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浙江省湖州市2022-2023学年高二下学期数学期末试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2． 已知复数满足（i是虚数单位），则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4． 国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育 优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥但不对立 B．事件与事件互斥且对立
C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立
5． 已知函数对任意都有，则当取到最大值时，函数图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
6． 已知单位向量，满足，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
7． 7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）
A．400种 B．720种 C．960种 D．1200种
8． 已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9． 2023年6月18日，很多商场都在搞“618”促销活动.市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法正确的有（ ）
90 95 100 105 110
11 10 8 6 5
A．变量与负相关且相关性较强 B．
C．当时，的估计值为14.5 D．相应于点的残差为0.4
10．（2023·深圳模拟）已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A．的最小正周期为π
B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
11．已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，，，函数的图象在点处的切线与在点处的切线互相垂直，且分别与轴交于、两点，则（ ）
A．为定值
B．为定值
C．直线的斜率取值范围是
D．的取值范围是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13． 已知的展开式中含有常数项，则的一个可能取值是 ．
14． 设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则 ， .
15． 湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为21.5．已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的平均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是 .
16．在四面体中，，，且，，异面直线，所成角为，则该四面体外接球的表面积是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17． 设袋子中装有大小相同的6个红球和4个白球，现从袋中任取4个小球（每球取出的机会均等）.
（1）求取出的4个小球中红球个数比白球个数多的概率；
（2）若取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，记表示取出的4个球的总得分，求随机变量的分布列和数学期望.
18． 已知函数（且）.
（1）求函数的奇偶性；
（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.
19． 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，本次亚运会共设40个大项，61个分项，482个小项．为调查学生对亚运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经过计算可得.
男生 女生 合计
了解
不了解
合计
附：.
（1）求的值，并判断有多大的把握认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关；
（2）①为弄清学生不了解亚运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不了解亚运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率；
②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对亚运会项目了解的人数为，求随机变量的数学期望.
附表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
20．（2023·深圳模拟）记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）设的中点为，若，且，求的的面积．
21． 如图，圆台的上底面的半径为1，下底面的半径为，是圆台下底面的一条直径，是圆台上底面的一条半径，为圆上一点，点，在平面的同侧，且，.
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成角的正弦值.
22．已知函数，，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设函数的最小值为，求函数的最小值.
（其中是自然对数的底数）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】不等式解得又所以
故答案为：B
【分析】先用列举法表示集合A，再利用集合交集的定义即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由已知条件可得所以-1+i
故答案为：D
【分析】先把z化简，再根据共轭复数的定义即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较对数值的大小；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由已知可得因为对数函数在上单调
递增且2<5<7，所以即所以
故答案为：A
【分析】先根据对数的运算性质把a，b，c进行化简，再利用对数函数的单调性进行比较大小，用换底公式即可判断出大小关系.
4．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】生育三个孩子的家庭的样本空间Ω={（男，男，男），（男，女，男），（女，男，男），（男，男，女），（女，女，男），（女，男，女），（男，女，女），（女，女，女）}；
事件A={（男，女，男），（女，男，男），（男，男，女），（女，女，男），（女，男，女），（男，女，女）}；
事件B={（女，女，男），（女，男，女），（男，女，女），（女，女，女）}；
事件C={（男，男，男），（男，女，男），（女，男，男），（男，男，女）}；
A.因为且所以事件B与事件C是对立事件，所以A选项相信不正确.
B.事件A与事件B不是互斥的，所以B选项错误.
C.因为P(BC)=0，所以事件B与事件C不独立，即C选项错误.
D.且事件A与事件B相互独立，即D选项正确.
故答案为：D
【分析】利用互斥、对立事件的定义可判断A，B 选项，再利用相互独立事件的定义可判断C，D选项.
5．【答案】A
【知识点】正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】因为所以且，结合正弦函数图象可得解得
所以的最大值为，所以
A.当时，所以A选项正确.
B.当时，所以B选项不正确.
C.当时，所以C选项不正确.
D.当时，所以D选项不正确.
故答案为：A
【分析】先根据的取值范围，求出的取值范围，结合即可求出的最大值，把选项依次代入求出整体值，进而判断出正确答案.
6．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；空间向量的投影向量
【解析】【解答】由题意可得又因为所以则 在上的投影向量 为：
故答案为：D
【分析】先把两边平方可得再利用投影向量的定义即可求得.
7．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】由已知条件甲，乙相邻可以用捆绑法把他俩看成一个整体有先排除了丙丁外的其他人共有种， 丙、丁要求分开
可以用插空法后排有种，所以不同的排法共有种.
故答案为：C
【分析】先用捆绑法排除了丙，丁以外的其他人，再用插空法排丙，丁，两部相乘即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】为奇函数，即且
又为偶函数，即
所以即所以是周期为4的周期函数.
所以
故答案为：C
【分析】先利用函数的奇偶性得出为周期函数，再利用赋值法求出利用周期性即可解得.
9．【答案】A,B,D
【知识点】变量间的相关关系；两个变量的线性相关；最小二乘法；相关系数
【解析】【解答】A.由相关系数r是负数，可得变量x与变量y成负相关，且=0.9923非常接近1，所以相关性很强，即A选项正确.
B.由已知可得故回归直线恒过样本中心点（100，8），把点（100，8）
代入可得，所以B选项正确.
C. 当时，的估计值为16，故C选项错误.
D.把x=95代入回归直线可得y的预测值为9.6，故残差=10-9.6=0.4，故D选项正确.
故答案为：ABD
【分析】利用相关关系和相关系数可判断选项A，利用样本中心点可判断选项B，由B选项，把代入回归方程可判断选项C，最后计算残差即可判断选项D.
10．【答案】A,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】因为，向右平移个单位得，则最小正周期为，A选项正确；
令，解得，所以单调递增区间为，B选项错误；
令解得，C选项错误；
令解得所以函数的对称中心为，D选项正确.
故答案为：AD
【分析】根据三家函数的图形变换和正弦的倍角公式，化简得到，可判定A正确；根据正弦函数的性质，得到 函数 单调递增区间为，可判定B错误；由正弦函数的对称性，可判定C错误，D项正确.
11．【答案】B,C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；不等式的综合
【解析】【解答】A.由已知可得则故选项A错误.
B.由A选项可得，故选项B正确.
C.当且仅当时等号成立，因为所以
故选项C正确.
D.当且仅当时等号成立，故选项D错误.
故答案为：BC
【分析】利用不等式的性质求出的范围可判读A，结合指数函数的单调性可判断B，利用基本不等式并结合对数的运算性质可判断C，D.
12．【答案】A,C,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用；直线的斜率
【解析】【解答】由题意可得
当时，导函数所以在点A处的切线的斜率切线AM的直线方程为：
令x=0可得即
当x>0时，导函数所以在点B处的切线的斜率切线BN的直线方程为：
令x=0可得即
A.因为两条切线互相垂直，则即为定值，故选项A正确，选项B错误.
C.直线AB的斜率故选项C正确.
D.
所以故选项D正确.
故答案为：ACD
【分析】先去绝对值化简f(x)，利用导数求出两条切线的斜率，根据直线垂直的条件可得，可判断选项AB，利用两点斜率公式
结合基本不等式可判断选项C，利用两点间的距离公式，结合化简即可判断选项D.
13．【答案】4、8、12、16（任选一个为答案）
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由二项式展开式的通项公式可得因为展开式中有常数项，所以n-4k=0，
即n=4k()，又因为所以n=4、8、12、16.
故答案为：4、8、12、16（任选一个为答案）
【分析】根据展开式的通项公式找到n满足的条件，即可解答.
14．【答案】；
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由正态密度曲线的图像关于直线x=1对称，可得由正态分布的性质可得
所以
故答案为：
【分析】先根据正态密度曲线的图像判断出对称轴，再利用密度曲线的性质即可求得.
15．【答案】12
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，
则甲校的数学强基小组人数24；乙校的数学强基小组人数为16；丙校的数学强基小组人数8，
把甲校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把乙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把丙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把所有学生的平均分记为，方差记为．
根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系可得解得
，即解得
故答案为：12.
【分析】根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与方差的计算公式求解.
16．【答案】或
【知识点】球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；异面直线的判定；球内接多面体；正弦定理
【解析】【解答】如图：
由已知条件可以把四面体ABCD补成直三棱柱ABE-FCD，则四面体ABCD和直三棱柱有同一个外接球O，且球心O在面ABE和面FCD外接圆圆心连线的中点处，设面ABE的外接圆的半径为r，外接球O的半径为R，
因为，所以AB=BE，又因为 异面直线，所成角为，所以
若，则为等边三角形，由勾股定理可得则
若则为等腰三角形，由勾股定理可得则
故答案为：或
【分析】先把四面体补成直三棱柱，利用直三棱柱的特点求出外接球的半径，即可求解.
17．【答案】（1）解：取出的4个小球中红球个数比白球个数多的事件分为：3个红球1白球、4个红球，
则.
（2）解：由题意所有可能的取值为：，
，
所以随机变量的分布列为
4 5 6 7 8
随机变量的数学期望为
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用组合知识结合古典概率模型公式即可求解.
(2)先求出X的可能取值，利用古典概率模型公式分别求出对应的概率值，列出分布列，最后利用数学期望公式即可求解.
18．【答案】（1）解：对于函数，有，则，解得，
所以函数的定义域为，
，故函数为奇函数.
（2）解：由可得，
则，
令，其中，
因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数，
当时，，
因此，实数的取值范围是.
【知识点】复合函数的单调性；函数奇偶性的判定；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】(1)先求出函数的定义域，观察是否关于原点对称，再利用奇偶函数的定义验证即可.
(2)先根据方程由实数根，解得，再构造函数（），求出g(x)的值域即可求出实数m的取值范围.
19．【答案】（1）解：被调查的男女生人数均为，其中男生中了解的有，则不了解的有，
其中女生中不了解的有，则了解的有，
列联表如下表所示：
男生 女生 合计
了解
不了解
合计
，又，可得，
因为，
所以有的把握认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关；
（2）解：①采用分层抽样的方法从抽取的不了解亚运会项目的学生中随机抽取9人，
所以这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，
再从这9人中抽取3人进行面对面交流，
“至少抽到一名女生”的概率为；
②由题意可知，故.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）先把 列联表补充完整，再利用 计算公式得到关于n的不等式，①求出整数n的值，结合临界值表即可得出结论。
（2）①利用分层抽样的特点男女按相同的比例抽的男4女5，再利用组合数结合古典概率公式，用对立事件概率公式即可求得.
②由题意可知X服从二项分布，由二项分布的期望计算公式即可求解.
20．【答案】（1）解：由已知得，，
由正弦定理可得，，
因为，
所以，
代入上式，整理得，
又因为，，
所以，
即，
又因为，
所以，
所以，
解得；
（2）解：在中，由余弦定理得，．
而，，所以，①
在中，由余弦定理得，，②
由①②两式消去a，得，
所以，
又，解得，．
所以的面积．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 根据题意，结合正弦定理，得到，进而求得的大小；
（2） 在中，由余弦定理化简得到，在中，由余弦定理化简得到，联立方程组，求得，进而求得，，结合面积公式，即可求解.
21．【答案】（1）证明：如图取中点，连接，
由题意，，，
又为的中位线，故，
又为直径，所以，则.
由和，得，又，
所以四边形是平行四边形，故，
又平面，故，所以，又，
又，所以平面，
由，得平面.
（2）解：由三棱锥的体积为得，，
以为原点，，，所在直线分别为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，.
得，，
，.
设平面的法向量，
由，令得：，.
得，
设平面的法向量，
由令得：，.
得，
则.
所以平面与平面所成角的正弦值为.
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)取中点，先证明四边形是平行四边形，再用线面垂直的判定定理证明平面，用即可证明平面.
(2)先根据 三棱锥的体积 求出，再用向量法求出平面，平面的法向量，先求出二面所成角的余弦值，再利用同角基本关系公式求出所成角的正弦值即可.
22．【答案】（1）解：当时，，
由题意得，
所以，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故，则．
故当时，，当时，，
因此所求函数在单调递减，在单调递增．
（2）解：由题意得，，则，
令，则，
所以在上为增函数，
又，
所以在上存在唯一零点，且，
，即．
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
因此，
因为，所以，所以．
由得，显然在单调递增．
因为，所以，
所以在上存在唯一零点，且，
当时，，当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以的最小值为，
因为，所以，所以，
又，所以，
又函数在上为增函数，所以，
，
因为，所以，即在上的最小值为0．
【知识点】导数的四则运算；函数的单调性与导数正负的关系；函数零点的判定定理；函数的应用
【解析】【分析】（1）当a=1时，先求出，利用求导法则求出导数，结合导数和函数单调性的关系即可求解.
（2）由题意得，，对h(x)导函数二次求导可得恒成立，结合零点存在定理可判断；利用导数研究的性质，结合零点存在定理可得的最小值为，结合函数的单调性即可求解.
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浙江省湖州市2022-2023学年高二下学期数学期末试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】不等式解得又所以
故答案为：B
【分析】先用列举法表示集合A，再利用集合交集的定义即可求出答案.
2． 已知复数满足（i是虚数单位），则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由已知条件可得所以-1+i
故答案为：D
【分析】先把z化简，再根据共轭复数的定义即可求出答案.
3．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较对数值的大小；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由已知可得因为对数函数在上单调
递增且2<5<7，所以即所以
故答案为：A
【分析】先根据对数的运算性质把a，b，c进行化简，再利用对数函数的单调性进行比较大小，用换底公式即可判断出大小关系.
4． 国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育 优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥但不对立 B．事件与事件互斥且对立
C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】生育三个孩子的家庭的样本空间Ω={（男，男，男），（男，女，男），（女，男，男），（男，男，女），（女，女，男），（女，男，女），（男，女，女），（女，女，女）}；
事件A={（男，女，男），（女，男，男），（男，男，女），（女，女，男），（女，男，女），（男，女，女）}；
事件B={（女，女，男），（女，男，女），（男，女，女），（女，女，女）}；
事件C={（男，男，男），（男，女，男），（女，男，男），（男，男，女）}；
A.因为且所以事件B与事件C是对立事件，所以A选项相信不正确.
B.事件A与事件B不是互斥的，所以B选项错误.
C.因为P(BC)=0，所以事件B与事件C不独立，即C选项错误.
D.且事件A与事件B相互独立，即D选项正确.
故答案为：D
【分析】利用互斥、对立事件的定义可判断A，B 选项，再利用相互独立事件的定义可判断C，D选项.
5． 已知函数对任意都有，则当取到最大值时，函数图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】因为所以且，结合正弦函数图象可得解得
所以的最大值为，所以
A.当时，所以A选项正确.
B.当时，所以B选项不正确.
C.当时，所以C选项不正确.
D.当时，所以D选项不正确.
故答案为：A
【分析】先根据的取值范围，求出的取值范围，结合即可求出的最大值，把选项依次代入求出整体值，进而判断出正确答案.
6． 已知单位向量，满足，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；空间向量的投影向量
【解析】【解答】由题意可得又因为所以则 在上的投影向量 为：
故答案为：D
【分析】先把两边平方可得再利用投影向量的定义即可求得.
7． 7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）
A．400种 B．720种 C．960种 D．1200种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】由已知条件甲，乙相邻可以用捆绑法把他俩看成一个整体有先排除了丙丁外的其他人共有种， 丙、丁要求分开
可以用插空法后排有种，所以不同的排法共有种.
故答案为：C
【分析】先用捆绑法排除了丙，丁以外的其他人，再用插空法排丙，丁，两部相乘即可求出答案.
8． 已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】为奇函数，即且
又为偶函数，即
所以即所以是周期为4的周期函数.
所以
故答案为：C
【分析】先利用函数的奇偶性得出为周期函数，再利用赋值法求出利用周期性即可解得.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9． 2023年6月18日，很多商场都在搞“618”促销活动.市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法正确的有（ ）
90 95 100 105 110
11 10 8 6 5
A．变量与负相关且相关性较强 B．
C．当时，的估计值为14.5 D．相应于点的残差为0.4
【答案】A,B,D
【知识点】变量间的相关关系；两个变量的线性相关；最小二乘法；相关系数
【解析】【解答】A.由相关系数r是负数，可得变量x与变量y成负相关，且=0.9923非常接近1，所以相关性很强，即A选项正确.
B.由已知可得故回归直线恒过样本中心点（100，8），把点（100，8）
代入可得，所以B选项正确.
C. 当时，的估计值为16，故C选项错误.
D.把x=95代入回归直线可得y的预测值为9.6，故残差=10-9.6=0.4，故D选项正确.
故答案为：ABD
【分析】利用相关关系和相关系数可判断选项A，利用样本中心点可判断选项B，由B选项，把代入回归方程可判断选项C，最后计算残差即可判断选项D.
10．（2023·深圳模拟）已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A．的最小正周期为π
B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
【答案】A,D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】因为，向右平移个单位得，则最小正周期为，A选项正确；
令，解得，所以单调递增区间为，B选项错误；
令解得，C选项错误；
令解得所以函数的对称中心为，D选项正确.
故答案为：AD
【分析】根据三家函数的图形变换和正弦的倍角公式，化简得到，可判定A正确；根据正弦函数的性质，得到 函数 单调递增区间为，可判定B错误；由正弦函数的对称性，可判定C错误，D项正确.
11．已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；不等式的综合
【解析】【解答】A.由已知可得则故选项A错误.
B.由A选项可得，故选项B正确.
C.当且仅当时等号成立，因为所以
故选项C正确.
D.当且仅当时等号成立，故选项D错误.
故答案为：BC
【分析】利用不等式的性质求出的范围可判读A，结合指数函数的单调性可判断B，利用基本不等式并结合对数的运算性质可判断C，D.
12．已知函数，，，函数的图象在点处的切线与在点处的切线互相垂直，且分别与轴交于、两点，则（ ）
A．为定值
B．为定值
C．直线的斜率取值范围是
D．的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用；直线的斜率
【解析】【解答】由题意可得
当时，导函数所以在点A处的切线的斜率切线AM的直线方程为：
令x=0可得即
当x>0时，导函数所以在点B处的切线的斜率切线BN的直线方程为：
令x=0可得即
A.因为两条切线互相垂直，则即为定值，故选项A正确，选项B错误.
C.直线AB的斜率故选项C正确.
D.
所以故选项D正确.
故答案为：ACD
【分析】先去绝对值化简f(x)，利用导数求出两条切线的斜率，根据直线垂直的条件可得，可判断选项AB，利用两点斜率公式
结合基本不等式可判断选项C，利用两点间的距离公式，结合化简即可判断选项D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13． 已知的展开式中含有常数项，则的一个可能取值是 ．
【答案】4、8、12、16（任选一个为答案）
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由二项式展开式的通项公式可得因为展开式中有常数项，所以n-4k=0，
即n=4k()，又因为所以n=4、8、12、16.
故答案为：4、8、12、16（任选一个为答案）
【分析】根据展开式的通项公式找到n满足的条件，即可解答.
14． 设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则 ， .
【答案】；
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由正态密度曲线的图像关于直线x=1对称，可得由正态分布的性质可得
所以
故答案为：
【分析】先根据正态密度曲线的图像判断出对称轴，再利用密度曲线的性质即可求得.
15． 湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为21.5．已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的平均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是 .
【答案】12
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，
则甲校的数学强基小组人数24；乙校的数学强基小组人数为16；丙校的数学强基小组人数8，
把甲校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把乙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把丙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把所有学生的平均分记为，方差记为．
根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系可得解得
，即解得
故答案为：12.
【分析】根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与方差的计算公式求解.
16．在四面体中，，，且，，异面直线，所成角为，则该四面体外接球的表面积是 .
【答案】或
【知识点】球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；异面直线的判定；球内接多面体；正弦定理
【解析】【解答】如图：
由已知条件可以把四面体ABCD补成直三棱柱ABE-FCD，则四面体ABCD和直三棱柱有同一个外接球O，且球心O在面ABE和面FCD外接圆圆心连线的中点处，设面ABE的外接圆的半径为r，外接球O的半径为R，
因为，所以AB=BE，又因为 异面直线，所成角为，所以
若，则为等边三角形，由勾股定理可得则
若则为等腰三角形，由勾股定理可得则
故答案为：或
【分析】先把四面体补成直三棱柱，利用直三棱柱的特点求出外接球的半径，即可求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17． 设袋子中装有大小相同的6个红球和4个白球，现从袋中任取4个小球（每球取出的机会均等）.
（1）求取出的4个小球中红球个数比白球个数多的概率；
（2）若取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，记表示取出的4个球的总得分，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：取出的4个小球中红球个数比白球个数多的事件分为：3个红球1白球、4个红球，
则.
（2）解：由题意所有可能的取值为：，
，
所以随机变量的分布列为
4 5 6 7 8
随机变量的数学期望为
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用组合知识结合古典概率模型公式即可求解.
(2)先求出X的可能取值，利用古典概率模型公式分别求出对应的概率值，列出分布列，最后利用数学期望公式即可求解.
18． 已知函数（且）.
（1）求函数的奇偶性；
（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：对于函数，有，则，解得，
所以函数的定义域为，
，故函数为奇函数.
（2）解：由可得，
则，
令，其中，
因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数，
当时，，
因此，实数的取值范围是.
【知识点】复合函数的单调性；函数奇偶性的判定；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】(1)先求出函数的定义域，观察是否关于原点对称，再利用奇偶函数的定义验证即可.
(2)先根据方程由实数根，解得，再构造函数（），求出g(x)的值域即可求出实数m的取值范围.
19． 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，本次亚运会共设40个大项，61个分项，482个小项．为调查学生对亚运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经过计算可得.
男生 女生 合计
了解
不了解
合计
附：.
（1）求的值，并判断有多大的把握认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关；
（2）①为弄清学生不了解亚运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不了解亚运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率；
②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对亚运会项目了解的人数为，求随机变量的数学期望.
附表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】（1）解：被调查的男女生人数均为，其中男生中了解的有，则不了解的有，
其中女生中不了解的有，则了解的有，
列联表如下表所示：
男生 女生 合计
了解
不了解
合计
，又，可得，
因为，
所以有的把握认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关；
（2）解：①采用分层抽样的方法从抽取的不了解亚运会项目的学生中随机抽取9人，
所以这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，
再从这9人中抽取3人进行面对面交流，
“至少抽到一名女生”的概率为；
②由题意可知，故.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）先把 列联表补充完整，再利用 计算公式得到关于n的不等式，①求出整数n的值，结合临界值表即可得出结论。
（2）①利用分层抽样的特点男女按相同的比例抽的男4女5，再利用组合数结合古典概率公式，用对立事件概率公式即可求得.
②由题意可知X服从二项分布，由二项分布的期望计算公式即可求解.
20．（2023·深圳模拟）记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）设的中点为，若，且，求的的面积．
【答案】（1）解：由已知得，，
由正弦定理可得，，
因为，
所以，
代入上式，整理得，
又因为，，
所以，
即，
又因为，
所以，
所以，
解得；
（2）解：在中，由余弦定理得，．
而，，所以，①
在中，由余弦定理得，，②
由①②两式消去a，得，
所以，
又，解得，．
所以的面积．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 根据题意，结合正弦定理，得到，进而求得的大小；
（2） 在中，由余弦定理化简得到，在中，由余弦定理化简得到，联立方程组，求得，进而求得，，结合面积公式，即可求解.
21． 如图，圆台的上底面的半径为1，下底面的半径为，是圆台下底面的一条直径，是圆台上底面的一条半径，为圆上一点，点，在平面的同侧，且，.
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：如图取中点，连接，
由题意，，，
又为的中位线，故，
又为直径，所以，则.
由和，得，又，
所以四边形是平行四边形，故，
又平面，故，所以，又，
又，所以平面，
由，得平面.
（2）解：由三棱锥的体积为得，，
以为原点，，，所在直线分别为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，.
得，，
，.
设平面的法向量，
由，令得：，.
得，
设平面的法向量，
由令得：，.
得，
则.
所以平面与平面所成角的正弦值为.
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)取中点，先证明四边形是平行四边形，再用线面垂直的判定定理证明平面，用即可证明平面.
(2)先根据 三棱锥的体积 求出，再用向量法求出平面，平面的法向量，先求出二面所成角的余弦值，再利用同角基本关系公式求出所成角的正弦值即可.
22．已知函数，，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设函数的最小值为，求函数的最小值.
（其中是自然对数的底数）
【答案】（1）解：当时，，
由题意得，
所以，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故，则．
故当时，，当时，，
因此所求函数在单调递减，在单调递增．
（2）解：由题意得，，则，
令，则，
所以在上为增函数，
又，
所以在上存在唯一零点，且，
，即．
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
因此，
因为，所以，所以．
由得，显然在单调递增．
因为，所以，
所以在上存在唯一零点，且，
当时，，当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以的最小值为，
因为，所以，所以，
又，所以，
又函数在上为增函数，所以，
，
因为，所以，即在上的最小值为0．
【知识点】导数的四则运算；函数的单调性与导数正负的关系；函数零点的判定定理；函数的应用
【解析】【分析】（1）当a=1时，先求出，利用求导法则求出导数，结合导数和函数单调性的关系即可求解.
（2）由题意得，，对h(x)导函数二次求导可得恒成立，结合零点存在定理可判断；利用导数研究的性质，结合零点存在定理可得的最小值为，结合函数的单调性即可求解.
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