7.2.3三角函数的诱导公式讲义（二）（学生版+教师版）

编号：044 课题： §7.2.3.2 三角函数的诱导公式（二）
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握诱导公式（五）—（六）；
2.会利用诱导公式求值；
3.会利用诱导公式证明恒等式；
4.掌握诱导公式的综合应用问题．
本节重点难点
重点：利用诱导公式证明恒等式；
难点：诱导公式的综合应用问题．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
诱导公式五、六
(1)诱导公式五、六
公式五 公式六
终边 关系 角与角 的终边关于直线对称. 角与角的终边垂直.
图形
公式 , . , .
(2)本质:单位圆中,终边关于y=x对称,互相垂直的角的三角函数之间的关系.
(3)应用:与诱导公式一～四结合用于三角函数式求值、化简、证明.
【思考】
从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六,有什么变化规律
提示:函数名称改变,符号随象限变化而变化,即:函数名改变,符号看象限.
【课前基础演练】
题1．若，则 ( )
A． B． C． D．
题2．在△ABC中，下列四个关系中正确的有( )
①sin (A＋B)＝sin C；②cos (A＋B)＝sin C；
③；④.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
题3．化简的结果是( )
A．1 B．sin2α
C．－cos2α D．－1
题4．化简等于( )
A．－sin θ B．sin θ
C．cos θ D．－cos θ
题5．若sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－ ，则cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值为( )
A．－ B． C． D．
题6(多选题)．下列与cos 的值相等的是( )
A．sin (π－θ) B．sin (π＋θ)
C．cos D．cos
题7(多选题)．已知，则cos α－sin α的取值可以为( )
A． B． C． D．
题8．已知α是第三象限角且cos ，则tan α＝________； ________．
题9．化简sin (450°－α)－sin (180°－α)＋cos (450°－α)＋cos (180°－α)＝________．
题10．已知sin (π－α)－cos (π＋α)＝ ，求下列各式的值：
(1)；
(2).
【课堂检测达标】
题11. 已知，且，则等于( )
A． B．
C．－ D．－
题12．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)＝( )
A．3－cos 2x B．3－sin 2x
C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x
题13(多选题)．已知，则( )
A．cos
B．tan
C．cos
D．sin
题14(多选题)．给出下列结论，其中正确的有( )
A．的符号为正
B．函数的定义域为
C．若θ∈ ，sin θ＋cos θ＝，则tan θ＝－ 或－
D．
题15．已知α 的终边与单位圆交于点P，点P关于直线y＝x对称后的点为M，点M关于y轴对称后的点为N，设角β的终边为射线ON.
(1)β与α的关系为________；
(2)若sin α＝ ，则tan β＝________．
题16．已知cos (75°＋α)＝ ，则sin (α－15°)＋cos (105°－α)的值是________．
题17．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求 的值．
题18．已知函数.
(1)化简f(α)；
(2)若，且，求的值；
(3)若，求的值．
【综合突破拔高】
题19．函数 (a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则 ( )
A． B． C． D．
题20．若，则 的值为( )
A．－ B． C．－ D．
题21．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
P(－1，2)，则 ( )
A． B．1 C． D．－
题22．已知sin α＝2sin ，则sin 2α＋3sin αcos α＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题23．已知 ，则tan α＝( )
A． B．－ C． D．－5
题24(多选题)．已知x∈R，则下列等式不成立的是( )
A．sin (－x)＝－sin x B．sin ＝－cos x
C．cos ＝tan x D．cos (π－x)＝cos x
题25．已知tan α＝2，且sin 2α＋cos 2α＝1，则cos (π＋α)·cos＝______．
题26．已知，则 ________．
题27．化简 .
题28．已知，且－270°<α<－90°，求 的值．
编号：044 课题： §7.2.3.2 三角函数的诱导公式（二）
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握诱导公式（五）—（六）；
2.会利用诱导公式求值；
3.会利用诱导公式证明恒等式；
4.掌握诱导公式的综合应用问题．
本节重点难点
重点：利用诱导公式证明恒等式；
难点：诱导公式的综合应用问题．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
诱导公式五、六
(1)诱导公式五、六
公式五 公式六
终边 关系 角与角 的终边关于直线对称. 角与角的终边垂直.
图形
公式 , . , .
(2)本质:单位圆中,终边关于y=x对称,互相垂直的角的三角函数之间的关系.
(3)应用:与诱导公式一～四结合用于三角函数式求值、化简、证明.
【思考】
从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六,有什么变化规律
提示:函数名称改变,符号随象限变化而变化,即:函数名改变,符号看象限.
【课前基础演练】
题1．若，则 ( )
A． B． C． D．
【解析】选B.因为，
所以，即，
又因为，
所以.
题2．在△ABC中，下列四个关系中正确的有( )
①sin (A＋B)＝sin C；②cos (A＋B)＝sin C；
③；④.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】选C.因为△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，故①正确；
cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，故②错误；
，故③错误；
，故④正确．
综上，①④正确．
题3．化简的结果是( )
A．1 B．sin2α
C．－cos2α D．－1
【解析】选C.因为 ， ， ，
所以原式＝.
题4．化简等于( )
A．－sin θ B．sin θ
C．cos θ D．－cos θ
【解析】选A.原式＝.
题5．若sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－ ，则cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值为( )
A．－ B． C． D．
【解析】选B.由sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－ ，得sin α＝ ，cos (270°－α)＋2sin (360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－ .
题6(多选题)．下列与cos 的值相等的是( )
A．sin (π－θ) B．sin (π＋θ)
C．cos D．cos
【解析】选BD.因为 ，sin (π－θ)＝sin θ，sin (π＋θ)＝－sin θ， ，
所以B，D项与cos的值相等．
题7(多选题)．已知，则cos α－sin α的取值可以为( )
A． B． C． D．
【解析】选CD.由题意，
由解得 或
当时，cos α－sin α＝ ，
当时，cos α－sin α＝－ .
题8．已知α是第三象限角且cos ，则tan α＝________； ________．
【解析】因为cos，所以－sin α＝，所以sin α＝－，
又因为α是第三象限角，所以cos α＝ ，所以tan α＝； .
答案：
题9．化简sin (450°－α)－sin (180°－α)＋cos (450°－α)＋cos (180°－α)＝________．
【解析】原式＝sin (90°－α)－sin α＋cos (90°－α)－cos α＝cos α－sin α＋sin α－cos α＝0.
答案：0
题10．已知sin (π－α)－cos (π＋α)＝ ，求下列各式的值：
(1)；
(2).
【解析】由sin(π－α)－cos (π＋α)＝，得sin α＋cos α＝，
两边平方整理得2sin αcos α＝－，所以sin αcos α＝－，
所以cos α－sin α＝±.
(1)
；
(2) ＝cos3α－sin3α＝(cosα－sin α)(cos2α＋cosαsin α＋sin2α)
＝ .
【课堂检测达标】
题11. 已知，且，则等于( )
A． B．
C．－ D．－
【解析】选D.依题意，
由于，所以，
故.
题12．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)＝( )
A．3－cos 2x B．3－sin 2x
C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x
【解析】选C.f(cos x)＝f ＝3－cos (π－2x)＝3＋cos 2x.
题13(多选题)．已知，则( )
A．cos
B．tan
C．cos
D．sin
【解析】选AC.因为，所以，
又，所以，
所以，故A正确；
所以 ，故B错误；
又 ，故C正确；
，故D错误．
题14(多选题)．给出下列结论，其中正确的有( )
A．的符号为正
B．函数的定义域为
C．若θ∈ ，sin θ＋cos θ＝，则tan θ＝－ 或－
D．
【解析】选BD.因为π<4< ，所以tan 4>0，因为 <2<π，所以cos 2<0，因为 ，所以的符号为负，故A不正确；
由cos x tan x≥0得sin x≥0，且x不为终边在y轴上的角，所以2kπ≤x<2kπ＋ 或2kπ＋ 由sin θ＋cos θ＝得 ，得sin θcos θ＝－ ，
又因为θ∈ ，sin θ>0，所以cos θ<0，所以sin θ－cos θ>0，
所以sin θ－cos θ＝
，
所以sin θ＝ ，cos θ＝－ ，所以tan θ＝＝－ ，故C不正确；
，故D正确．
题15．已知α 的终边与单位圆交于点P，点P关于直线y＝x对称后的点为M，点M关于y轴对称后的点为N，设角β的终边为射线ON.
(1)β与α的关系为________；
(2)若sin α＝ ，则tan β＝________．
【解析】(1)由题意可得：点P为单位圆上的点，并且以射线OP为终边的角的大小为α.所以P(cos α，sin α), 又因为P，M 两点关于直线y＝x 对称，所以M(sin α，cos α).
即.
又因为M，N两点关于y轴对称，即，又角β的终边为射线ON，所以β＝α＋ .
(2)因为β＝α＋ ，所以cos β＝cos ＝－sin α＝－ ，
sin β＝sin ＝cos α＝ ，故tan β＝.
答案：(1)β＝α＋ (2)－2
题16．已知cos (75°＋α)＝ ，则sin (α－15°)＋cos (105°－α)的值是________．
【解析】sin (α－15°)＋cos (105°－α)
＝sin [(75°＋α)－90°]＋cos [180°－(75°＋α)]
＝－sin [90°－(75°＋α)]－cos (75°＋α)
＝－cos (75°＋α)－cos (75°＋α)＝－2cos (75°＋α)，
因为cos (75°＋α)＝，所以原式＝－.
答案：－
题17．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求 的值．
【解析】方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－ ，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－ .又α是第三象限角，
所以cos α＝－ ，tan α＝ ，
所以
.
题18．已知函数.
(1)化简f(α)；
(2)若，且，求的值；
(3)若，求的值．
【解析】(1) .
(2) ，
因为，所以cos α·sin α＝ ，可得 ，结合 ，cos α>sin α，
所以.
(3)由(2)得，即为sin α＝－2cos α，联立sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos 2α＝ ，所以.
【综合突破拔高】
题19．函数 (a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则 ( )
A． B． C． D．
【解析】选D.对数函数y＝logax恒过点 ，将其图象向左平移4个单位，向上平移4个单位可得的图象，点 平移之后为点 ，所以A ，
令x＝－3，y＝4，则 ，
所以sin θ＝ ，
由诱导公式可得.
题20．若，则 的值为( )
A．－ B． C．－ D．
【解析】选C.因为，所以sin α＝.
故.
题21．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
P(－1，2)，则 ( )
A． B．1 C． D．－
【解析】选A.因为角α的终边经过点P(－1，2)，
所以r＝|OP|＝，
所以sin α＝ ，cos α＝－ ，
原式＝ .
题22．已知sin α＝2sin ，则sin 2α＋3sin αcos α＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.由sin α＝2sin，可得sin α＝2cos α，即tan α＝2，
又由sin 2α＋3sin αcos α＝ ＝2.
题23．已知 ，则tan α＝( )
A． B．－ C． D．－5
【解析】选D.由，
得，解得tan α＝－5.
题24(多选题)．已知x∈R，则下列等式不成立的是( )
A．sin (－x)＝－sin x B．sin ＝－cos x
C．cos ＝tan x D．cos (π－x)＝cos x
【解析】选BCD.sin (－x)＝－sin x，故A成立；
sin＝cos x≠－cos x，故B不成立；
cos＝－sin x≠tan x，故C不成立；
cos (π－x)＝－cos x≠cos x，故D不成立．
题25．已知tan α＝2，且sin 2α＋cos 2α＝1，则cos (π＋α)·cos＝______．
【解析】cos (π＋α)·cos＝＝sin αcos α＝ .
答案：
题26．已知，则 ________．
【解析】＝－sin α－sin α＝－2sin α.
又，所以－sin α＝ ，
所以原式＝－2sin α＝ .
答案：
题27．化简 .
【解析】原式＝＝－tan α.
题28．已知，且－270°<α<－90°，求 的值．
【解析】因为－270°<α<－90°，所以143°<53°－α<323°，
又因为，所以53°－α在第二象限．
所以，易知，
所以 .