山东省济南市2022-2023学年高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

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2023年7月济南市高二期末考试
数 学 试 题
本试卷共6页，22题，全卷满分 150分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 f(x)=lnx-2x ,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为
A.-2 B.-1 C. 1 D.2
2.为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者.现从所有报名的志愿者中，随机选取 300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1 所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2 所示，则下列关于样本数据的分析正确的是
A.老年男性志愿者人数为90
B.青年女性志愿者人数为72
C.老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数
D.中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数
3.一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则不同的停放方法数为
A.70 B.256 C. 1680 D. 4096
4.袋子里有6个大小相同的球，其中2个黑球，4个白球，有放回的取3次，每次随机取1个，设此过程中取到黑球的次数为ξ，则 P(ξ=1)=
D.
5.已知 且 ，则实数 m =
A.-2 B.-1 C.1 D.2
6.已知f(x)是定义在R上的函数,f'(x)是f(x)的导函数,若 f'(x)+f(x)>0,f(1)= ,则 的解集是
A.(0,1) B.(0,e) C.(1,+∞) D.(e,+∞)
7.将三项式展开，得到下列等式：
(x2+x+1)0=1
(x2+x+1)1=x2+x+1
(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1
……
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如下所示的广义杨辉三角：
第0行 1
第1行 1 1 1
第2行 1 2 3 2 1
第3行 1 3 6 7 6 3 1
第4行 1 4 10 16 19 16 10 4 1
……
若关于x 的多项式 (x2+ax-3)(x2+x+1)5的展开式中，x8的系数为30，则实数a=
A.1 B.-1 C.2 D.-2
8.已知函数 若存在x ，使得 成立，则
A.2 B.5 C.-2 D.-5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数 f(x)=x3-3x-2, 则
A. f(x)在区间(-1,1)上单调递增 B. f(x)有两个极值点
C. f(x)有三个零点 D.直线y=-4是曲线y=f(x)的切线
10.已知离散型随机变量 X 的分布列为
X -1 0 1
P 2t2-t- t
则下列说法正确的是
A. t=1或 D. D(8X+9)=64
11.为调查某地区植被覆盖面积x(单位：公顷)和野生动物数量 y 的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200 个区块,从中随机抽取20个区块,得到样本数据(x ,y )(i=1,2,…,20),经计算得：=60,=1200,-)2=80,-)(-)=640.该小组利用这组数据分别建立了y关于x 的线性回归方程 和x关于y的线性回归方程 并把这两条拟合直线画在同一平面直角坐标系xOy下，横坐标 x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x 和野生动物数量y一致.则下列说法正确的是
A.=8
C. l 经过点(3,60) D. l 经过点(3,60)
附：y关于x的线性回归方程 中
12.记两个函数 的图象的公共点个数是φ(A,α),则
A.φ(1,-1)=1 B.φ(1,1)=1 C.φ(1,2)=1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知 ,则的值为 .
14.已知随机变量 X ~ N(μ,σ2),若 P(X < 2)=0.2,P(X<3)=0.5,则 P(X < 4)的值为 .
15.已知函数f(x)=x(lnx+a)在(1,+∞)上单调递增,则a的最小值为 .
16.为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种果实颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占 .果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占 ；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占 根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
2023年5月30 日，神舟十六号载人飞船发射升空，备受关注的“天宫课堂”将继续授课.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取 200名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：
喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 合计
男生 75
女生 45
合计 200
已知从这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢“天宫课堂”的学生的概率为
(1)请将上面的2×2列联表补充完整；
(2)根据以上数据，依据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“天宫课堂”与性别有关联
附:
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式： ,其中n=a+b+c+d.
18.(12 分)
已知
(1)求 n的值;
(2)求 的二项展开式中的常数项.
19.(12分)
已知函数
(1)若f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值;
(2)讨论 f(x)的单调性.
20.(12分)
某学校举办知识竞赛，规则是：比赛共三轮，每名选手只有通过上一轮才能进人下一轮，每轮比赛有两次挑战机会，若第一次挑战成功则直接进人下一轮，第一次不成功可以再挑战一次，若成功同样进入下一轮，两次均未成功，选手比赛终止.已知每次挑战是否成功相互独立.
(1)若选手甲第一轮每次挑战成功的概率为 ，第二轮每次挑战成功的概率为 ，求选手甲可以进入第三轮的概率；
(2)已知共有 2000名选手参加竞赛,竞赛采用计分制,选手得分 X ~ N(212,σ2) ,其中270分以上的选手有 46 名，学校决定对得分高的前317名选手进行表彰，若选手乙的得分为231分，问乙能否获得表彰.
附：若随机变量X~N(μ,σ2) ,则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683;
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
21.(12分)
为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产，
(1)现从试产的新产品中取出6件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对6件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量 X 的分布列与期望；
(2)设每件新产品为次品的概率都为p(022.(12 分)
已知函数 其中a∈R.
(1)若f(x)存在唯一的极值点，求a 的取值范围；
(2)若f(x)存在两个极值点 x ,x ,求证:
2023年7月济南市高二期末学情检测
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C C D B A D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共 20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 BD BC ACD BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.66; 14. 0.8; 15. -1; 16. .
四、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 【解析】
(1)
喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 合计
男生 75 25 100
女生 55 45 100
合计 130 70 200
(2) 零假设为H0：是否喜欢天宫课堂与性别之间无关联.
根据小概率值α=0.0l0的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为该校学生是否喜欢天宫课堂与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.010.
18. 【解析】
(1)因为
所以, n=6.
(2)由 (1)知, n=6
所以 的通项公式为
令 得：k=4，所以展开式中的常数项为
19. 【解析】
(1)因为 由题意得：
解得: a=2,经检验， 符合题意.
(2) 函数定义域为(0,+∞),因为
所以, 当a≤0时, 若0若x>1, f'(x)>0, f(x)在(1,+∞)递增;
当0若01, f'(x)>0, f(x)在(0,a)和(1,+∞)递增;
当a=1时 f(x)在(0,+∞)单调递增;
当a>1时, 若1若0a, f'(x)>0, f(x)在(0,1)和(a,+∞)单调递增;
综上, 当a≤0时, f(x)在(0,l)单调递减,在(l,+∞)单调递增;
当0当a=1时, f(x)在(0,+∞)单调递增.;
当a>1时, f(x)在(1,a)单调递减, 在(0,1)和(a,+∞)单调递增.
20. 【解析】
(1)设A ：第i次通过第一关，B ：第i次通过第二关， 甲可以进入第三关的概率为p，
由题意知
(2)因为选手得分X~N(212,σ2),所以μ= 212,
因为 且 而
且 所以μ+2σ=270, 则
所以前3l7名参赛者的最低得分高于μ+σ=24l，而乙的得分为231分，所以乙无法获得奖励.
21. 【解析】
(1)随机变量X的取值分别为2, 3, 4, 5
,
∴随机变量X的分布列为：
X 2 3 4 5
P
∴随机变量X的期望为：
(2) 因为各个产品的生产互不影响，所以
所以
令f'(p)=0, 得
所以， 当 时,f'(p)>0,f(p)为单调增函数；
当 时, f'(p)<0,f(p)为单调减函数，
所以， 当 时, f(p)取得最大值.
22. 【解析】
(1)由题意知,
当a>0时, f"(x)>0, 故f'(x)在R上单增,又
故f'(x)在R上存在唯一变号零点，f(x)存在唯一的极值点，符合题意；
当a=0时, 在R上单增，即f(x)无极值点，不合题意；
当a<0时,由 得x= ln(-2a), 又f"(x)是增函数, 所以, f'(x)在(-∞, ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞)上单调递增, 又f′(ln(-2a))=-2a(l-ln(-2a)),
①当 时, ln(-2a)≤l, 所以, f'(ln(-2a))≥0, 所以f'(x)≥0, 所以f(x)在R上单增，即f(x)无极值点，不合题意：
②当 时, ln(-2a)>1, 所以f'(ln(-2a))<0, 又f'(0)=1>0, 所以f'(x)在R上存在两个变号零点，即f(x)在R上存在两个极值点，不合题意.
综上, a>0.
(2)证明: 因为f(x)存在两个极值点x ,x ,由(1) 知, 且x ,x 均为正数,所以 即
所以，欲证 只需证 只需证x +x >2.
又由题意， 所以
所以， 即x -lnx =x -lnx , 所以
下面先证明 不妨设x 1.
令 所以g(t)在(1,+∞)上单增.
所以, 由 t>1得, g(t)>g(l)=0.
所以 即 得证.
所以， 即.x +x >2.
所以 证毕.