2022-2023学年河南省部分重点中学高二（下）质检数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省部分重点中学高二（下）质检数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在数列中，，数列是以为公比的等比数列，则( )
A. B. C. D.
2. 抛物线的准线方程是，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3. 函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
4. 下列不等式关系正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为( )
A. B. C. D.
6. 函数的一个极值点是，则的值( )
A. 恒大于 B. 恒小于 C. 恒等于 D. 不确定
7. 已知数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的奇函数恒有，若方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 数列中，，，则下列结论中正确的是( )
A. 是等比数列 B.
C. D.
11. 函数的图象如图所示，则以下结论正确的有( )
A.
B.
C.
D.
12. 已知椭圆的两个焦点为，，是椭圆上的动点，且的面积最大值是，则下列结论中正确的是( )
A. 椭圆的离心率是
B. 若，是左，右端点，则的最大值为
C. 若点坐标是，则过的的切线方程是
D. 若过原点的直线交于，两点，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 曲线在处的切线方程为______ ．
14. 数列满足，为数列的前项和，则 ______ ．
15. 设是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，线段的中点的坐标为，若，则实数的值为______ ．
16. 若，其中，，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知直线过点且与直线垂直，圆的圆心在直线上，且过，两点．
求直线的方程；
求圆的标准方程．
18. 本小题分
已知递增数列满足．
求；
设数列满足，求的前项和．
19. 本小题分
已知函数．
求的极值；
若无零点，求实数的取值范围．
20. 本小题分
数列的前项和满足，且．
求；
设，求数列的前项和．
21. 本小题分
已知直线：与双曲线的右支交于不同的两点和，与轴交于点，且直线上存在一点满足不与重合．
求实数的取值范围；
证明：当变化时，点的纵坐标为定值．
22. 本小题分
已知函数．
证明：函数有唯一零点；
证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为数列是以首项，为公比的等比数列，
则，
所以．
故选：．
根据等比数列的通项公式结合对数运算求解．
本题主要考查了等比数列的通项公式及对数的运算性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：抛物线的准线方程是，
，解得．
故选：．
利用抛物线的准线方程是，与已知条件结合即可得出结果．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意得的定义域为，
，
由得，
故的单调递减区间为．
故选：．
求定义域，再求导，求解，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，
又，，
，即，
故，即．
故选：．
根据对数函数的单调性结合条件，即可得出答案．
本题考查函数的基本性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：设，则，
而，
且，，
所以，
故，
故选：．
利用三角形面积公式、余弦定理，结合双曲线的性质可得，即可求面积．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：，
是的极值点，
，
即，令，，
则，
令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，故，
故，即恒小于．
故选：．
由得出，令，，利用导数证明，从而得出恒小于．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：当时，
当时，，
经检验时，不成立，
故得到，
令，
则，
解得，
即时，，时，，
即当时，
，
当时，
，
故，
即．
故选：．
由，的关系得出通项公式，再讨论，两种情况，结合求和公式得出．
本题考查了数列求和，重点考查了等差数列前项和公式，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意得是奇函数并且在上单调递增，
，即，
，即，
题意转化为方程在上有三个不同的实数解，
即函数的图象与直线有三个不同的交点，
令，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
的极大值为，极小值为，
的取值范围为．
故选：．
由题意将问题转化为函数的图象与直线有三个不同的交点，然后对函数求导求出函数的极值，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和函数的基本性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项，，故A选项错误；
选项，，故B选项正确；
选项，，故C选项正确；
选项，，故D选项错误；
故选：．
根据导数的运算公式及运算法则进行计算即可．
本题主要考查导数的求导法则，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为数列中，，
所以，即，
则是以为首项，以为公比的等比数列，所以，故A正确；
由累加法得，
所以，从而，故B不正确；
当为奇数时，是递增数列，所以，
当为偶数时，是递减数列，所以，所以，故C正确；
又，，所以，故D不正确．
故选：．
由已知递推关系式，可得，则可得到 是等比数列，进而得到，再利用累加法得到，然后逐项判断．
本题考查了数列的递推关系式，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由的图象可知在和上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，在处取得极小值，
又，即和为方程的两根且，
由韦达定理得，，
，，，，故A错误，B正确；
，，故C正确，D错误．
故选：．
由的图象得到函数的单调区间与极值，求出函数的导函数，即可得到和为方程的两根且，利用韦达定理即可表示出、，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由椭圆的方程可知，又的面积最大值是，即，则，
椭圆方程：；
，，椭圆离心率，选项错误；
若，是椭圆的左，右端点，则，，以，为焦点作新椭圆，为两个椭圆的交点，
当新椭圆短轴最长时最大，所以当为椭圆的上顶点或下顶点时，
有最大值为，选项正确；
点在椭圆上，过点的的切线斜率显然存在，设切线方程为，
代入椭圆方程消去得：，
则，
解得，
则切线方程为，即，故C选项错误；
设，，，，，都在椭圆上，
则和，
作差可得，
而，，
所以，选项正确．
故选：．
利用已知解出得到椭圆方程，由离心率的公式计算结果验证选项A；利用椭圆定义计算验证选项B；通过联立方程组求切线方程验证选项C；运用点差法验证选项D．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由函数，得，则，
又，切点为，
切线方程为，即．
故答案为：．
求导，求出切线斜率，结合切点坐标，从而利用点斜式求出切线方程．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由可得，
故是公差为的等差数列，
又，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
先证明是等差数列，然后得到，继而得到，然后用裂项相消法求解即可．
本题考查了等差数列的定义，重点考查了等差数列的求和公式及裂项相消法，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：是抛物线的焦点，
，准线方程，
设，
，，
线段的中点横坐标为，即．
故答案为：．
设，根据焦点弦公式得，再利用中点公式即得到的值．
本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由几何意义为，两点间距离的平方，且在上，在上，两个函数互为反函数，
问题转化为图像上的点到直线的最小距离的倍的平方，
图像上的点到直线的最小距离，可转化为斜率为的切线到直线距离，即是切点到直线的距离．
因为，令，
可得，切点为，
，
易得．
故答案为：．
根据反函数的图像特征转为点到直线距离最小值的倍，再结合导数切线求解即得．
本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由题设：，
代入，得，
于是的方程为．
设圆心，则，
即，
解得：，
，
又圆心，
圆的标准方程为．
【解析】由题设：，代入得出直线的方程；
设圆心，根据得出圆的标准方程．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：由，得，
即，
若，则，又，
所以数列为首项为公差为的等差数列，
若，由，得，舍去，
综上；
由知，，
所以，
，
两式相减得，
，
所以，
故的前项和为．
【解析】由题可得，然后根据等差数列的概念即得；
由已知利用错位相减法即得．
本题主要考查了数列的递推关系在数列通项公式求解的应用，还考查了错位相减求和公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题意得，函数的定义域为，
由得，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值，无极大值，
即，无极大值；
若无零点，转化为关于的方程没有实数解，
即关于的方程没有实数解，
当时，该方程可化为，没有实数解，符合题意；
当时，该方程化为，
令，则，
由得，由得，由得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
，
又当时，，
故函数的值域为
当时，方程无实数解，解得，
综上所述，实数的取值范围是．
【解析】由题意得，函数的定义域为，利用导数求出单调区间，即可得出答案；
依题意可得关于的方程没有实数解，即关于的方程没有实数解，分和两种情况讨论，当时参变分离可得，再构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意，当时，，解得，
当时，，
化简整理，得，
当时，也满足上式，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，．
由，可得，
则，，
，
．
【解析】先根据题干已知条件并结合公式，进行推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，进一步得到与的表达式，并推导出，最后运用并项求和法及等比数列求和公式即可计算出数列的前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，整体思想，转化与化归思想，并项求和法，等比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
21.【答案】解：联立，得，
，
由题意可得，解得，
实数的取值范围是；
设，，，
则由知：．
由，得：，
，得，
故点的纵坐标为定值．
【解析】由直线方程联立双曲线方程，结合条件可得不等式组，进而即得；
设点的坐标根据韦达定理结合条件可得的横坐标，进而可得纵坐标．
本题考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：的定义域为，
，
即在上单调递减，且，
即函数有唯一零点．
证明：由知，当时，，
即，故，
因为，
，
显然，用替换，代入得：
，．
即，成立．
【解析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合得到答案；
由得到，，用替换，得到，．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与零点，化归转化思想，属中档题．
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