人教版高中数学必修第二册期中考试达标高分突破卷一(含解析)

人教版高中数学必修第二册期中考试达标高分突破卷一(考试版)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知,是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；
②，；
③，
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．已知的内角的对边分别为，若，，，则为（ ）
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
4．如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是（ ）
A． B． C．1 D．
5．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为　　
A．相交 B．平行
C．异面而且垂直 D．异面但不垂直
6．已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上.若，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在三棱锥中，和均为正三角形，为棱的中点，若，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．1
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知是不重合的直线，是不重合的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则且 D．若，，则
10．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且，，，则下列命题中正确命题为（ ）
A．； B．；
C．； D．
11．在中，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则定为等腰三角形
C．若，则定为直角三角形
D．若三角形的三边满足，则此三角形的最大角为钝角
12．已知四面体是球的内接四面体，且是球的一条直径，，，则下面结论正确的是（ ）
A．球的表面积为
B．上存在一点，使得
C．若为的中点，则
D．四面体体积的最大值为
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，则该圆台的表面积为________.
14．设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则__________．
15．已知若，则实数k=______________
16．已知向量=（3，-4），=（6，-3），=（5-m，-3-m），若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是__．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，，D为AC的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求三棱柱的表面积
18．1.设向量与满足，且.
(1)求与夹角的大小；
(2)求的值.
19．在中，角的对边分别为，若.
(1)求角；
(2)若的面积为，，求的周长.
20．如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面且为中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21．如图，已知矩形ABCD， AB=2，，点P为矩形内一点， 且，设.
（1）当时，求的值∶
（2）求的最大值.
22．如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，平面ABCD，，，M为PC的中点.
(1)求证：平面平面PCD；
(2)若，求四棱锥的体积.
(3)在（2）的条件下，求二面角的大小.
人教版高中数学必修第二册期中考试达标高分突破卷一(全解全析版)
1．B
【解析】
化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．
【详解】
解：化简可得
，
的共轭复数，
故选：B．
2．A
【解析】
【分析】
根据向量的共线定理，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
①中，，所以与显然共线；
②中，因为，所以，故与共线；
③中，设，得，无解，故与不共线.
故选：A.
3．C
【解析】
【分析】
由正弦定理可得，即可得解.
【详解】
在中，，，，
所以由正弦定理得，
所以，
又，所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查了正弦定理解三角形的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
把直观图还原后，计算出，即可求出的面积.
【详解】
中，，，，所以
把直观图还原如图所示：
所以,
所以的面积为：.
故选：D
5．D
【解析】
【详解】
解：利用展开图可知，线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D
6．C
【解析】
【分析】
由已知可得，可得出，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】
因为，则，
所以，，所以，，
因此，
.
故选：C.
7．C
【解析】
【分析】
正四棱锥底面顶点在同一个大圆上，点在球面上可知棱锥高，根据体积公式计算棱锥的高即可求出半径，代入球的体积公式即可求解.
【详解】
设球的半径为.因为正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，且点在球面上，所以底面，底面的面积为.因为，所以，解得，所以球的体积.选C.
【点睛】
本题主要考查了球的内接正四棱锥的性质，四棱锥的体积公式，球的体积公式，属于中档题.
8．B
【解析】
【分析】
取的中点，连接，，结合中位线定理，可得（或其补角）为异面直线与所成的角，再结合和均为正三角形，，可推得为等边三角形，即可求解．
【详解】
取的中点，连接，，
∵为的中点，为的中点，
∴，
∴（或其补角）为异面直线AC与所成的角，
∵和均为正三角形，，
∴，
∴，
∴，
故异面直线与所成的角的余弦值为．
故选：B．
9．ABC
【解析】
【分析】
由直线与平面、平面与平面的位置关系的相关命题依次判断各个选项即可得到结论.
【详解】
对于A，若，，此时可能平行或异面，A错误；
对于B，若，，则可能平行或相交，B错误；
对于C，若，，则可能在或内，也可能与两平面平行，C错误；
对于D，若，，由垂直于同一条直线的两平面平行可知，D正确.
故选：ABC.
10．BCD
【解析】
【分析】
利用向量加法、减法、数乘运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
，A错误.
，B正确.
，C正确.
，D正确.
故选：BCD
11．AC
【解析】
【分析】
选项，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项B，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项，由勾股定理的逆定理可判断其正确；选项，用余弦定理可判断不正确.
【详解】
对于选项，在中，若，则，因此，A正确；
对于选项B，若，则或，
即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，B错误；
对于选项C，若，由勾股定理的逆定理可知定为直角三角形，C正确；
对于选项D，若三角形的三边满足，由余弦定理可知,仅可得为锐角，最大角不确定，D错误.
故选：AC.
12．ACD
【解析】
A.根据是球的一条直径，得到，，由，求得半径判断； B.由与平面相交判断；C.连接、，由判断；D.由点到平面的距离的最大值为球的半径判断.
【详解】
如图所示
∵是球的一条直径，
∴，，
∴，
球的半径为，球的表面积为，故A正确，
若上找到一点，使得，又平面，平面，所以平面 ，而与平面相交，故B错误，
连接、，∵，为的中点，∴，故C正确，
易知点到平面的距离的最大值为球的半径，
∴四面体体积的最大值为：，故D正确，
故选ACD.
13．
【解析】
【分析】
由圆台的表面积公式计算．
【详解】
由题意该圆台的表面积为．
故答案为：．
14．.
【解析】
【详解】
试题分析：由题意得.
【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.
15．
【解析】
【分析】
利用平面向量数量积的坐标表示，由即可求解.
【详解】
若，则，即，
解得.
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
先求出 和的坐标，若∠ABC为锐角，则=3+3m+m＞0，求出m的范围；若，求得 m的值，实数m的取值范围即可．
【详解】
已知向量=（3，-4），=（6，-3），=（5-m，-3-m），
∵，
∵∠ABC为锐角，∴=3+3m+m＞0，可得m＞．
若，则有-1（-1-m）=3m，解得m=．
故当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是 ，
故答案为:．
【点睛】
本题主要考查向量的表示方法，两个向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中档题．
17．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接交于点，连接，可证得∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论，
（2）由已知条件可得三个侧面是矩形，两个底面为直角三角形，然后根据已知的数据可求得答案
(1)
证明：连接交于点，连接，
因为四边形为矩形，
所以为的中点，
因为，D为AC的中点，所以∥，
因为平面，平面，
所以平面；
(2)
因为侧棱底面ABC，
所以三棱柱为直三棱柱，
所以侧面均为矩形，
因为，所以底面均为直角三角形，
因为，，所以,
所以三棱柱的表面积为
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先通过求出，然后通过平面向量的夹角公式求出答案；
（2）先通过平面向量的模和数量积的运算将原式化简，进而将和（1）中的值代入算出即可.
(1)
由，因为，所以，设与夹角为，则，而，所以与的夹角为.
(2)
.
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）、根据正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）、利用面积公式求出的值，化简求出的值，从而求出的周长.
(1)
,
,,
又，.
(2)
由（1）可知.
,,
,,,
,，.
的周长为.
20．（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）取边的中点E，即可证明四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）取边的中点G，由，即可得到直线与平面所成角即为与平面所成角，再由等体积法求得，即可求得直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
解：（1）如图所示：
取边的中点E，连，
则三角形中位线可知：且，
由题可知：且，
且，
即四边形为平行四边形，
又平面平面，
故平面；
（2）取边的中点G，
则，且，
直线与平面所成角即为与平面所成角，
又，且易得,所以
由等体积法，，得，
与平面所成角的正弦值为，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用等体积法求出点到平面的距离.
21．（1）0；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）以A为坐标原点建立平面直角坐标系，然后利用平面向量的数量积坐标运算求解；
（2）法1∶由三角函数的定义设P（cosa，sina），然后利用坐标运算得到，利用三角函数的性质求解；法2∶由三角函数的定义可设P（cosa， sina），线段DC的中点为M，则 ，然后由，利用三角函数的性质求解.
【详解】
（1）如图，
以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则
A（0，0）， B（2，0）， C（2，）， D（0，）.
当时，，则，，
所以.
（2）法1∶由三角函数的定义可设P（cosa，sina）
，，，
从而，
所以
因为，故当时，取得最大值2.
法2∶如图：
由三角函数的定义可设P（cosa， sina），则，
设线段DC的中点为M，则M（1，），
所以，
所以
因为，故当时，取得最大值2.
22．(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意建立空间直角坐标系，设出，利用平面向量的法向量证明面面垂直；
（2）先利用得到向量垂直，得到值，进而求出四棱锥的体积；
（3）利用平面的法向量求二面角即可.
(1)
解：以点为原点，、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图所示），
设，，
则，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得；
设平面的一个法向量为，则，
令，得；
因为，所以，
即平面平面PCD.
(2)
解：因为，，且，
所以，解得，即，
所以四棱锥的体积为；
(3)
解：由（1）得平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的大小为.