2022-2023学年江苏省连云港市海州区重点中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省连云港市海州区重点中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 第十二届江苏省园艺博览会以“山海连云，丝路绿韵”为主题，耗资约亿打造的连云港园博园于年月日盛大开园把数字“亿”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 如图，由个大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是( )
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是( )
A. 为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式
B. 一组数据，，，，，，的众数和平均数都是
C. 若甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据更稳定
D. 抛掷一枚硬币次，一定有次“正面向上”
6. ，两地相距千米，一辆大汽车从地开出小时后，又从地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的倍，结果小汽车比大汽车早分钟到达地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，，，是上三点，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，点，点是线段上任意一点，在射线
上取一点，使，在射线上取一点，使所在直线的关系式为，点、分别为线段、的中点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 函数中自变量的取值范围是______．
10. 因式分解： ______ ．
11. 已知方程组，则的值为______．
12. 用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
13. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是______ ．
14. 在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为，的三个顶点均在格点上则的值为______ ．
15. 如图，矩形的边在轴的负半轴上，顶点在反比例函数的图象上，直线交轴点，且，则的值为______ ．
16. 如图，中，，，点在边上，，以为边作等边，交于点，则 ______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
化简．
19. 本小题分
解方程：．
20. 本小题分
无锡教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
本次调查的样本容量是______，扇形统计图中表示等级的扇形圆心角为______；
补全条形统计图：
学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
21. 本小题分
春开学，为防控新冠病毒，学生进校必须戴口罩，测体温，某校开通了、、三条人工测体温的通道，在三个通道中，可随机选择其中的一个通过．
其中一个学生进校园时由通道过的概率是______；
求两学生进校园时，都是通道过的概率．用画“树状图”或“列表法”求解
22. 本小题分
如图，在菱形中，，是对角线上的两点，且．
求证：≌；
证明四边形是菱形．
23. 本小题分
如图，直线经过上的点，直线与交于点和点，与交于点，与交于点，，．
求证：是的切线；
若，．
求的值；
求图中阴影部分面积．
24. 本小题分
年月日时分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射天舟五号货运飞船重约吨，长度米，货物仓的直径可达米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面处测得飞船底部处的仰角，顶部处的仰角为．
求的度数；
求此时观测点到发射塔的水平距离结果精确到米参考数据：，，
25. 本小题分
如图，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点、是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点、、、是该图案与坐标轴的交点，且点的坐标为．
求的值及的长；
求的长；
若点是该图案上的一动点，点、点关于直线对称，连接，求的最大值及此时点的坐标．
26. 本小题分
如图，动点从矩形的顶点出发，以的速度沿折线向终点运动；同时，一动点从点出发，以的速度沿向终点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动点为的中点，连接，，记的面积为，点运动的时间为，其函数图象为折线和曲线图，已知，，，点的坐标为．
点与点的速度之比的值为______ ；的值为______ ；
如果．
求线段所在直线的函数表达式；
求所在曲线的函数表达式；
是否存在某个时刻，使得？若存在，求出的取值范围：若不存在，请说明理由．
27. 本小题分
问题提出：
在学习几何时，我们可以通过构造基本图形，将几何“模型“化例如在三角形全等与三角形的相似的学习过程中，“”字形是非常重要的基本图形如图，已知：，、、三点共线，，由易证≌；
如图，已知：，、、三点共线，若、、，则的长为______ ；
问题探究：
如图，已知：，，、、三点共线，求证：；
如图，已知点，点在直线上，若，则此时点的坐标为______ ；
问题拓展：
如图，正方形中，点是边上一点，，，垂足分别为、若，四边形的面积等于，求正方形的面积．
如图，正方形中，点、分别在、边上，，连接、，则的最小值是______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为．
所以的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义，乘积是的两个数互为倒数解答即可．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是的两个数互为倒数．
2.【答案】
【解析】解：和不是同类项，不能合并，A错误，故选项A不符合题意；
B.和不是同类项，不能合并，B错误，故选项B不符合题意；
C.，C错误，故选项C不符合题意；
D.，D正确，选项D符合题意．
故选：．
由合并同类项法则及完全平方公式依次判断每个选项即可．
本题主要考查合并同类项，完全平方公式等内容，熟记同类项定义及合并同类项法则是解题基础．
3.【答案】
【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：从正面看，易得第一层右边有个正方形，第二层有个正方形．
故选：．
根据主视图的概念找出找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5.【答案】
【解析】解：为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取抽样调查的方式，故本选项不合题意；
B.数据，，，，，，的众数是平均数为，故本选项不合题意；
C.若甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据更稳定，说法正确，故本选项符合题意；
D.抛掷一枚硬币次，不一定有次“正面向上”，故本选项不合题意；
故选：．
选项A根据抽样调查和全面调查的意义判断即可；选项B根据众数和平均数的定义判断即可；选项C根据方差的意义判断即可；选项D根据随机事件的定义判断即可．
本题考查了方差，众数，平均数以及全面调查与抽样调查，掌握相关定义是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，
由题意得，．
故选C．
设大汽车的速度为，则小汽车的速度为，根据题意可得，同样走千米，小汽车比大汽车少用小时，据此列方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
7.【答案】
【解析】解：连接，
，
，
由，
，
．
故选：．
连接，要求的度数，只要在等腰三角形中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．
本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：连接，，设交于点，过点作，连接，如图：
，点为的中点，
，平分，
，
，点为的中点，
，平分，
，
，
，
四边形为矩形，
，
当为最小时，为最小，
根据“垂线段最短”得：当点与点重合时，为最小，最小值为的长，
即的最小值为线段的长，
设，
点的纵坐标为，
又点在直线上，
，
四边形为矩形，，
，，
，，
，
∽，
：：，
即：：：，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
，
的最小值为．
故选：．
连接，，设交于点，过点作，连接，先证四边形为矩形得，因此当为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得：当点与点重合时，为最小，最小值为的长，此时只需求出即可；设，根据点在直线上得，然后证∽得，进而得，最后根据点即可求出的值．
此题主要考查了一次函数的图象，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段的性质等，解答此题的关键是证四边形为矩形，把求的最小值转化为求的最小值，最后转化为求线段的长．
9.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
得：，
整理得：．
故答案为：．
方程组两方程左右两边相加，整理即可求出的值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
12.【答案】
【解析】解：，解得．
故答案为：．
利用底面周长展开图的弧长可得．
解答本题的关键是有确定底面周长展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
13.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程无实数根，
，
解得：．
故答案为：．
由方程无实数根即，从而得出关于的不等式，解之可得．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：设边上靠近点的格点为，连接，如图：
网格中小正方形的边长为，
，，
，为小正方形的对角线，
，
，
在中，，，
．
故答案为：．
设边上靠近点的格点为，连接，先利用勾股定理求出，，再证，然后在中根据正切函数的定义可得出的值．
此题主要考查了解直角三角形，解答此题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，难点是根据网格的特点构造直角三角形．
15.【答案】
【解析】解：，则，，
矩形的顶点在反比例函数的图象上，
，
，
，即，
，
，即，
，即，
，
故答案为：．
由，得出，，，再根据，得出，最后根据，得出，求得的值即可．
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能很好地考查学生分析问题，解决问题的能力．解题的关键是将的面积与点的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．
16.【答案】
【解析】解：过点作于，过点作交的延长线于，如图：
设，则，
，
赵中，，，
由勾股定理得：，
，，
，，
∽，
：：：，
，
，，
，
在中，，
在中，，
，
，
设，
为等边三角形，
，，
又，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作于，过点作交的延长线于，设，则，，，证和相似，利用相似三角形的性质求出，，由此可求出，然后可得，则，然后设，解得，，由此可求出，据此即可得出答案．
此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定、解直角三角形的方法，难点是正确的作出辅助线，构造相似三角形．
17.【答案】解：
．
【解析】首先计算开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：原式．
【解析】利用平方差公式和单项式乘多项式法则解答．
考查了平方差公式，单项式乘多项式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
19.【答案】解：方程两边都乘以得，
，
解得，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解是．
【解析】方程两边都乘以最简公分母把分式方程化为整式方程，求解，然后进行检验即可得解．
本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根
20.【答案】
【解析】解：条形统计图中等级的人数为，扇形统计图中等级所占比例为，
本次调查的样本容量为，
扇形统计图中表示等级的扇形圆心角为，
故答案为：；；
本次调查的样本容量为，等级人数占，
等级人数为人，
故本次调查的等级人数为人，
补全条形统计图如下：
本次调查的样本容量为，等级人数为人，
等级人数所占比例为，
全校人需要培训的学生人数人，
故估计该校需要培训的学生人数为人．
根据条形统计图中等级的人数和扇形统计图中等级所占比例可求出样本容量和扇形统计图中表示等级的扇形圆心角；
用样本容量乘以等级所占比例即可求出等级人数；
用全校人数乘以等级所占比例即可求得该校需要培训的学生人数．
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图和用样本估计总体．
21.【答案】解：；
画树状图如下：
共有种等情况数，其中两学生进校园时都是通道过的有种情况，
则两学生进校园时，都是通道过的概率是．
【解析】
解：有三条人工测体温的通道，分别是、、，
其中一个学生进校园时由通道过的概率是；
故答案为：；
见答案．
【分析】
直接根据概率公式求解即可；
根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
在和中，
，
≌；
如图，连接，交于，
四边形是菱形，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形．
【解析】由“”可证≌；
由菱形的性质可得，，，可求，可得结论．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
23.【答案】证明：连接，
，，
，
是的半径，
是的切线；
解：是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
在中，
，，
，
，
．
【解析】连接，由等腰三角形的性质证得，根据切线的判定得到是的切线；
由圆周角定理结合平行线的性质得到，由垂径定理求得，根据等腰三角形的性质结合平角的定义求得，可得结论；
在中，根据三角函数的定义求得，，根据即可求出阴影部分面积．
本题主要考查了切线的性质和判定，扇形和三角形的面积公式，三角函数的定义，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识，根据由垂径定理和等腰三角形的性质结合平角的定义求出，是解决问题的关键．
24.【答案】解：由题意，，
；
由题意得：，
在中，，
，
在中，，
，
米，
，
，
米，
此时观测点到发射塔的水平距离约为米．
【解析】利用角的和差定义求解；
根据题意可得：，然后在和中，分别利用锐角三角函数的定义求出，的长，最后根据米，列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】解：把点的坐标代入得，
由对称性得，
；
联立与得，
，即，
或，
，，
；
如图所示，设过点与平行的直线为，当直线与相切时最大．
由得，
，
，，
，
点、点关于直线对称，
，
，
由对称性得点的坐标为时亦满足题意，
的最大值为，此时点的坐标为或
【解析】把点的坐标代入得，；
联立与求出交点、，再求的长；
设过点与平行的直线为，当直线与相切时最大，联立与，利用求出，进而求出、，最后求的最大值．
本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，并结合了图象对称，线段的长度和最值，体现了方程和数形结合的思想．
26.【答案】
【解析】解：，，，
，，
由图象可知：时，与重合，时，与重合，时，与重合，
的速度，的速度，
四边形是矩形，
，，
为的中点，
，
，
从到用了秒，从到用了秒，
，，
，
：的值为，
故答案为：，；
，
，
由题知，时，与重合，与重合，
，
：，，
，
，
舍去负值，
，
，
当时，，
，此时与重合，
，
，
设直线的解析式为，
将与代入得：，
，
线段所在直线的函数表达式为；
设所在的曲线的函数解析式为，
，，，
，
解得，
所在的曲线的函数解析式为；
存在，分情况讨论如下：
当在上，在上时，
直线经过点，，
可求得直线的解析式为，
当时，，
，
随的增大而减小，
当时，，
当在上，在上时，
直线的解析式为；
由知：当时，，
当在上，在上时，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
或舍去，
由图象知：当时，，
综上，时，的取值范围为或．
由函数图象可知时，与重合，时，与重合，时，与重合，则的速度，的速度，从而得出答案；
当时，与重合，与重合，此时，可得，，从而得出点与的速度，即可得出点的坐标，利用待定系数法可得答案；
设所在的曲线的函数解析式为，把，，代入解析式求得，，的值即可求解答；
利用待定系数法求出直线的函数解析式，当时，可得的值，根据图象可得答案．
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．
27.【答案】
【解析】解：，
，
，
∽，
，
即，
，
，
故答案为：；
证明：，
，
，
又，
≌，
，，
，
；
过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，，
，
，
，
又，
∽，
，
点在直线上，
设，
则，
解得，
，
故答案为：；
正方形中，，，
，，，
，
，，
四边形的面积等于，
，
即，
，
解得或舍去，
，
正方形的面积为；
设正方形的边长为，，则，
，，
，
令，则，
，
，
当时，有最大值，则有最小值，最小值为，
故答案为：．
证∽，按比例求出，再利用勾股定理求出的长即可；
证≌，则，，然后等量代换得出结论即可；
过点作轴于点，过点作轴于点，证∽，设出点坐标，根据比例关系求出点坐标即可；
证≌，得，，根据四边形的面积等于，求出的长，再根据勾股定理求出的长，然后求正方形面积即可；
设正方形的边长为，，则，利用勾股定理分别求出和的值，然后利用配方法求最值即可．
本题主要考查一次函数，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，综合性较强，熟练掌握一次函数，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
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