人教版数学九年级上册 22.1二次函数的图象和性质 同步练习题 （含解析）

2023-2024学年人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图象与性质》同步练习题（附答案）
一、单选题
1．下列函数中不属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．不能确定，与的值有关
4．抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的解析式为 ，则，的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（ ）

A． B．该抛物线必过点
C．当时，y随x增大而增大 D．当时，
6．二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题
9．抛物线的对称轴是直线 ．
10．抛物线的顶点坐标是 ．
11．将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，若，则a的值是 ．
13．若二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 0 0 4 …
则当时，y的最大值为 ．
14．将抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式是 ；
15．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．
16．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为 ．

三、解答题
17．已知某抛物线的对称轴为直线，且过和两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)填空：
①当时，值所对应的范围是___________；
②若将此抛物线向下平移个单位与轴有公共点时，则的范围是___________．
18．如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当时，y的取值范围为 ；
(3)直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点，且与x轴只有一个公共点．
19．如图，抛物线与轴交于，两点，是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的表达式．
(2)作轴于点，为抛物线上位于点，之间的一点，连接，若恰好平分的面积，求点的坐标．
(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，拋物线与直线交x轴于点A，交y轴于点B．

(1)求拋物线的解析式；
(2)当时，请求出y的最大值和最小值；
(3)以为边作矩形，设点C的横坐标为m．当边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
21．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
参考答案
1．解：A、是二次函数，不符合题意；
B、是二次函数，不符合题意；
C、不是二次函数，符合题意；
D、是二次函数，不符合题意；
故选：C.
2．解：因为抛物线，
所以抛物线的顶点坐标是．
故选D．
3．解：∵
，
∴抛物线对称轴为直线，
∵抛物线与轴一个交点为，
∴另一个交点的横坐标为：，
∴另一个交点为，
故选：B．
4．解：由，
，
，
∵抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，
∴所得图象的解析式为，
即，
∴，，
故选：．
5．解：（1）将代入解析式得，
故A正确，不符合题意；
（2）结合题意，由（1）可知，当时，
，
，
，
，
抛物线必过点，
故B正确，不符合题意；
（3）结合题意可知，
抛物线的对称轴为：，
当时，随增大而增大，
故当时，随增大而增大，
故C正确，不符合题意；
（4）结合题意由（3）可知，
，
，
当时，
故D错误，符合题意；
故选D．
6．解：∵点和在二次函数的图象上，
∴a、b是方程的两个根，
∴，
∵将代入，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．解：A、由图象得：，，由得： ，抛物线的开口向上，交于轴负半轴，符合题意，故此项正确；
B、由得： ，抛物线的开口向上，故此项错误；
C、由图象得：，， 的图象应交于轴正半轴，故此项错误；
D、由得：图象交于轴的，故此项错误；
故选：A．
8．解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，
∴，，，
∴，
∴，故①不符合题意；
∵对称轴为直线，
∴当与时的函数值相等，
∴，故②符合题意；
∵当时函数值最大，
∴，
∴；故③不符合题意；
∵点和点在该图象上，
而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，
∴．故④符合题意；
故选：D．
9．解：方法1：利用公式法
的顶点坐标公式为，代入数值求得对称轴是直线；
方法2：利用配方法
，故对称轴是直线．
故答案为：．
10．解：变形，得
．
所以，抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
11．解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为．
故答案为：．
12．解：把代入中得，，
∴
∴A的横坐标为，B横坐标为
∴
把代入得，，
∴
∴C的横坐标为，D横坐标为
∴
∵，
∴
∴
故答案为：．
13．解：根据表中可知：点和点关于对称轴对称，
即对称轴是直线，
设二次函数的表达式是，
把点和点代入得：，
解得：，，
，
所以该二次函数的表达式是；
函数图象如图所示，
由图象可得∶当时， ﹣，最大值为4.
故答案为∶ 4．
14．解：∵抛物线的图象上的点关于原点对称后横、纵坐标都变为相反数，
∴得到的抛物线的解析式是，
整理得：，
故答案为：．
15．解：∵，
∴抛物线开口向下，且对称轴为直线，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∴点关于直线的对称点是，
∵，
∴．
故答案为：．
16．解：分别过点，，作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，

设，，，
由勾股定理则，，，
在中，，
代入中，得，解得，即，
在中，，
代入中，得，解得，即，
在中，，
代入中，得，解得，即，
…，
以此类推由此可得的边长为2023．
故答案为：2023．
17．（1）解：设抛物线解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，且过和两点
∴
解得：
∴抛物线解析式为
（2）①∵ ，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
∵，
∴当时，取得最大值
当时，取得最小值
∴当时，值所对应的范围是；
故答案为：．

②∵顶点坐标为
∴若将此抛物线向下平移个单位与轴有公共点时，则的范围是
故答案为：．
18．（1）解：二次函数的图像经过点，顶点坐标为，
设这个二次函数的表达式为：，
把代入得：
，，
解得：，
这个二次函数的表达式为：；
（2）解：，二次函数的表达式为，
二次函数的图象有最高点，对称轴是直线，
当时，，
当时，，
的取值范围为：，
故答案为：；
（3）解：该二次函数的图象经过平移后，与x轴只有一个公共点，
该二次函数的图形平移后的顶点在x轴上，设它的表达式为，
该二次函数的图像经过怎样的平移恰好过点，
，
解得：，
即该函数的图象平移后的表达式为：或，
该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好经过点，且与x轴只有一个公共点．
19．（1）解： 是抛物线的顶点，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线经过点，
，
，
解得：，
抛物线的表达式为．
（2）解：如图，与交于，

恰好平分的面积，
是的中点，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
．
（3）解：存在，
如图，连接，分别过、、作、、的平行线，分别交于、、，
四边形、四边形、四边形均是平行四边形，

，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
可设直线的解析式为，
，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
同理可求：，
将向上平移个单位得到，
，
故的坐标为或或．
20．解：（1）直线交轴于点，交轴于点，
点的坐标为，点的坐标为.
抛物线经过，两点，
解得
抛物线的解析式为：；
（2），
顶点，
，
当时，，
当时，；当时，.
；
（3）设直线交抛物线的另一点于，

，点的坐标为，
的解析式：.
当时，
解得（舍去），.
.
设直线交抛物线的另一点于，
同理可求的解析式：，
当时，
解得（舍去），，
，
当点与点重合时，与抛物线有一个交点，此时；
当点与点重合时，与抛物线有一个交点，此时；
不与重合，
．
综上所述：当，且时，边与抛物线只有一个公共点．
21．（1）解：设抛物线的函数表达式为，
∵当时，，
∴点C的坐标为，
将点C坐标代入表达式，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
（3）连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，
∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P，
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点，Q是的中点，
∴，
当时，点A的坐标为，
∴，
∴抛物线平移的距离是4．