2022——2023学年上学期开学考试
高三年级数学试题
一、单选题(共60分,每小题5分)
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中,值域为的是( )
A. B. C. D.
3.若曲线与相切,则实数( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.把语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行,则语文书和英语书不相邻的概率为( )
A. B.1 C. D.
6.如果,那么下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
7.导函数的图象如图所示,下列说法正确的个数是( )
①导函数在处有极小值
②函数在处有极大值
③函数在上是减函数
④函数在是增函数
A.1 B.2 C.3 D.4
8.5位大学生在暑假期间主动参加A,B,C三个社区的志愿者服务,且每个社区至少有1人参加,则不同的安排方法共有( )
A.30种 B.90种 C.120种 D.150种
9.已知函数为增函数,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.在某校的一次化学考试中,全体考生的成绩近似地服从正态分布,已知成绩在90分以上(含90分)的学生有32名.则参加考试的学生总数约为( )
(参考数据:,)
A.202 B.205 C.206 D.208
11.已知是定义域为R的函数,满足,,当时,,则下列说法错误的是( )
A.函数是偶函数
B.函数的最小正周期为4
C.当时,函数的最小值为
D.方程有10个根
12.已知函数的图像关于直线对称,且当时,成立,若,,,则( )
A. B. C. D.
二、多选题(共10分,每小题满分5分,漏选得2分,错选不得分)
13.下列条件中,为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有( )
A. B. C. D.
14.已知函数,若有三个不等实根,,,且,则( )
A.的单调递减区间为 B.a的取值范围是
C.的取值范围是 D.函数有4个零点
三、填空题(共20分,每小题5分)
15.根据超市统计资料显示,顾客购买产品A的概率为,购买产品B的概率为,既购买产品A又购买产品B的概率为,则顾客购买产品A的条件下购买产品B的概率为________.
16.若实数x、y满足,则的最小值为________.
17.已知,则________.(用数字作答)
18.已知函数满足:,则;当时,则________.
四、解答题(共60分,每小题12分)
19.2022年支付宝“集五福”活动从1月19日开始,持续到1月31日,用户打开支付宝最新版,通过AR扫描“福”字集福卡(爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福),在除夕夜22:18前集齐“五福”的用户获得一个大红包.某研究型学习小组为了调查研究“集五福与性别是否有关”,现从某一社区居民中随机抽取200名进行调查,得到统计数据如下表所示:
集齐“五福”卡 末集齐“五福”卡 合计
男性 80 20 100
女性 65 35 100
合计 145 55 200
(1)请根据以上数据,由的对立性检验,判断集齐“五福”是否与性别有关;
(2)现采用分层抽样的方法从男性的样本中抽取5人,再从这5人中随机抽取3人,求这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率.
参考公式:,其中.
0.10 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
20.如图,在四棱锥中,底面ABCD是菱形,,,,底面ABCD,,点E在棱PD上,且
(1)证明:面面ACE;
(2)求平面PAC与平面ACE所成角的余弦值.
21.防疫抗疫,人人有责,随着奥密克戎的全球肆虐,防疫形势越来越严峻,防疫物资需求量急增.下表是某口罩厂今年的月份x与订单y(单位:万元)的几组对应数据:
月份x 1 2 3 4 5
订单y 20 24 m 43 52
(1)求y关于x的线性回归方程,并估计6月份该厂的订单数;
(2)求相关系数r(精确到0.01),说明y与x之间具有怎样的相关关系.
参考数据:,,.,.参考公式:
相关系数;回归直线的方程是,其中
.
22.在某校开展的知识竞赛活动中,共有A,B,C三道题,答对A,B,C分别得1分、1分、2分,答错不得分.已知甲同学答对问题A,B,C的概率分别为,,,乙同学答对问题A,B,C的概率均为,甲、乙两位同学都需回答这三道题,且各题回答正确与否相互独立.
(1)求乙同学恰好答对两道题的概率;
(2)运用你学过的知识判断,谁的得分能力更强.
23.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数有两个不同的零点、,求实数a的取值范围.
2022——2023学年上学期开学考试
数学参考答案
1.A 2.C 3.A 4.C 5.C
6.D 7.B 8.D 9.A 10.A
11.C 12.B 13.BC 14.ACD
15. 16. 17.210 18.
19.(1)根据列联表可得:,
又,,
所以有95%的把握认为是否集齐“五福”与性别有关;
(2)设集齐“五福”卡的男性抽取x人,则,所以,
故抽取的5人中集齐“五福”卡的男性有4人,未集齐“五福”卡的男性有1人,
由古典概型的概率公式可得事件恰有1人未集齐“五福”卡的概率,
故这3人中恰有1人未集齐“五福”卡的概率是.
20(1)证明:∵面ABCD
∴
∵在菱形ABCD中,
且
∴面PBD
故面面PBD
(2)菱形ABCD中,又面ABCD
故可以以点O为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系
,,,
设,则
因为
所以
故
可得:
平面PAC的一个法向量为
设平面ACE的一个法向量
则故
∴即二面角的余弦值为
21.(1)解:由题可得:,,
∴,
,
∴y关于x的线性回归方程为,
2022年6月对应的变量为6,将代入,
得,
∴估计6月份该厂的订单数为59.9万元.
(2)相关系数.
∴y与x之间具有很强的正相关关系.
22.(1)设“乙同学恰好答对两道题”为事件为A,则,
所以.
(2)设甲同学本次竞赛中得分为X,则X的可能取值为0,1,2,3,4分,
则,
,,
,,
所以X的概率分布列为:
x 0 1 2 3 4
P
所以
设乙同学本次竞赛中得分为Y,由Y的可能取值为0,1,2,3,4分
,
,,
,,
所以Y的概率分布列为:
Y 0 1 2 3 4
P
所以,
所以,所以乙的得分能力更强.
23.(1)解:函数的定义域为,
,
当时,对任意的,,此时函数的单调递增区间为;
当时,由可得,由可得,此时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
综上所述,当时,函数的单调递增区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)解:由(1)可知,
当时,函数在上单调递增,此时函数至多一个零点,不合乎题意;
当时,函数在上单调递增,在上单调递减,
则,
令,其中,则,
所以,函数在上单调递减,且,
所以,,故.
令,其中,则.
当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增,所以,,即,
所以,,
所以,,,又因为,由零点存在定理可知,函数在、上各有一个零点,合乎题意.
综上所述,实数a的取值范围是.