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四川省成都市蓉城名校2022-2023学年高二下学期期末联考文科数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．成都大运会某志愿者服务小队由四川大学25名学生和电子科技大学15名学生组成，现用分层抽样的方法从上述所有学生中抽取16名学生进行应急知识检测，则从四川大学学生中抽取的人数为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知等边三角形ABC的边长为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在点处的切线方程为，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
6．已知正实数，满足，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若满足约束条件则的最大值是（ ）
A．5 B．10 C． D．20
8．已知函数，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
9．已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．设经过点的动直线与抛物线交于不同的两点，点是直线上的一动点，则为（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上均可能
11．在三棱锥中，底面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则（ ）
A．1 B． C． D．
12．已知双曲线的左，右焦点分别为，右支上一点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若复数满足，则 ．
14．函数的单调递减区间为 ．
15．已知直线与离心率为的双曲线的一条渐近线平行，则所有可能取的值之和为 ．
16．已知，若关于的方程有五个相异的实数根，则的取值范围是 ．
三、解答题
17．设是函数的两个极值点，且．
（1）求的值；
（2）求在区间上的值域．
18．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日8月8日在成都市举行，全民运动成为新风尚．某体育用品店统计了2023年月份运动器材销量y（单位：千套）与售价x（单位：元）的情况，如下表所示：
月份 1 2 3 4 5
器材售价x（元） 100 90 80 70 60
销量y（千套） 5 7.5 8 9 10.5
（1）求的相关系数，并判断销量y与售价x是否有很强的线性相关性？（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）；
（2）请建立y关于x的线性回归方程（精确到0.001），并估计当该器材的售价为50元时销量为多少千套？
参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，参考数据：．
19．在四棱锥中，底面是矩形，若，．
（1）证明：平面平面；
（2）若分别是的中点，动点P在线段EF上移动，求三棱锥的体积．
20．已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为，上顶点为，的面积为，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线与圆相切，且与椭圆相交于、两点，若弦长的取值范围为，求斜率的取值范围．
21．已知函数，，．
（1）当时，证明：时，恒成立；
（2）若在处的切线与y=-x+1垂直，求函数在区间上的值域；
（3）若方程有两个不同的根，求实数的取值范围．
22．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
（2）若点，直线l与圆相交于两点，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】，
，
，
所以集合.
，
，
所以集合，
.
故选：A.
【分析】先通过一元二次不等式求出集合A，根据对数函数的定义域求出集合B，再求出集合A和集合B的交集.
2．【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】由题意可知，四川大学人数占总人数的，
从中抽取16名同学，按照比例关系可知：（人）.
故答案为：A.
【分析】先求出四川大学人数占总人数的比例，再根据需要抽出的数量，将两者相乘，得到四川大学抽取的人数.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】充分性：
，
，
，
故是的充分条件.
必要性：
，
，
，
或，
所以不一定能得到，
故是的不必要条件，
综上是的充分不必要条件.
故选：B.
【分析】先证明代入条件证明充分性，再通过因式分解证明必要性.
4．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
，
，
.
故选：B.
【分析】画图分析，得到向量之间的夹角，结合平面向量数量积的运算，求出最后值.
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】，
.
.
所以在点A处切线方程的斜率为1.
.
故选：C.
【分析】先对函数进行求导得到，再代入切点A坐标可得切线方程的斜率，即a的值.
6．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】为正实数，且，
，
，
因此A选项正确.
，
，
，
因此B选项正确.
，
，
，
当m=n+1时，取“=”号，m=1，n=0.
又因为，不能取“=”，
.
因此C选项正确.
，
故选：D.
【分析】本题主要结合，四个常见的基本不等式，，对四个选项分别进行分析，求得变量范围，同时要注意取值范围.
7．【答案】D
【知识点】简单线性规划；圆方程的综合应用
【解析】【解答】由题意可知，
z表示以（0，0）为圆心的半径的平方.
下面对三个条件，两两组合，联立方程组，
，
交点A(1，2)，
，
交点B(3，1)，
，
交点C(2，4)，
由此可知最大值为（0，0）到C(2，4)的距离的平方，
因此，
故选：D.
【分析】首先根据表达式，可知z表示以（0，0）为圆心的半径的平方，再由约束条件的形成的可行域，得到三个交点，得到z最大值.
8．【答案】C
【知识点】函数的周期性；指数函数综合题
【解析】【解答】当x=-2时，，
，
当x=-2时，，
，
，
，
故选：C.
【分析】首先根据分段函数的解析式，可知时，f(x)是周期函数，求出f(-2)的值，再根据时，指数函数表达式，求出f(f(-2))值.
9．【答案】A
【知识点】奇函数；偶函数；奇偶函数图象的对称性；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由图可知，函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，
对B：函数且定义域为，所以为奇函数，不符合题意，故B错误；
对D：函数且定义域为，所以为奇函数，不符合题意，故D错误；
对C：函数，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的极值点为和1，这与图象不符，不符合题意，故C错误；
故答案为：A.
【分析】根据图象得到函数为偶函数，结合选项可排除B、D项，再由函数的极值点，排除C项，即可求解.
10．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设，
则，
直线l与抛物线联立可得：，
则，
所以为锐角.
故答案为：A．
【分析】设动直线，将直线方程与抛物线方程联立可得，利用韦达定理和平面向量的数量积即可求解.
11．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】外接球表面积为，
，
，
底面ABC，
，
，
平面PAC，
，
是直角三角形，
是直角三角形PCB和直角三角形PAB的公共斜边，
是外接球的直径，
，
在中，，
，
.
故选：C.
【分析】首先根据外接球的表面积公式，求出球半径，再根据空间几何性质，证明PB是两个直角三角形的共同斜边，得到球直径，然后根据勾股定理，求出PA，AC，最后求出BC.
12．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设，则，即，
渐近线方程为，即，
则P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为：，，
因为，则，
可得，即，
又由，可得，所以，
所以双曲线C的渐近线方程为.
故答案为：D．
【分析】求得双曲线的渐近线方程，求得点P到双曲线C的两条渐近线的距离，根据题意化简得到，结合，求得，即可求解.
13．【答案】-1
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
，
，
，
，
，
故值为-1.
【分析】代入复数z的表达式，将z与1-i进行相乘，根据等式的性质，一一对应可知a、b之间关系的方程组，求出a、b值，故得.
14．【答案】
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】，
，
设，
，
又因为lnx的定义域为，
，
故为.
【分析】首先对y进行求导，利用导数求函数的单调减区间，结合对数函数本身的定义域，得到最后的减区间.
15．【答案】0
【知识点】用斜率判定两直线平行；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】由题意可知，双曲线的离心率，且，
，
，
，
渐近线为，
，
，
，
，
故m所有可能取的值之和为0.
【分析】首先根据双曲线中离心率得到a、c关系，再根据，得到a、b、c的值，求出渐近线方程，再将直线方程化简为一般式，由平行可知斜率相等，求出m所有值.
16．【答案】(-2，0)
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数图象与性质的综合应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为，则或，
的图象如图所示，
根据题意和函数图象可知，有两个根，则有3个根，
结合图象可知，要使方程有3个根，则有，所以.
故答案为：．
【分析】根据题意可知方程有两个根，则有3个根，然后作出分段函数的大致图象，利用数形结合即可求解.
17．【答案】（1）解：，，
由，
因为是函数的两个极值点，
可知，
，解得；经检验符合题意
（2）解：，
令可得：；令可得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
列表如下：
0 1 3
0
1 单调递减 极小值 单调递增 10
在区间上的最大值为，最小值为
在区间上的值域为．
【知识点】简单复合函数求导法则；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 由题意知，f(x)存在极值点，对f(x)进行求导，再对求导后的函数解析式，结合韦达定理，得到和值.
(2) 由(1)中的一次导数，求出单调递增区间和单调递减区间，得到f(x)的极值点，结合单调性求出最两个值.
18．【答案】（1）解：，，
，，，
则，
有很强的相关性；
（2）解：，
，
关于x的线性回归方程为：，
当时，．
【知识点】线性回归方程；相关系数
【解析】【分析】 (1)根据公式求出相关系数r，即可得出结论；
(2)利用最小二乘法求出回归方程，再令，即可得解.
19．【答案】（1）证明：在中，，可得，
所以为直角三角形且，
又因为底面是矩形，则，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：因为底面是矩形，且，可得，
又因为分别为的中点，所以，
动点在线段上移动，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
即点到平面的距离的一半，
由（1）知平面平面，且，
取的中点，连接，可得，且，
又因为平面平面，且平面，所以平面，
所以.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1)由，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面QAD，进而证得平面平面ABCD；
(2)根据题意得到动点P在线段EF上移动，等于点Q到平面ABC的距离的一半，取AD的中点H，得到，且，结合，即可求解.
20．【答案】（1）解：由题意可知，可得，，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：设直线的方程为，
因为直线与圆相切，且该圆的圆心为原点，半径为，
则，得，
联立得，
则，
设、，则，
所以，，
，
因为的取值范围是，即，
整理可得，又因为，所以，，解得，
因此，的取值范围是.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C的方程；
(2)设直线l的方程为，利用直线与圆相切可得出，然后将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式以及已知条件可得出关于k的不等式，即可解得k的取值范围.
21．【答案】（1）怎么：当，函数，可得，
所以函数在单调递增，
所以，所以当时，恒成立.
（2）解：由，可得，所以，解得，
因为，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在区间单调递减，在区间单调递增，
又因为，可得，
所以函数在区间上的值域为.
（3）解：由题意有两个不同的零点，
即有两个不同的零点，即有两个不同的零点，
设，可得，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当，当，，
要使有两个不同的交点，可得，
所以实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)当，求得，结合，即可得证；
(2)由，求得，得到，求得函数的单调性，结合的值，即可求解.
(3)根据题意转化为有两个不同的零点，设，求得，得出函数的单调性，进而求得实数a的取值范围.
22．【答案】（1）解：由圆的参数方程（为参数）得：
，
根据，
则圆的极坐标方程为：
（2）解：把直线l的参数方程代入圆的方程得，
设A，B两点对应的参数分别为，
则，，
．
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程；直线的参数方程；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）根据参数坐标与直角坐标转换，得到圆的标准方程，再根据直角坐标与极坐标转换，得到圆的极坐标方程.
（2）将直线的参数方程代入圆的方程，得到t的方程，利用韦达定理，得到两根之和与两根之积，代入得到的值．
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四川省成都市蓉城名校2022-2023学年高二下学期期末联考文科数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】，
，
，
所以集合.
，
，
所以集合，
.
故选：A.
【分析】先通过一元二次不等式求出集合A，根据对数函数的定义域求出集合B，再求出集合A和集合B的交集.
2．成都大运会某志愿者服务小队由四川大学25名学生和电子科技大学15名学生组成，现用分层抽样的方法从上述所有学生中抽取16名学生进行应急知识检测，则从四川大学学生中抽取的人数为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】由题意可知，四川大学人数占总人数的，
从中抽取16名同学，按照比例关系可知：（人）.
故答案为：A.
【分析】先求出四川大学人数占总人数的比例，再根据需要抽出的数量，将两者相乘，得到四川大学抽取的人数.
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】充分性：
，
，
，
故是的充分条件.
必要性：
，
，
，
或，
所以不一定能得到，
故是的不必要条件，
综上是的充分不必要条件.
故选：B.
【分析】先证明代入条件证明充分性，再通过因式分解证明必要性.
4．已知等边三角形ABC的边长为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
，
，
.
故选：B.
【分析】画图分析，得到向量之间的夹角，结合平面向量数量积的运算，求出最后值.
5．已知函数在点处的切线方程为，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】，
.
.
所以在点A处切线方程的斜率为1.
.
故选：C.
【分析】先对函数进行求导得到，再代入切点A坐标可得切线方程的斜率，即a的值.
6．已知正实数，满足，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】为正实数，且，
，
，
因此A选项正确.
，
，
，
因此B选项正确.
，
，
，
当m=n+1时，取“=”号，m=1，n=0.
又因为，不能取“=”，
.
因此C选项正确.
，
故选：D.
【分析】本题主要结合，四个常见的基本不等式，，对四个选项分别进行分析，求得变量范围，同时要注意取值范围.
7．若满足约束条件则的最大值是（ ）
A．5 B．10 C． D．20
【答案】D
【知识点】简单线性规划；圆方程的综合应用
【解析】【解答】由题意可知，
z表示以（0，0）为圆心的半径的平方.
下面对三个条件，两两组合，联立方程组，
，
交点A(1，2)，
，
交点B(3，1)，
，
交点C(2，4)，
由此可知最大值为（0，0）到C(2，4)的距离的平方，
因此，
故选：D.
【分析】首先根据表达式，可知z表示以（0，0）为圆心的半径的平方，再由约束条件的形成的可行域，得到三个交点，得到z最大值.
8．已知函数，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【知识点】函数的周期性；指数函数综合题
【解析】【解答】当x=-2时，，
，
当x=-2时，，
，
，
，
故选：C.
【分析】首先根据分段函数的解析式，可知时，f(x)是周期函数，求出f(-2)的值，再根据时，指数函数表达式，求出f(f(-2))值.
9．已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇函数；偶函数；奇偶函数图象的对称性；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由图可知，函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，
对B：函数且定义域为，所以为奇函数，不符合题意，故B错误；
对D：函数且定义域为，所以为奇函数，不符合题意，故D错误；
对C：函数，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的极值点为和1，这与图象不符，不符合题意，故C错误；
故答案为：A.
【分析】根据图象得到函数为偶函数，结合选项可排除B、D项，再由函数的极值点，排除C项，即可求解.
10．设经过点的动直线与抛物线交于不同的两点，点是直线上的一动点，则为（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上均可能
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设，
则，
直线l与抛物线联立可得：，
则，
所以为锐角.
故答案为：A．
【分析】设动直线，将直线方程与抛物线方程联立可得，利用韦达定理和平面向量的数量积即可求解.
11．在三棱锥中，底面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】外接球表面积为，
，
，
底面ABC，
，
，
平面PAC，
，
是直角三角形，
是直角三角形PCB和直角三角形PAB的公共斜边，
是外接球的直径，
，
在中，，
，
.
故选：C.
【分析】首先根据外接球的表面积公式，求出球半径，再根据空间几何性质，证明PB是两个直角三角形的共同斜边，得到球直径，然后根据勾股定理，求出PA，AC，最后求出BC.
12．已知双曲线的左，右焦点分别为，右支上一点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设，则，即，
渐近线方程为，即，
则P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为：，，
因为，则，
可得，即，
又由，可得，所以，
所以双曲线C的渐近线方程为.
故答案为：D．
【分析】求得双曲线的渐近线方程，求得点P到双曲线C的两条渐近线的距离，根据题意化简得到，结合，求得，即可求解.
二、填空题
13．若复数满足，则 ．
【答案】-1
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
，
，
，
，
，
故值为-1.
【分析】代入复数z的表达式，将z与1-i进行相乘，根据等式的性质，一一对应可知a、b之间关系的方程组，求出a、b值，故得.
14．函数的单调递减区间为 ．
【答案】
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】，
，
设，
，
又因为lnx的定义域为，
，
故为.
【分析】首先对y进行求导，利用导数求函数的单调减区间，结合对数函数本身的定义域，得到最后的减区间.
15．已知直线与离心率为的双曲线的一条渐近线平行，则所有可能取的值之和为 ．
【答案】0
【知识点】用斜率判定两直线平行；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】由题意可知，双曲线的离心率，且，
，
，
，
渐近线为，
，
，
，
，
故m所有可能取的值之和为0.
【分析】首先根据双曲线中离心率得到a、c关系，再根据，得到a、b、c的值，求出渐近线方程，再将直线方程化简为一般式，由平行可知斜率相等，求出m所有值.
16．已知，若关于的方程有五个相异的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】(-2，0)
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数图象与性质的综合应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为，则或，
的图象如图所示，
根据题意和函数图象可知，有两个根，则有3个根，
结合图象可知，要使方程有3个根，则有，所以.
故答案为：．
【分析】根据题意可知方程有两个根，则有3个根，然后作出分段函数的大致图象，利用数形结合即可求解.
三、解答题
17．设是函数的两个极值点，且．
（1）求的值；
（2）求在区间上的值域．
【答案】（1）解：，，
由，
因为是函数的两个极值点，
可知，
，解得；经检验符合题意
（2）解：，
令可得：；令可得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
列表如下：
0 1 3
0
1 单调递减 极小值 单调递增 10
在区间上的最大值为，最小值为
在区间上的值域为．
【知识点】简单复合函数求导法则；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 由题意知，f(x)存在极值点，对f(x)进行求导，再对求导后的函数解析式，结合韦达定理，得到和值.
(2) 由(1)中的一次导数，求出单调递增区间和单调递减区间，得到f(x)的极值点，结合单调性求出最两个值.
18．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日8月8日在成都市举行，全民运动成为新风尚．某体育用品店统计了2023年月份运动器材销量y（单位：千套）与售价x（单位：元）的情况，如下表所示：
月份 1 2 3 4 5
器材售价x（元） 100 90 80 70 60
销量y（千套） 5 7.5 8 9 10.5
（1）求的相关系数，并判断销量y与售价x是否有很强的线性相关性？（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）；
（2）请建立y关于x的线性回归方程（精确到0.001），并估计当该器材的售价为50元时销量为多少千套？
参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，参考数据：．
【答案】（1）解：，，
，，，
则，
有很强的相关性；
（2）解：，
，
关于x的线性回归方程为：，
当时，．
【知识点】线性回归方程；相关系数
【解析】【分析】 (1)根据公式求出相关系数r，即可得出结论；
(2)利用最小二乘法求出回归方程，再令，即可得解.
19．在四棱锥中，底面是矩形，若，．
（1）证明：平面平面；
（2）若分别是的中点，动点P在线段EF上移动，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明：在中，，可得，
所以为直角三角形且，
又因为底面是矩形，则，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：因为底面是矩形，且，可得，
又因为分别为的中点，所以，
动点在线段上移动，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
即点到平面的距离的一半，
由（1）知平面平面，且，
取的中点，连接，可得，且，
又因为平面平面，且平面，所以平面，
所以.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1)由，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面QAD，进而证得平面平面ABCD；
(2)根据题意得到动点P在线段EF上移动，等于点Q到平面ABC的距离的一半，取AD的中点H，得到，且，结合，即可求解.
20．已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为，上顶点为，的面积为，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线与圆相切，且与椭圆相交于、两点，若弦长的取值范围为，求斜率的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可知，可得，，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：设直线的方程为，
因为直线与圆相切，且该圆的圆心为原点，半径为，
则，得，
联立得，
则，
设、，则，
所以，，
，
因为的取值范围是，即，
整理可得，又因为，所以，，解得，
因此，的取值范围是.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C的方程；
(2)设直线l的方程为，利用直线与圆相切可得出，然后将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式以及已知条件可得出关于k的不等式，即可解得k的取值范围.
21．已知函数，，．
（1）当时，证明：时，恒成立；
（2）若在处的切线与y=-x+1垂直，求函数在区间上的值域；
（3）若方程有两个不同的根，求实数的取值范围．
【答案】（1）怎么：当，函数，可得，
所以函数在单调递增，
所以，所以当时，恒成立.
（2）解：由，可得，所以，解得，
因为，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在区间单调递减，在区间单调递增，
又因为，可得，
所以函数在区间上的值域为.
（3）解：由题意有两个不同的零点，
即有两个不同的零点，即有两个不同的零点，
设，可得，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当，当，，
要使有两个不同的交点，可得，
所以实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)当，求得，结合，即可得证；
(2)由，求得，得到，求得函数的单调性，结合的值，即可求解.
(3)根据题意转化为有两个不同的零点，设，求得，得出函数的单调性，进而求得实数a的取值范围.
22．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
（2）若点，直线l与圆相交于两点，求的值．
【答案】（1）解：由圆的参数方程（为参数）得：
，
根据，
则圆的极坐标方程为：
（2）解：把直线l的参数方程代入圆的方程得，
设A，B两点对应的参数分别为，
则，，
．
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程；直线的参数方程；圆的参数方程
【解析】【分析】（1）根据参数坐标与直角坐标转换，得到圆的标准方程，再根据直角坐标与极坐标转换，得到圆的极坐标方程.
（2）将直线的参数方程代入圆的方程，得到t的方程，利用韦达定理，得到两根之和与两根之积，代入得到的值．
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