减小，
∵，
∴．
（3）∵，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，
∵，
∴点在线段上，
∴点不在线段上时，符合题意，
∴或或，
解得或或．
18．（1）解：抛物线经过点、
，解得，
抛物线的解析式为．
故答案为：．
（2）解：
抛物线的对称轴为直线，开口向上，
，
当时，，
当时， ，
当时，，
的最大值为0，最小值为．
故答案为：的最大值为0，最小值为．
（3）解：点是抛物线上一动点，且到轴的距离小于3，
．
当时，解得或．
当时，令，则，
．
，
，
到轴距离大于3，
点在的左边或在的右边．
综合①和②可知，或．
故答案为：或．
19．（1）解：由得到：，
令，则，
∴或，
则，，对称轴是．
令，则，
所以，
综上所述，，，，对称轴是；
（2）解：假设存在满足条件的点．
设．
又，
∴，，，
①当点是直角顶点时，则，即，
解得，
此时点的坐标是；
②当点为直角顶点时，，即，
解得，
此时点的坐标是；
③当点为直角顶点时，，即，
解得或，
此时点的坐标是或．
综上所述，满足条件的点的坐标为：或或或．
20．（1）解：将，，代入得，
，解得，
，，
一次函数的图象过点和点，
，
解得 ，
一次函数的表达式为，
函数图象如下所示：
（2）解：由（1）中的图象可知，不等式的解集为：或；
（3）解：把代入得，
，，
∴当时，
由图象可知，当时，抛物线与直线只有一个交点，的取值范围是或；
（4）解： 当过点时，即，
解得或，
当时，抛物线与原二次函数重合，与线段有两个交点，，故舍去，
；
当过点时，即，
解得，
∴当时，此时满足题意；
③当与直线只有一个交点时，
令，
整理得：，
则，
解得：，
综上，或．
21．解：（1）∵抛物线与x轴交于，两点，
可设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入，得，
解得：，
∴设抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点；
（2）将抛物线关于点B对称后的抛物线记为，点E为抛物线的顶点，设与x轴的另一交点为K，如下图所示

∵，
∴，
∴抛物线的二次项系数为1，
∵点，，
∴抛物线的顶点E的坐标为，，
∴抛物线的解析式为；
①当为平行四边形的边时，
情况一：为对角线时，如图，

∴，，即可看作平移得到，
∵点，点Q的纵坐标与点C相同，
∴当时，，
解得：，（结合图象，不合题意舍去），
即；
情况二：为为平行四边形的边时,如图，

同理可求出得；
②当为平行四边形的对角线时，过Q点作于点G，

根据平行四边形的性质可知：，
结合平行四边形的对称性可知：点D的纵坐标与点Q的纵坐标互为相反数，
∴，
∵，
∴，
∴，
即当时，，
解得：，，
当时，，
即，
∴，则点P与点B重合，不符合题意舍去，
即当时，，
综上：点Q的坐标为或或．