1.1.1空间向量及其线性运算 课件（共20张ppt）

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第一章 空间向量与立体几何
1.1.1空间向量及其线性运算
数学·选择性必修第一册
想象一个滑翔伞运动的场景，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，如绳索的拉力、风力、重力等，这些力在同一平面内吗？
我们知道，力
是既有大小又
有方向的量，
在数学上，
我们把这些
力称为什么？
情景导入
生活中的“空间向量”
新知1：空间向量及相关概念
1、空间向量的定义及表示
（1）定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.
（2）长度或模：空间向量的大小叫做空间向量的模(长度)，
记作：||,||,…
（3）几何表示：用有向线段表示 ；符号表示：,…
2、几类常见的空间向量
零向量：长度为0的向量，记作. 单位向量：模为1的向量.
相反向量：长度相等且方向相反的向量. 的相反向量是-；的相反向量是
共线（平行）向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.
新知探究
任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量.所以，任意两个空间向量的运算可以转化为平面向量的运算.
相等向量：方向相同且模相等的向量.同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
新知2：空间向量的线性运算
加法： (三角形法则，首尾接)
(平行四边形法则，同起点)
减法： (三角形法则，同起点/指向被减向量)
数乘： (结果仍是一个向量)
交换律： 结合律：
分配律：
例1 (多选题)下列说法正确的是(　　)
A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量
B.零向量没有方向
C.若a是单位向量,则|a|=1
D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则一定有m=p
解析 单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必有|a|=1,即选项C正确;
由向量相等的定义,知m与p方向相同,模相等,故一定有m=p,选项D正确.
CD
典型例题
练习1 给出下列说法：
①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间向量 满足 ，则 ；
③若向量m,n,p满足m=n,n=p,则一定有m=p；
④空间中任意两个单位向量必相等；
⑤在如图1所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有 ；
⑥如图2所示，平行六面体ABCD-A‘B‘C‘D‘的所有棱对应的向量中，与
相等的向量有3个.
其中正确的是 .（填序号）
③⑤⑥
例2 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式：① ② ③ .
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
练习2 （1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量 的是（ ）
A. B.
C. D.
CD
（2）如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设 ＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1) ；(2) ；(3) ＋.
解：(1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋
＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3) ＝ ＋ ＝ ＋ －a＋ （a+b+c)＝a＋b＋c，
＝＋＝＋＝＋＝c＋a，
所以＋＝(a＋b＋c)＋(c＋a)＝a＋b＋c.
新知3：共线向量及其判断
共线(平行)向量：(定义1)若干有向线段所在直线互相平行或重合的空间向量；
(定义2)若干方向相同或相反的空间向量；
向量共线的充要条件：对于任意两个空间向量 ，
①作用：判定两个向量是否共线(找λ).
②推论：判定三点是否共线(同起点且系数和为1;或转化为向量共线).
新知探究
新知4：直线的方向向量
注：一条直线有无数个方向向量，它们互为共线向量。
O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，
则对于直线上任意一点P，由向量共线的充要条件知，，
故把与平行的非零向量称为直线l的方向向量。
直线l可以由其上一点和它的方向向量确定.
例3
4或-1
练习3 （1）设 是空间两个不共线的向量，已知 ，
, ，且A，B，D三点共线，实数k= .
（2）
1
（2）
新知5：共面向量的定义
向量与平面平行：若表示向量的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，则称向量平行于平面α.
共面向量：平行于同一个平面的向量.
②任意两个空间向量必共面.
③任意三个空间向量可能共面，也可能不共面.
注：①共面向量所在直线可能平行、重合、相交或异面.
新知探究
回顾平面向量基本定理：
共面
思考：什么情况下三个空间向量共面？
可平移到同一平面内
新知探究
新知6：向量共面的判定
向量共面的充要条件：
作用: 判定三个向量是否共面(找x,y).
推论: 判定四点是否共面(同起点/系数和为1，或转化为三个向量共面).
例4 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点О作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使.求证：E，F，G，H四点共面.
证明：因为，
所以,
因为四边形ABCD是平行四边形，所以
过同一点 ，从而 , , , 四点共面.
O
A
B
C
D
E
F
G
H
分析:欲证E,F,G,H四点共面，只需证明共面．而由已知共面，可以利用向量运算由共面的表达式推得共面的表达式.
练习3 （1）（多选题）对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，能得到P,A,B,C四点共面的是（ ）
A. B.
C. D.
BC
（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN：NC=2，求证：A1，B，N，M四点共面.
课堂小结：
1、空间向量的基本概念
2、空间向量的运算及运算律
3 、共线向量（平行向量）的概念及空间向量共线的充要条件
4、共面向量的概念及向量共面的充要条件