2022-2023学年湖北省武汉市江岸区重点中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区重点中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在，这五个数中无理数的个数为( )
A. B. C. D.
2. 下列数学符号图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列事件中是必然事件的是( )
A. 从一个装有个红球、个黑球除颜色外无其他差别的不透明盒子里任意取个球；一定有黑球
B. 从一副扑克牌中任意抽取一张牌，这一张牌是红桃
C. 射击运动员射击一次，击中靶心
D. 汽车行驶到有信号灯控制的十字路口，正好遇到红灯
4. 如图是某个几何体的左视图，则这个几何体不可能是( )
A.
B.
C.
D.
5. 化简的结果是( )
A. B. C. D.
6. 若点，，，都在反比例函数的图象上，其中，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7. 若，则代数式的值是( )
A. B. C. D.
8. 武汉作为新晋网红城市，五一期间吸引着大量游客前来观光打卡现有一批游客分别乘坐甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点，乙大巴全程匀速驶向景点两辆大巴的行程随时间变化的图象全程如图所示依据图中信息，下列说法错误的是( )
A. 甲大巴停留前的平均速度是 B. 甲大巴中途停留了
C. 甲大巴比乙大巴先到达景点 D. 甲大巴停留后用追上乙大巴
9. 阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的倍用公式可描述为：；；现已知在中，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
10. 如图，边长为的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第次旋转后，顶点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 使有意义的的取值范围是______ ．
12. 近两年新能源汽车比亚迪的销量实现了快速增长，年比亚迪计划冲击万台的整车年度销量目标将数据万用科学记数法表示为______ 台
13. 甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，作为第一次传球，第二次传球后球回到甲手中的概率是______ ．
14. 小华和小深利用无人机测量某座山的垂直高度如图所示，无人机在地面上方米的处测得山顶的仰角为，测得山脚的俯角为已知的坡度为：，点，，，在同一平面内，则此山的垂直高度为______ 米结果精确到
参考数据：，，，
15. 已知二次函数的图象过，两点若，则；若，则；若，，且，则；若，，且，则抛物线的顶点一定在第三象限其中正确的结论是______ ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，为轴上一点，，，则的值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解不等式组，请按下列步骤完成解答：
解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；
原不等式组的解集为______ ．
18. 本小题分
已知：如图，于，与，，
求证：是的平分线；
若，求：的值．
19. 本小题分
为了解某中学落实中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见的实施情况，兴趣小组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间单位：，并对数据进行整理、描述和分析，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
平均每周劳动时间频数统计表
平均每周劳动时间 频数 频率
合计
根据以上信息，回答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
若该校有名学生，请估计平均每周劳动时间在范围内的学生人数．
20. 本小题分
如图为圆的直径，为圆的弦，为上一点，垂足为．
连接，判断与的位置关系，并证明；
若，，求圆的半径．
21. 本小题分
如图，是上一点，先画出关于的对称点；再过点作直线，使得交于；
如图，在上取一点，使；再在上找一点，连接，使得．
22. 本小题分
如图，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为米．
求此抛物线对应的函数表达式；
如图，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，设边长度为米：试求内接矩形的面积用含的式子表示；
若已知矩形广告牌的价格为元米，广告牌其余部分的价格为元米，试求完成菱形广告牌所需的最低费用．
23. 本小题分
探索发现；如图，在中，；求证：；
初步应用：如图，在中，，，，连接、求证，
迁移拓展：如图，在中，，为上一点，使，过作交于，，求的值．
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在抛物线：上
求的值；
直线与抛物线，分别交于点，，若的最大值为，请求出的值；
是轴的正半轴上一点，且的中点恰好在抛物线上试探究：此时无论为何负值，在轴的负半轴上是否存在定点，使总为直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
所以在，这五个数中无理数有，，共个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了算术平方根、立方根以及无理数，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像两个之间依次多一个等有这样规律的数．
2.【答案】
【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
3.【答案】
【解析】解：、从一个装有个红球、个黑球除颜色外无其他差别的不透明盒子里任意取个球，一定有黑球，是必然事件，符合题意；
B、从一副扑克牌中任意抽取一张牌，这一张牌是红桃是随机事件，不符合题意；
C、射击运动员射击一次，击中靶心是随机事件，不符合题意；
D、汽车行驶到有信号灯控制的十字路口，正好遇到红灯是随机事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】
【解析】解：、左视图为列，从左往右正方形的个数为，，，不符合题意；
B、左视图为列，从左往右正方形的个数为，，，不符合题意；
C、左视图为列，从左往右正方形的个数为，，，符合题意；
D、左视图为列，从左往右正方形的个数为，，符合题意．
故选：．
分别找到各个选项的左视图，和所给的左视图比较即可．
本题考查由三视图判断几何体，关键是掌握左视图是从物体的左面看得到的视图．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
应用幂的乘方与积的乘方运算法则进行求解即可得出答案．
【解答】
解：．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，，
点在第二象限，点、在第一象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，
，，
．
故选：．
先判断出点、在第四象限，点在第二象限，再根据反比例函数的增减性判断．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
7.【答案】
【解析】解：原式
．
当时．原式．
故选：．
根据分式的乘除运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由图象可得，
甲大巴停留前的平均速度是，故选项A正确，不符合题意；
甲大巴中途停留了，故选项B正确，不符合题意；
甲大巴车停留后的速度为，
千米，
所用时间为，
甲大巴车到达终点所用时间为；
乙大巴车所用时间为，
，
甲大巴比乙大巴先到达景点，故C错误，符合题意；
甲大巴停留后用追上乙大巴，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】
【解析】解：，，，，
，
即，
解得，不合题意，舍去，
，
故选：．
根据，，，，可以计算出的长．
本题考查解直角三角形、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，
在正六边形中，，，
，，
，，
，
，
，
将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，
次一个循环，
，，
经过第次旋转后，顶点的坐标在的位置，
，，
，，
，
≌，
，，
，
经过第次旋转后，顶点的坐标，
故选：．
如图，连接，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，经过第次旋转后，顶点在的位置，先求出点的坐标，再证明≌即可．
本题考查正多边形与圆，掌握坐标与图形变化旋转等知识，学会探究规律的方法是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，得
，
解得，；
故答案为：．
二次根式的被开方数的非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12.【答案】
【解析】解：万，
故答案为：．
将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，根据其定义即可得出答案．
本题考查科学记数法表示大数，此考点是重要知识点，必须熟练掌握．
13.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中经过两次传球后，球回到甲手中的有种结果，
经过两次传球后，球回到甲手中的概率为，
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过二次传球后，球仍回到甲手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：米，，，
在中，，
米，
的坡度为：，
，
设米，则米，
米，
米，米，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
米，
此山的垂直高度约为米，
故答案为：．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：米，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知可设米，则米，从而可得米，进而可得米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：若时，当时，，故正确；
若时，即函数的对称轴是直线，无法确定、的大小，故错误；
若，，即：，，
则，
由，得，
整理，得：，而，即：，
，故错误；
若，，且，
即：，
把、的值代入上式得：，
则，，
则抛物线对称轴为轴左侧，开口向上，
，
故顶点一定在第三象限，故正确；
故答案为：．
若时，当时，，即可判断正确；若时，即函数的对称轴是直线，只有，才有，即可判断错误；若，，即：，，而，得出，则，即可判断错误；若，，且，即：，把、的值代入上式得：，则，，代入顶点坐标即可判断正确．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，涉及到函数基本性质、解不等式等相关知识，难度较大．
16.【答案】
【解析】
解：如图：过点作，过作轴，轴，过作轴，过点作轴交于点，
点，，
，，
，，
在和中，
，，
，
在和中，
、、
≌，
四边形为矩形，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：
过点作，过作轴，轴，过作轴，过点作轴，构造∽，利用求出，然后利用求出，即可得到答案．
本题考查了坐标与图形，三角形全等，三角形相似，三角函数等知识点，综合性质强，合理作出辅助线构造三角形相似是解决此题的关键
17.【答案】
【解析】解：解不等式，得，
解不等式，得，
把不等式和的解集在数轴上表示出来如下：
原不等式组的解集为．
故答案为：；；．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】证明：于，与，
，
，，
，
，
是的平分线；
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
：：，
，，
∽，
，
：的值是．
【解析】由平行线的性质得到，，而，因此，即可证明问题；
由等腰三角形的性质得到：：，由∽，即可求出：的值是．
本题考查平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质得到；由∽，即可求出：的值是．
19.【答案】
【解析】解：由频数分布直方图可知，，
调查人数为：人，即，
，
故答案为：，，；
平均每周劳动时间在范围内的学生所占的百分比为，
名，
答：该校名学生中平均每周劳动时间在范围内的大约有名．
由统计图可知，，根据频率可求出调查人数，进而求出相应的频数或频率，确定、、的值；
求出平均每周劳动时间在范围内的学生所占的百分比，即可求出相应的人数．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，掌握频率是正确解答的前提．
20.【答案】解：，理由如下：
如图，延长交于点，
，为的半径，
，
，
；
设，
，，，
，，
在与中，，
≌，
，
，
，
，
，
解得：，
即的半径为．
【解析】延长交于点，根据垂径定理的推论即可证得结论；
设的半径为，结合中所求及已知条件，利用全等三角形的判定与性质可得，，然后利用勾股定理列方程，解方程即可．
本题主要考查圆的有关概念及性质，勾股定理和全等三角形的判定及性质，中结合已知条件证得≌是解题的关键．
21.【答案】解：如图中，点，直线即为所求；
如图中，点，即为所求．

【解析】理由轴对称变换的性质作出点，连接交于点，连接，延长交于点，作直线即可；
取格点，连接，取格点，，连接交与点，连接交于点，点即为所求．利用平行线等分线段定理，在上截取，使得：：，在上截取，使得，连接交与点，连接，点即为所求．
本题考查作图轴对称变换，解直角三角形，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：如图，过点作轴于点，作轴于点，

四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
在中，轴，，
，，
，
，
，
设抛物线对应的函数表达式为，
将，代入解析式，得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
设直线的解析式为，
将代入解析式，得，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将点，代入解析式，得，
解得，
直线的解析式为；
设矩形中，米，则，
代入和，
得，，
，
由轴对称得，
轴，
，，
是等边三角形，
，
，
解得，
，
内接矩形的面积；
由得，内接矩形的面积，
由可得，
菱形的面积，
总费用，
当时，最小，最小值为，
完成菱形广告牌所需的最低费用为元．
【解析】过点作轴于点，作轴于点，在中，轴，，勾股定理得出的长，进而得出，根据得出点的坐标，进而利用待定系数法求出函数解析式；
待定系数法求出直线的解析式，直线的解析式，设矩形中，米，则可得出点，的坐标，由轴对称得，得出，根据的长度列得方程，求出，得到，再根据，求出函数解析式；
根据可得的面积，求出菱形的面积，再求出总费用与的函数关系式，利用函数的性质解答即可．
此题考查了二次函数的实际应用，菱形的性质，矩形的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】证明：，
又，
∽，
，
即；
证明：，，
，
又，
∽，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
又，
∽，
，
即，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
，即点是的中点，
，
，
设，
则，
由知，
，
解得，，
，
．
【解析】根据两个角相等的三角形相似得到∽，从而问题得证；
先证∽，结合，得到，由，可得∽，结合，得到，再证∽得到，于是问题得证；
由平行线分线段成比例和三角形相似可以得出点是的中点，进而得到，设，则，再根据中的结论求出，从而求出，即可求出的值．
本题主要考查了三角形相似的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：由题可知，
，
；
，，
，
，
，
当时，有最大值，
的最大值为，
，
解得，
，
；
存在定点，使总为直角，理由如下：
设，，
是的中点，
，
点恰好在抛物线上，
，
解得，
设，
的中点，
，
，
，
整理得，，
联立可得，
当时，等式恒成立，
，

【解析】先求出点坐标，再将点代入抛物线中，即可求的值；
先求出，，则，当时，有最大值，结合题意可得方程，求出；
设，，先求出，再将点代入抛物线的解析式，可得，设，则的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即，可得方程，整理得，，联立可得，当时，等式恒成立，从而求出点
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质斜边的中线等于斜边的一半，从而建立方程求点坐标是解题的关键．
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