2022-2023学年安徽省江南十校高二（下）联考数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省江南十校高二（下）联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 过点且与直线平行的直线方程为( )
A. B. C. D.
2. 已知随机变量，其正态曲线如图所示，若，则( )
A. B. C. D.
3. 我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它是世界数学史上光辉的一页，定理涉及的是整除问题现有如下一个整除问题：将至这个数中，能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为( )
A. 项 B. 项 C. 项 D. 项
4. 圆：与圆：的位置关系是( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
5. 随机变量，满足，且，则与的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6. 年亚运会于年月日至月日在中国浙江杭州举行，杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因现将编号为的个吉祥物机器人赠送给名亚运会志愿者留作纪念，若要求每名志愿者至少获得个吉祥物且号和号吉祥物被赠送给同一名志愿者，则不同的赠送方法数为( )
A. B. C. D.
7. 如图，三棱锥中，、所成的角为，则( )
A.
B.
C.
D.
8. 函数在区间上的零点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 关于及其展开式，下列说法正确的是( )
A. 展开式中各项系数和为
B. 展开式中第项的二项式系数最大
C. 展开式中第项为
D. 当时，除以的余数是
10. 设双曲线，其离心率为，虚轴长为，则( )
A. 上任意一点到的距离之差的绝对值为定值
B. 双曲线与双曲线：共渐近线
C. 上的任意一点不在轴上与两顶点所成的直线的斜率之积为
D. 过点作直线交于，两点，不可能是弦中点
11. 已知数列和满足：，，，，记数列的前项和为，则下列结论正确的是( )
A. ， B. 数列是等差数列
C. D. 数列最小项是第项
12. 集合为正整数，集合是的非空子集，定义：中的最大元素与最小元素的差称为集合的长度，则( )
A. 当时，长度为的集合的所有元素之和为
B. 当时，含有元素和且长度为的四元集合的个数为
C. 当时，长度为的所有集合的元素的个数之和为
D. 集合的所有子集的元素之和为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为______ ．
14. 某大学有，两个图书馆，学生小李周六随机选择一图书馆阅读，如果周六去图书馆，那么周日去图书馆的概率为；如果周六去图书馆，那么周日去图书馆的概率为小李周日去图书馆的概率为______ ．
15. 已知函数，若，则函数在处的瞬时变化率为______ ，若时，恒成立，则实数的取值范围是______ ．
16. 已知抛物线：上的点到轴的距离比到焦点的距离小，过的直线交抛物线于，两点，若恒成立，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知圆过三个点，，，过点引圆的切线，求：
圆的一般方程；
圆过点的切线方程．
18. 本小题分
年新修订的中华人民共和国体育法于年月日正式施行，其中明确要求国家优先发展青少年和学校体育，推进体育强国和健康中国建设某校为此积极开展羽毛球运动项目，学生甲和乙经过一段时间训练后进行了一场羽毛球友谊赛，比赛采用局胜制即有一名运动员先胜局获胜，已知甲每局获胜的概率为，且双方约定：以：取胜的运动员得分，负者得分；以：取胜的运动员得分，负者得分．
求甲获胜的概率；
比赛结束后，求乙的积分的分布列和数学期望．
19. 本小题分
如图，平面图形是由矩形和等腰梯形组合而成，，，，将沿折起，得到图，其中在上，且平面，连接，，，，．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值．
20. 本小题分
已知数列的前项和为，且满足，．
求数列的通项公式；
设，，数列的前项和，证明：．
21. 本小题分
如图，点为椭圆的上顶点，圆：，过坐标原点的直线交椭圆于，两点．
求直线，的斜率之积；
设直线：，与圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，探究是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
已知函数，其中．
求函数的最小值；
若有两个极值点，，求实数的取值范围，并证明：
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，直线的斜率为，
所以所求直线的方程为，即．
故选：．
根据题意，分析直线的斜率，由直线的点斜式写出直线方程即可．
本题考查直线的点斜式方程，涉及直线的斜率，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：随机变量，由图知，而，
所以．
故选：．
根据给定的图形，利用正态分布的对称性求解作答．
本题主要考查正态分布曲线的对称性，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意得：能被除余数为，，，，，
故，，
被除余的数为，，，，，
故，，
因为，，
，，
故，，
由，得，
又，故此数列共有项．
故选：．
由，变形得到的通项公式，从而得到不等式组，求出此数列的项数．
本题考查等差数列的性质，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：两圆化为标准形式，可得与圆，
可知半径，，
于是，
而，
故两圆相交．
故选：．
先将两圆化为标准方程，再根据两圆的位置关系判定即可．
本题考查圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，所以，，
又，所以，
所以，
．
故选：．
根据二项分布的均值和方差公式求得，，而，再根据均值和方差的性质即可求解．
本题主要考查离散型随机变量的期望与方程，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意号和号吉祥物被赠送给同一名志愿者，
将号和号捆绑在一起，然后将个吉祥物先分为组，
有两类：，，
再将分好的三组分配给名志愿者，不同的方法数为，
故选：．
根据先分组再分配的方法计算即可．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为
，
所以．
故选：．
根据数量积的运算律及余弦定理得到，再根据数量积的定义求出．
本题考查数量积的运算律及余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
记，则，
当时，，，则，
当时，，，则，
在上，，，单调递增，
注意到，
必存在使得，
于是在上单调递减，在上单调递增，
又，
在区间上必存在一个零点．
综上，函数在区间上有两个零点．
故选：．
根据导数与函数的单调性、最值的关系以及零点的存在性定理求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：令，可得展开式中各项系数和为，故A错误；
因为是偶数，所以展开式中中间项第项的二项式系数最大，故B正确；
展开式中的第项为，故C错误；
当时，，
其中能被整除，
所以除以的余数是，故D正确．
故选：．
令，可得展开式中各项系数和，即可求解；根据二项式系数的对称性以及单调性即可求解，根据二项展开式的通项公式可求解，利用二项式的展开公式以及整数的定义可求解．
本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：双曲线的离心率为，虚轴长为，
所以，，，解得，
所以双曲线，
所以两焦点坐标分别为，
由双曲线定义知，故A正确；
双曲线的渐近线方程是，
双曲线：的渐近线方程也是，故B正确；
上的任意一点不在轴上设为，
则，即，
又两顶点为，
所以斜率之积为，故C错误；
易知点在双曲线的右侧，
此区域内存在一条直线交于，两点，使是弦中点，故D错误．
故选：．
根据已知条件可以求得双曲线的方程，根据双曲线的性质对选项逐一判断即可．
本题考查双曲线的几何性质，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：代入首项，，可得，，故A正确；
由题意知，两式相减，可得，
又因为，所以，数列是等比数列，故B错误；
由数列是等比数列，可得，
所以所以，故C正确；
因为，所以前项分别为，
当时，因为指数函数比二次函数增长快，即的分子增加的速度比分母快，所以，
所以最小项为第项，故D正确．
故选：．
代入首项判断选项A，由，两式相减结合等比数列的定义判断，利用等比数列的通项公式和前项和公式判断，由指数函数和二次函数的图象判断．
本题主要考查了数列的递推关系在数列的项的求解中的应用，还考查了数列的递推关系的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：当时，长度为的集合为，，所以和为，故A正确；
集合的长度为，先考虑最小元素，最大元素的集合，
分为以下几类：集合含有个元素：，有种，
集合含有个元素：，，，有种，，
依次类推，集合含有个元素：，有种，
所以满足要求的子集元素个数之和为，
运用倒序相加法可得，所以，
改变最小值元素与最大元素，同理可得，，，，
所有子集的元素的个数之和都是，
所以长度为的所有集合的元素的个数之和为，故C正确；
当时，含有元素和且长度为的四元集合，
则集合为，，，，，易知有种，故B错误；
元集合的子集个数为，以元素为例，其中一半的子集中出现，另外一半的集合中不出现，
所以共出现次，同理其他元素也是这种情形，
所以集合的所有子集的元素之和为，故D正确．
故选：．
根据新定义分不同情况分别计算判断，，选项，计算子集的元素和判断选项即可．
本题考查集合相关知识，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
又，
点到平面的距离为．
故答案为：．
根据空间向量的坐标运算，即可得出答案．
本题考查点、线、面间的距离计算，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：记事件表示小李周六去图书馆，事件表示小李周六去图书馆，
事件表示小李周日去图书馆，则，其中与为互斥事件，
依题意，，，，
所以由全概率公式可得
．
故答案为：．
事件表示小李周六去图书馆，事件表示小李周六去图书馆，事件表示小李周日去图书馆，则，用全概率公式化简计算即可．
本题考查相互独立事件的概率计算相关知识，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：当时，，求导可得，
则，即在处的瞬时变化率为．
当时，恒成立，当时，成立；
当时，即，
记，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以函数在区间上的最大值为，
所以，解得．
故答案为：；．
求出，求出的值，可得出在处的瞬时变化率；分、两种情况讨论，当时，直接验证；当时，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，综合可求得实数的取值范围．
本题考查导数的综合应用，恒成立问题的求解，化归转化思想，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为抛物线：上点到轴的距离比到焦点的距离小，
所以由抛物线定义可知，即，
所以抛物线的方程为．
易知直线的斜率显然存在，设为，则过的直线为，
联立，得．
设，，则，，
所以
，
于是，由恒成立，
可得恒成立，
而，
当且仅当，即时，等号成立，
所以取得最小值，所以，故实数的取值范围是．
故答案为：．
利用韦达定理证明，进而可得恒成立，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：设圆的一般方程为，
代入三个点，，得，解得
所以圆的一般方程为．
圆的一般方程化为标准形式为．
当切线斜率不存在时，易知切线方程符合题意．
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则依题意可得，解得，
此时切线方程为，即．
综上所述，圆过点的切线方程为和．

【解析】设圆的一般方程为，代入三点的坐标，求解即可；
分斜率不存在和斜率存在两种情况，再结合点线距离公式即可求解．
本题主要考查圆的切线方程，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题意可知甲获胜，则以：取胜或以：取胜，
所以甲获胜的概率为；
乙的积分的取值可能为，，，
，
，
，
所以乙的积分的分布列为：
所以数学期望为．
【解析】甲以：取胜或以：取胜，直接计算概率即可；
先求出的所有可能取值，然后计算取每个值的概率，从而得分布列，进而求出数学期望．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19.【答案】解：证明：平面，且，，平面，
，，，
，，，
，，
又四边形为矩形，，，
，
，
故是直角三角形，且．
由题意建立以为坐标原点，的方向分别为轴，轴的正方向，以过点垂直于平面且向上的方向为轴的正方向的空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
平面的法向量为．
设直线与平面所成角为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】根据直线和平面垂直得到直线与直线垂直，结合题目中的数量求出，，利用勾股定理，即可证明结论；
由题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系和直线与平面的夹角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由得，当时，，
上述两式相减可得，即．
当时，，解得，所以，也符合上式．
所以数列是等比数列，而，所以数列的通项公式为；
证明：由得，
于是，
所以
．
【解析】根据公式得到数列为以首项为，公比为的等比数列，得到答案．
计算，，利用裂项相消法计算得到答案．
本题考查由数列的递推式求数列的通项公式，利用裂项相消法求数列的前项和，属中档题．
21.【答案】解：设，则，
则直线，的斜率之积；
由知，直线的方程为．
联立，消去可得，
因为，均在椭圆上，所以，即，
所以，所以．
设，，
联立，消去可得，
因为，均在圆上，所以，即，
所以．
所以坐标将所以点坐标中的换成，
可得，
所以，
所以，即存在实数，使得．
【解析】设、的坐标，由两点斜率公式计算斜率之积再利用椭圆方程转化消元即可；
联立直线与椭圆、圆的方程，利用韦达定理计算可分别表示、，再结合的结论得 坐标，用分别表示、，化简即可得结果．
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于中档题．
22.【答案】解：对求导可得，
令，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以函数的最小值为；
，
求导可得，
因为函数有两个极值点，，
所以导函数有两个正的零点，，且在零点左右附近导数值异号，
所以二次函数必有两个正的零点，
故，解得，即实数的取值范围是．
又，，代入中可得
，
设，则，
所以，即．
又由中可知在取等号，
所以当时，，再结合，
可得，
所以．
综上，成立．
【解析】先求函数的导函数，求函数单调性最后求出最值即得；
先根据极值点求极值点的和差，再构造函数再求导函数根据单调性证明不等式即可．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与最值，构造函数证明不等式，化归转化思想，属难题．
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