2022-2023学年山东省烟台市开发区九年级（下）期中数学试卷（五四学制（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市开发区九年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 下列垃圾分类标识的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列各式中，计算结果等于的是( )
A. B. C. D.
4. 如图的两个几何体分别由个和个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是( )
A. 仅主视图不同 B. 仅俯视图不同
C. 仅左视图不同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同
5. 如图，三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是( )
A. B. C. D.
6. 如图，两个相同的可以自由转动的转盘和，转盘被三等分，分别标有数字，，；转盘被四等分，分别标有数字，，，如果同时转动转盘，，转盘停止时，两个指针指向转盘，上的对应数字分别为，当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘，那么点落在直角坐标系轴正半轴上的概率是( )
A. B. C. D.
7. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为．( )
A.
B.
C.
D.
8. 生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即：，，，，，，请你推算的个位数字是( )
A. B. C. D.
9. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，直线轴，且交抛物线于点，下列结论：
，
若实数，则，
，
当时，，
其中正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
10. 如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为的正六边形的顶点处两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向秒钟一次跳个顶点，黑跳棋按逆时针方向秒钟一次跳个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过秒钟后停止跳动，此时两枚跳棋之间的距离是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 因式分解： ______ ．
12. 如图，在直角坐标系中，边长为个单位长度的正方形绕原点逆时针旋转，再沿轴方向向上平移个单位长度，则点的坐标为______．
13. 按照如图所示的程序计算，若输出的值是，则输入的值是______ ．
14. 图是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图是一个菱形，将图截去一个边长为原来一半的菱形得到图，用图镶嵌得到图，将图着色后，再次镶嵌便得到图，则图中的度数是______
15. 如图，点在双曲线上，点在直线：上，与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：
当时，
则所有正确结论的序号是______．
16. 如图，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图所示．当恰好平分时的值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
18. 本小题分
如图，在 中，是它的一条对角线．
求证：≌；
尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，不写作法，保留作图痕迹；
连接，若，求的度数．
19. 本小题分
中华文化源远流长，中华诗词寓意深广，为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩不低于分．为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况．随机选取其中名学生的海选比赛成绩总分分作为样本进行整理，得到海选成绩统计表与扇形统计图如下：
抽取的名学生成绩统计表
组别 海选成绩 人数
组
组
组
组
组
请根据所给信息解答下列问题：
填空：______，______，______度；
若把统计表每组中各个成绩用这组数据的中间值代替例如：组数据中间值为分，请估计被选取的名学生成绩的平均数；
规定海选成绩不低于分记为“优秀”，请估计该校参加这次海选比赛的名学生中成绩“优秀”的有多少人？
20. 本小题分
如图，为了测量河对岸，两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点，测得，均在的北偏东方向上，沿正东方向行走米至观测点，测得在的正北方向，在的北偏西方向上．求，两点间的距离．
参考数据：，，．
21. 本小题分
为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前天完成任务．
求实际施工时，每天改造管网的长度；
施工进行天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
22. 本小题分
如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点交于点．
求证：是的切线；
延长和交于点，若，求的值；
在的条件下，求的值．
23. 本小题分
已知正方形，为对角线上一点．
【建立模型】
如图，连接，求证：；
【模型应用】
如图，是延长线上一点，，交于点．
判断的形状，并说明理由；
若为的中点，且，求的长．
【模型迁移】
如图，是延长线上一点，，交于点，求证：．
24. 本小题分
如图，已知抛物线：与轴交于点，在的左侧，与轴交于点，对称轴是直线，是第一象限内抛物线上的任一点．
求抛物线的解析式；
若点为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；
过点作轴的垂线与线段交于点，垂足为点，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数，
故选：．
根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
3.【答案】
【解析】解：由题意，
对于选项，中没有同类项，不能合并，
选项不符合题意．
对于选项，，
选项不符合题意．
对于选项，中没有同类项，不能合并，
选项不符合题意．
对于选项，，
选项符合题意．
故选：．
依据题意，根据同底数幂的乘除法、合并同类项的法则逐项判断即可得解．
本题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项，解题时需要熟练掌握并理解．
4.【答案】
【解析】解：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；
从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；
从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．
故选：．
根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处，
，，
折叠纸片，使点与点重合，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
，
故选：．
根据沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处，得，，又再折叠纸片，使点与点重合，得，，即可得，，设，则，可得，即可解得．
本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．
6.【答案】
【解析】解：列表如下：
由表可知，共有种等可能结果，其中点落在直角坐标系轴正半轴上的情况有种，
所以点落在直角坐标系轴正半轴上的概率是．
故选：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
7.【答案】
【解析】解：延长交于点，则四边形是矩形．
四边形是矩形，
．
，
．
在中，
，
．
．
在中，
，
．
在中，
，，
．
．
故选：．
延长交于点，先在、、中分别求出、、，再利用线段的和差关系求出．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握“等角对等边”特殊角的三角函数值及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由题意知，个位数字每四个数按，，，循环出现，
，
的个位数字与相同，为，
故选：．
根据尾数的循环性得出结论即可．
本题主要考查数字的变化规律，根据尾数的循环得出结论是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据函数图象可知，根据抛物线的对称轴公式可得，
，
，，
故A正确，符合题意；
函数的最小值在处取到，
若实数，则，即若实数，则故B正确，符合题意；
轴，
，
令，则，即抛物线与轴交于点，
当时，，．
当时，故D错误，不符合题意；
，
，没有条件可以证明故C错误，不符合题意；
故选：．
根据函数图象可知，由此可判断出；根据抛物线的对称轴可得出，也可得出函数的最小值，在处取到，由此可判断；令，则，即抛物线与轴交于点，根据函数图象可直接判断；没有直接条件判断．
本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：红跳棋从点按顺时针方向秒钟跳个顶点，
红跳棋每过秒返回到点，
，
经过秒钟后，红跳棋跳回到点，
黑跳棋从点按逆时针方向秒钟跳个顶点，
黑跳棋每过秒返回到点，
，
经过秒钟后，黑跳棋跳到点，
连接，过点作，
由题意可得：，，
，
在中，，
，
经过秒钟后，两枚跳棋之间的距离是．
故选：．
分别计算红跳棋和黑跳棋过秒钟后的位置，红跳棋跳回到点，黑跳棋跳到点，可得结论．
本题考查了正六边形和两动点运动问题，根据方向和速度确定经过秒钟后两枚跳棋的位置是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了实数范围内分解因式，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12.【答案】
【解析】
【分析】
过点作轴于点，连接，，根据边长为个单位长度的正方形绕原点逆时针旋转，得，，，即知，可得，又再沿轴方向向上平移个单位长度，故B
【解答】
解：过点作轴于点，连接，，如图：
边长为个单位长度的正方形绕原点逆时针旋转，
，，，
，
，，
，
再沿轴方向向上平移个单位长度，
故答案为：
【点评】
本题考查正方形的旋转和平移变换，解题的关键是掌握旋转、平移变换的性质及正方形的性质．
13.【答案】
【解析】解：设输入的值为时，
根据题意得，，
整理得，，
解得，与矛盾，舍去；
当时，
根据题意得，，
整理的，
解得，，
故答案为：．
根据运算程序列出方程，然后求解即可．
本题考查了代数式求值，读懂图表信息，根据运算程序列出方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，
，，
，
，
，
故答案为：．
先确定的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出的度数．
本题考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，
中，当时，，
，
，
四边形是菱形，
，
与关于轴对称，
，，
，
；
故正确；
当时，点的坐标为，
，
故正确；
，与关于轴对称，
，
点在直线上，
，
，
故正确；
菱形的面积，
故不正确；
所以本题结论正确的有：；
故答案为：．
根据菱形的性质和勾股定理计算点的坐标；
根据中的坐标，直接将代入即可解答；
计算点的坐标，代入一次函数的解析式可解答；
根据菱形的面积底边高可解答．
本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了坐标与图形性质，勾股定理，关于轴对称，菱形的性质等知识，掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接，
由图可得，
，，
，
平分，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，负值舍去，
，
故答案为：．
由图象可得，通过证明∽，可求的长，即可求解．
本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示为：

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
18.【答案】证明：如图，
四边形是平行四边形，
，，
，
≌；
如图所示，
解：如图，
垂直平分，，
，
，
是的外角，
．
【解析】由平行四边形的性质得出，，再由，即可证明≌；
利用线段垂直平分线的作法进行作图即可；
由垂直平分线的性质得出，进而得出，再由三角形外角的性质即可求出的度数．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，基本作图，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定方法，线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质，三角形外角的定义与性质是解决问题的关键．
19.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：，，；
分，
即估计被选取的名学生成绩的平均数是分；
人，
即估计该校参加这次海选比赛的名学生中成绩“优秀”的有人．
根据频数分布表和扇形统计图中的数据，可以计算出、、的值；
根据加权平均数的计算方法，可以计算出被选取的名学生成绩的平均数；
根据频数分布表中的数据，可以计算出该校参加这次海选比赛的名学生中成绩“优秀”的有多少人．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：如图所示：，
，
，
，
在中，，米，，
米，
在中，，米，，
米．
答：，两点间的距离约米．
【解析】由三角形内角和定理证得和是直角三角形，解直角三角形即可求出．
本题主要考查了解直角三角形的应用，证得和是直角三角形是解决问题的关键．
21.【答案】解：设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
此时，米．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是米；
设以后每天改造管网还要增加米，
由题意得：，
解得：．
答：以后每天改造管网至少还要增加米．
【解析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，在解答时找到相等关系和不相等关系建立方程和不等式是关键．
设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，根据比原计划提前天完成任务建立方程求出其解就可以了；
设以后每天改造管网还要增加米，根据总工期不超过天建立不等式求出其解即可．
22.【答案】证明：如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，，
设，则，
，
，
，
；
解：由知：，，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
．
【解析】如图，连接，根据等腰三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理得到，由平行线的性质即可得到结论；
设，则，根据平行线的性质得，由三角函数定义可得结论；
证明∽，列比例式可解答．
此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键，此题难度适中，是一道不错的中考题目．
23.【答案】证明：是正方形的对角线，
，，
，
≌，
；
解：为等腰三角形，理由：
四边形是正方形，
，
，
由知，≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
如图，过点作于，
四边形为正方形，点为的中点，，
，，
由知，，
，
，
在与中，，
，
，
，
在中，；
，
，
在中，，
，
由知，，
由知，，
．
【解析】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，作出辅助线构造出直角三角形是解的关键．
先判断出，，进而判断出≌，即可得出结论；
先判断出，进而判断出，即可得出结论；
过点作于，先求出，，进而求出，进而求出，最后用勾股定理即可求出答案；
先判断出，由知，，由知，，即可判断出结论．
24.【答案】解：由题意得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
不可能是等边三角形，理由如下：
如图，取的中点，过点作轴，交抛物线于点，连接，，
，是的中点，
，
当时，，
，
解得：，舍，
，
，
不可能是等边三角形；
设点的坐标为，则，，
分两种情况：
如图，∽，
，，
，
，
，，
，
，
解得：，，
；
如图，∽，则，
过点作轴于，
，
，
，
∽，
，
，
解得：舍，，
；
综上，点的坐标为或
【解析】把点代入中，再由对称轴是直线列方程，两个方程组成方程组可解答；
当是等边三角形时，点在的垂直平分线上，所以作的垂直平分线与抛物线的交点即为点，计算，可知不可能是等边三角形；
分种情况：当轴时，∽时，根据的长列方程可解答；如图，∽，过点作轴于，证明∽，可得结论．
本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法，等边三角形的判定，相似三角形性质和判定，三角函数等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决以，，为顶点的三角形与相似的情况．
第1页，共1页