2022-2023学年江西省吉安市吉州区部分学校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省吉安市吉州区部分学校联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，是全集，集合、是集合的两个子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知，，，，则( )
A. B. C. D.
3. 已知的展开式中的各项系数之和为，则展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
4. 已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为，则( )
A. B. C. D.
5. 若点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
6. 已知斜三棱柱所有棱长均为，，点、满足，，则( )
A. B. C. D.
7. 已知等比数列的前项和为，若，则( )
A. 为递减数列 B. 为递增数列
C. 数列有最小项 D. 数列有最大项
8. 若时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
11. 已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则( )
A. 有个极值点
B. 是的极大值点
C. 是的极大值点
D. 在上单调递增
12. 已知等比数列前项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前项和为，则下列结论正确的是( )
A. 数列的通项公式为 B.
C. 数列是等比数列 D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知随机变量，且，则 ______ ．
14. 已知数列中，，，，则 ______ ．
15. 已知双曲线的实轴端点分别为，，点是双曲线上异于，另一点，则与的斜率之积为______ ．
16. 已知，函数在上存在两个极值点，则的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知的三个顶点分别为，，．
求边上的高所在直线的方程；
求边上的中线所在直线的方程．
18. 本小题分
某市为了解该市小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图，如图所示．
由频率分布直方图估计小学生课外活动时间的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值代替；
由频率分布直方图可认为：课外活动时间分钟近似服从正态分布，其中为样本中课外活动时间的平均数用频率估计概率，在该市随机抽取名学生，记课外活动时间在内的人数为，求的数学期望精确到．
参考数据：当服从正态分布时，，，．
19. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点．
求证：平面平面；
若直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值．
20. 本小题分
在数列中，，，且设为满足的的个数．
求，的值；
设，数列的前项和为，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
21. 本小题分
已知，分别是椭圆长轴的两个端点，的焦距为，，是椭圆上异于，的动点，直线与的另一交点为，直线与的另一交点为．
求椭圆的方程；
证明：直线的倾斜角为定值．
22. 本小题分
已知函数，．
若在上是增函数，求的取值范围；
若在上的最小值，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由已知中阴影部分在集合中，而不在集合中，
故阴影部分所表示的元素属于，不属于属于的补集，
即，
故选：．
由已知中为全集，，是集合的子集，及图中阴影，分析阴影部分元素满足的性质，可得答案．
本题考查的知识点是图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，，，，
则可设，，，，
所以，
所以，则，
所以
．
故选：．
由题意可设，，，，然后根据的模以及余弦的和角公式化简得出的值，进而可以求解．
本题考查了复数模的求解，涉及到余弦的两角和与差的三角函数公式，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：令可得的展开式的各项系数之和为，
，
故其展开式的通项公式为，令，求得，
可得常数项为：，
故选：．
先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设椭圆的焦距为，则，
的周长为，解得，
故选：．
根据椭圆的方程可得，，的关系，结合椭圆定义可得的周长为，列方程求解即可．
本题考查了椭圆焦点三角形的周长，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可得，解得，
所以抛物线的标准方程为：，
所以准线方程为：．
故选：．
将点的坐标代入抛物线的方程可得的值，进而求出抛物线的标准方程，可得准线方程．
本题考查抛物线的方程的求法及性质的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
斜三棱柱所有棱长均为，，
点、满足，，
，
，
故选：．
先利用空间向量的线性运算得到，再利用空间向量的求模公式求解即可．
本题考查空间向量的线性运算，空间向量的求模公式，是中档题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等比数列的单调性的判断，通项公式以及数列的最大项问题，属于综合题．
由已知分析等比数列的公比范围，然后结合通项公式以及与的关系分析的单调性，结合选项可求．
【解答】
解：由可得，所以，
因为得，
所以，，
因为，
当时，，数列递增，即数列有最小项，没有最大项；
当时，，，，，所以数列摆动，且，
，所以最小项，没有最大项．
故选：．

8.【答案】
【解析】解：由，可得，即，
即，
设，则在上恒成立，
又，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，当时，，
当时，由于，则，
此时，，满足在上恒成立；
当时，由于，则，
要使在上恒成立，
则需，即在上恒成立，
设，则，
易知当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则，
综上，实数的取值范围为．
故选：．
设，问题可转化为在上恒成立，根据函数的单调性和取值情况，分和讨论即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查同构思想及分离变量思想，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项，，故A选项正确；
选项，，故B选项错误；
选项，，故C选项正确；
选项，故D选项错误；
故选：．
根据导数的运算法则对选项逐一判断即可．
本题主要考查导数的运算法则，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意，，由等比数列通项公式可得，
由于等比数列每一项都不是，故，
即，解得或．
故选：．
根据等比数列的通项公式结合等差中项列方程求解．
本题主要考查了等差数列的性质及等比数列的通项公式的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：将的图象向上平移个单位，
得的图像，结合图像：
时，，递增，
时，，递减，
时，，递增，
时，，递减；
故和是函数的极大值点，是函数的极小值点，
故A正确，B正确，C错误，D正确．
故选：．
根据导函数的符号，求出函数的单调区间，从而判断各个选项．
本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查导数的应用，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：由于等比数列前项和为，且，
所以，整理得，所以数列的公比；
由于是与的等差中项，
故，整理得，解得．
故，故A正确；
所以，故B正确；
由于数列满足，
不为常数，故数列不是等比数列，故C错误；
，，故D正确．
故选：．
利用已知可求得首项与公比，再结合每个选项逐项运算可判断正确性．
本题考查等比数列的性质，考查前项和公式的求法，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以正态曲线的对称轴为，
因为，所以，
所以．
故答案为：．
根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性即可求出概率．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意知，，
，，
，，
，，
易知是周期为的数列，
．
故答案为：．
计算数列的前几项，可得数列的最小正周期为，计算可得所求值．
本题主要考查数列的递推式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设，，且，，，
则，，
所以，
所以与的斜率之积为，
故答案为：．
设点坐标，根据直线的斜率公式结合，即可求得与的斜率之积．
本题考查双曲线的性质，双曲线的第三定义，考查的应用，结论需要记住，在小题中可以直接应用，属于基础题，
16.【答案】
【解析】解：函数在上存在两个极值点，
等价于在上有个不同的实根变号，
即的图象与直线在上有个不同的交点变号，
求出，
当时，，
当时，
所以在上单调递增，
在上单调递减．
可画出的草图如图：
要保证直线在上有个不同的交点变号，
只需，
可得．
故答案为：．
函数在上存在两个极值点，等价于在上有个不同的实根变号，即的图象与直线在上有个不同的交点变号，数形结合即可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：由题意得，且，
所以，
则边上的高所在直线的方程为，化简得；
由题知的中点，所以，
则边上的中线所在直线的方程为，化简得．
【解析】由两点式斜率公式求出斜率，利用垂直关系得的斜率，代入点斜式即可求解；
求出点的坐标为，由两点式斜率公式求出的斜率，代入点斜式即可求解．
本题主要考查了直线的一般方程，属于基础题．
18.【答案】解：平均数为：；
，，
此时，，
所以，
此时，
则．
【解析】由题意，根据频率直方图所给信息以及平均数公式进行求解即可；
先利用正态曲线的对称性求出，再结合二项分布的性质进行求解即可．
本题考查二项分布及其应用，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】证明：，，，
又平面，平面，，
，，平面，平面，
又平面，平面平面．
解：底面，，、、两两互相垂直．
以为坐标原点，分别以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
设，
则，其中，
平面的一个法向量为，
直线与平面所成角的正弦值为，
，解得，
于是为的中点，即，
设平面的法向量为，，，
由，取，得，
而平面的一个法向量为，
平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面角的正弦求出点的坐标，再利用空间向量求夹角的余弦作答．
本题考查平面与吗垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
20.【答案】解：因为，
所以，即数列是等差数列，
设数列的公差为，
由，得，解得，
所以，
因为是满足的的个数，
所以，
所以，．
由得，，
所以，
设，
所以，即递增，
所以递增，
故，
因为对任意，恒成立，所以恒成立，整理得恒成立，
即恒成立，解得，
所以的取值范围是．
【解析】由递推式判断是等差数列，利用等差通项公式求和，进而得到，结合已知可得，再写出对应项，即可；
利用裂项求和法，可得，研究数列单调性求最小值，再结合恒成立问题求参数范围即可．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等差数列的定义、通项公式与裂项求和法是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意，，，，
．
椭圆的方程为．
证明：设，，，则．
当直线的斜率存在时，其方程为，
代入椭圆的方程，整理得．
．
直线的方程为，代入椭圆的方程，
整理得．
．
因此，此时轴，即直线的倾斜角为．
当直线的斜率不存在时，其方程为，此时．
由知，
．
，此时轴，即直线的倾斜角为．
综上所述，直线的倾斜角为．
【解析】根据题意可得，，的值，进而得到椭圆方程；
分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为，所以，
令，则，
因为在上是增函数，所以，则恒成立，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，故，则，此时在上是增函数，
所以的取值范围是，
由知在上是增函数，，，
当时，，在上单调递增，，
令，得，故；
当，即时，，在上单调递减，，
令，解得，此时不存在；
当时，，，存在，使得，即，，
故当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以，
当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，
所以，令，解得，此时不存在；
综上所述，的取值范围是．
【解析】先对求导，再构造函数，从而利用的单调性将问题转化为恒成立，再利用导数求得，由此得解；
结合中结论，利用的正负情况判断的单调性，从而分类讨论，与三种情况，得到关于的不等式，解之即可得解．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与最值，化归转化思想，属难题．
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