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上海市杨浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、填空题
1．（2019·浦东模拟）抛物线 的焦点坐标是 ．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 的焦点在 轴上，且 ，所以抛物线 的焦点坐标为 ，故答案为 .
【分析】根据抛物线的方程直接写出焦点坐标即可.
2． 抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，得点数的概率是 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意知， 抛掷一颗质地均匀的正方体骰子有6种试验结果，点数为1，2，3，4，5，6，
根据古典概型计算公式， 得点数的概率为.
故答案为：
【分析】根据古典概型公式计算。
3． 半径为1厘米的球的表面积为 平方厘米.
【答案】4π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】 由题得球的表面积。
故答案为：4π
【分析】利用球的表面积公式直接计算。
4． 如图，正方体中，异面直线与所成角的大小是 .
【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】连接，如图
，异面直线与所成角即为直线与所成角，
为正方体，.
故答案为：
【分析】连接， 由得异面直线与所成角即为直线与所成角.
5．（2020高二上·娄底期中）双曲线 的渐近线方程为 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据双曲线的方程得
则其渐近线方程为
故答案为：
【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出a，b的值，进而求出双曲线的渐近线方程。
6． 以为圆心，且经过的圆的方程是 .
【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由题意设圆 ：，
圆 经过 ，
，
圆 方程为：。
故答案为：
【分析】已知圆心设圆的标准方程代入 求出圆的方程。
7． 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是 .
【答案】0.10
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“射手命中圆面Ⅱ ”为事件B，“射手命中圆面Ⅲ”为事件C，则，，，
命中靶的概率是，
不命中靶的概率是.
故答案为：
【分析】利用对立事件求不命中靶的概率 。
8． “若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是 命题（填“真”或“假”）.
【答案】假
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】若直线平面，直线在平面上，则直线直线或直线与直线异面。
故答案为：假
【分析】利用空间直线和平面位置关系判断。
9． 已知一个圆锥的体积为，高为3，则该圆锥的母线与底面所成角的大小是 .
【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】设圆锥高为，底面半径为 ， 母线 为，
圆锥的体积，
解得，，
圆锥的母线与底面所成角.
故答案为：
【分析】结合圆锥的体积公式画出图形分析.
10．已知与是独立事件，，给出下列式子：①；②；③；④；
其中正确的式子是 .（填序号）
【答案】①②④
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】 与是独立事件， ，
，，①正确；
，②正确；
，③错误；
，④正确；
故答案为：①②④
【分析】利用对立事件判断①，利用独立事件的乘法公式判断②③④。
11． 如图，正三棱柱的各条棱长都相等，线段、和是该正三棱柱的三条面对角线，直线与这三条面对角线所在直线所成的角大小相同，则这个角的大小是 （写出所有可能的值）.
【答案】或
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】设正三棱柱棱长为2，取中点为原点，以为轴，以为轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，如图
则，，，，，，
，，，
设直线的方向向量为， 直线与直线，，所成的角大小为 ，
由题意得，，
即，
由，得或，
当时，得或，当时，令，则，，，当时，令，则，，，
当时，得或，令，则或，，.
故答案为：或
【分析】取中点，连接，以为原点，为轴，为轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量来计算.
12．已知数列，，，...，的各项均为正整数，其中，对于每个正整数，为相同的正整数，则的值是 .
【答案】4900
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式
【解析】【解答】设 ，，则，
设 ，则是以为首项，为公差的等差数列，
，
的前项和，即，，
又，，求得，，
，，即，，
，
.
故答案为：
【分析】构造等差数列，利用累积法分析求解。
二、单选题
13． 在长方体中，与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】向量相等定义可知： 在长方体中，与相等的向量有，，，
故答案为：C
【分析】根据向量相等定义判断。
14． 如图，已知球的半径为5，球心到平面的距离为3，则平面截球所得的小圆的半径长是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【知识点】球面距离及相关计算
【解析】【解答】设为 平面截球所得的小圆 上一点，连接，，，
则，， 小圆的半径长为，
，解得。
故答案为：D
【分析】根据球的几何性质利用勾股定理计算。
15． 下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥.
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用；棱锥的结构特征
【解析】【解答】正棱锥的定义： （1）底面是正多边形的棱锥是正棱锥；（2）侧面是全等的等腰三角形。
对于①不满足（2）；对于②③不满足（1）.
故答案为：A
【分析】根据正棱锥的定义判断命题。
16． 小李购买了一盒点心，点心盒是长方体，长、宽、高分别为30厘米、20厘米和10厘米，商家提供丝带捆扎服务，有如图所示两种捆扎方案（粗线表示丝带）可供选择，免去手工费，但丝带需要按使用长度进行收费.假设丝带紧贴点心盒表面，且不计算丝带宽度以及重叠粘合打结的部分.为了节约成本，小李打算选择尽可能使用丝带较短的方案，则小李需要购买的丝带长度至少是（ ）
A．80厘米 B．100厘米 C．120厘米 D．140厘米
【答案】B
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】方案一：丝带从上点出发，沿着点心盒各个表面绕一圈回到，
沿着丝带绕行方向将点心盒展开，则线段为最段路径，
易知，
方案一丝带最短长度为厘米，
方案二：
所需丝带长度为图中正面和侧面两个矩形周长和为，
综上所述小李需要购买的丝带长度至少是厘米。
故答案为：B
【分析】分别求出方案一将点心盒的各个面展开求所需丝带长度，方案二根据点心盒是长、宽、高直接求解所需丝带长度，进行比较即可。
三、解答题
17． 设等比数列的前项和为，已知，.
（1）求公比的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：由题意可得，，所以公比.
（2）解：由题意可得，，则.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等比数列性质利用，求公比；
（2）先求首项，再利用等比数列求和公式求 的值.
18． 已知，直线，直线.
（1）若，求与之间的距离；
（2）若与的夹角大小为，求直线的方程.
【答案】（1）解：因为，所以，
与之间的距离
（2）解：设直线的一个法向量为，
直线的一个法向量为，
因为与的夹角大小为，
所以，解得或，
因此直线的方程为或.
【知识点】平面内两条平行直线间的距离；平面内两直线的夹角与到角问题
【解析】【分析】（1）利用平行直线间距离公式直接计算；
（2）通过直线 与 的法向量其夹角 ，求直线的方程.
19． 某校高二年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人.为了了解全年级学生上学花费时间（分）的信息，按照分层抽样的原则抽取了样本，样本容量为20，并根据样本数据信息绘制了茎叶图和频率分布直方图.由于保存不当，茎叶图中有一个数据不小心被污染看不清了（如图），频率分布直方图纵轴上的数据也遗失了.
（1）根据茎叶图提供的有限信息，求频率分布直方图中和的值，指出样本的“中位数、平均数、众数、方差、极差”中，哪些已经能确定，并计算它们的值；
（2）通过对样本原始数据的计算，得到男生上学花费时间的样本均值为30（分），女生的样本均值为27.75（分），试计算被污染的数值，并根据样本估计该年级全体学生上学花费时间的“中位数、平均数、方差”.
【答案】（1）解：根据直方图可以看出，组距为，的频数为1，频率为，，
的频数为，频率为，
涂抹的数不确定大小，因此不能确定中位数
众数和极差可以确定，
无论被涂抹的数字是多少，不影响众数为，
极差为
（2）解：
被污染的数值为，
样本平均数，
于是样本方差
由于涂抹的数字是，故可以确定第个数是，则中位数为
于是可估计该年级全体学生上学花费时间的中位数为，平均数为，方差为.
【知识点】频率分布直方图；茎叶图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）结合茎叶图和直方图组距求出 和的值， 利用”中位数、平均数、众数、方差、极差“的定义判断其值是否可以确定，并求解 ；
（2）先根据男女平均数算出被污染的数据，利用两组数的平均值求合成后的平均值，然后由方差公式计算方差。
20． 如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与，均不重合）.
（1）当点是棱的中点时，求证：直线平面；
（2）当时，求点到平面的距离；
（3）当平面将正四棱柱分割成体积之比为的两个部分时，求线段的长度.
【答案】（1）解：证法一：因为是棱的中点，
所以，
，，
由勾股定理，得，同理可得，，
又，、平面，
所以直线平面；
法二：如图，以为原点，，，的方向为轴的正方向，
建立空间直角坐标系.得，
，
由，，得，，
又，、平面，
所以直线平面.
（2）解：如图，以为原点，，，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.
得，，
设点，则，
由，即，得，
得，设平面的法向量为，
由，得，，
可取，得，
从而得到平面的一个法向量是，因为，
所以点到平面的距离为.
（3）解：作平行于，交于点，连接，得截面，
连接，设线段的长为
由得，，
可得，
又由，可得，
由题意，整理的，解得，
所以线段的长度为.
另解：连接并延长，交的延长线于点，连接，交于点，连接，
得截面，因为平面平行于三棱锥的底面，
得棱台，
设线段的长度为，线段长度为.则，得，
，
，
由题意，，
所以，整理得，
由函数和图像可知，点是两个函数图象的一个交点，
即是方程的一个解，
因式分解，可得，得或或，
由，得，即.
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；直线与平面垂直的判定；空间向量垂直的坐标表示；向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【分析】（1）法一：利用勾股定理证明和得到直线平面；
法二：以为原点，，，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明直线方向向量垂直平面两相交直线的方向向量即可；
（2）以为原点，，，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即可；
（3）法一：作平行于，交于点，连接，得截面，连接，利用，求长；
法二：连接并延长，交的延长线于点，连接，交于点，连接，得截面， 利用 求长。
21． 如图，已知点是椭圆上的一点，顶点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线交椭圆于两点（与不重合），若直线与直线的斜率之和为2，直线是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
（3）点、点是椭圆上的两个点，圆是的内切圆，过椭圆的顶点作圆的两条切线，分别交椭圆于点和点，判断直线与圆的位置关系并证明.
【答案】（1）解：由题意可知，，将代入，
得，，
所以离心率.
（2）解：当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
直线的方程为，
整理得，
由不重合，可知，得①，
，整理得
因为，所以②，
由①②等价，得
整理得
可得直线与直线的斜率之和为，
整理得，直线的方程为，
即，直线过定点
当直线垂直于轴时，由椭圆的对称性可知，
，，得，
直线的方程为，直线也过定点，
综上所述，直线过定点.
（3）解：直线与圆相切，
证明：如图，设圆半径为，圆心，
即，则点，由相似三角形可知.
，整理得，
由得，
所以，整理得，
由，得，解得或（舍）
，设点，
直线的方程为，整理得，
由直线与圆相切，得，
整理得，
由，代入得，
因为，所以，整理得，
同理可得，即点满足，
所以直线的方程为，
圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由题意得，代入求，再利用，离心率求解；
（2）分直线不垂直于轴和垂直于轴讨论，设直线方程与椭圆联立，利用韦达定理化简证明。
（3）设圆半径为，圆心，由相似三角形可得，求得，设点由两点式设直线方程，利用点到直线距离公式证明。
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上海市杨浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、填空题
1．（2019·浦东模拟）抛物线 的焦点坐标是 ．
2． 抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，得点数的概率是 .
3． 半径为1厘米的球的表面积为 平方厘米.
4． 如图，正方体中，异面直线与所成角的大小是 .
5．（2020高二上·娄底期中）双曲线 的渐近线方程为 .
6． 以为圆心，且经过的圆的方程是 .
7． 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是 .
8． “若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是 命题（填“真”或“假”）.
9． 已知一个圆锥的体积为，高为3，则该圆锥的母线与底面所成角的大小是 .
10．已知与是独立事件，，给出下列式子：①；②；③；④；
其中正确的式子是 .（填序号）
11． 如图，正三棱柱的各条棱长都相等，线段、和是该正三棱柱的三条面对角线，直线与这三条面对角线所在直线所成的角大小相同，则这个角的大小是 （写出所有可能的值）.
12．已知数列，，，...，的各项均为正整数，其中，对于每个正整数，为相同的正整数，则的值是 .
二、单选题
13． 在长方体中，与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
14． 如图，已知球的半径为5，球心到平面的距离为3，则平面截球所得的小圆的半径长是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
15． 下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥.
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16． 小李购买了一盒点心，点心盒是长方体，长、宽、高分别为30厘米、20厘米和10厘米，商家提供丝带捆扎服务，有如图所示两种捆扎方案（粗线表示丝带）可供选择，免去手工费，但丝带需要按使用长度进行收费.假设丝带紧贴点心盒表面，且不计算丝带宽度以及重叠粘合打结的部分.为了节约成本，小李打算选择尽可能使用丝带较短的方案，则小李需要购买的丝带长度至少是（ ）
A．80厘米 B．100厘米 C．120厘米 D．140厘米
三、解答题
17． 设等比数列的前项和为，已知，.
（1）求公比的值；
（2）求的值.
18． 已知，直线，直线.
（1）若，求与之间的距离；
（2）若与的夹角大小为，求直线的方程.
19． 某校高二年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人.为了了解全年级学生上学花费时间（分）的信息，按照分层抽样的原则抽取了样本，样本容量为20，并根据样本数据信息绘制了茎叶图和频率分布直方图.由于保存不当，茎叶图中有一个数据不小心被污染看不清了（如图），频率分布直方图纵轴上的数据也遗失了.
（1）根据茎叶图提供的有限信息，求频率分布直方图中和的值，指出样本的“中位数、平均数、众数、方差、极差”中，哪些已经能确定，并计算它们的值；
（2）通过对样本原始数据的计算，得到男生上学花费时间的样本均值为30（分），女生的样本均值为27.75（分），试计算被污染的数值，并根据样本估计该年级全体学生上学花费时间的“中位数、平均数、方差”.
20． 如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与，均不重合）.
（1）当点是棱的中点时，求证：直线平面；
（2）当时，求点到平面的距离；
（3）当平面将正四棱柱分割成体积之比为的两个部分时，求线段的长度.
21． 如图，已知点是椭圆上的一点，顶点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线交椭圆于两点（与不重合），若直线与直线的斜率之和为2，直线是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
（3）点、点是椭圆上的两个点，圆是的内切圆，过椭圆的顶点作圆的两条切线，分别交椭圆于点和点，判断直线与圆的位置关系并证明.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 的焦点在 轴上，且 ，所以抛物线 的焦点坐标为 ，故答案为 .
【分析】根据抛物线的方程直接写出焦点坐标即可.
2．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意知， 抛掷一颗质地均匀的正方体骰子有6种试验结果，点数为1，2，3，4，5，6，
根据古典概型计算公式， 得点数的概率为.
故答案为：
【分析】根据古典概型公式计算。
3．【答案】4π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】 由题得球的表面积。
故答案为：4π
【分析】利用球的表面积公式直接计算。
4．【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】连接，如图
，异面直线与所成角即为直线与所成角，
为正方体，.
故答案为：
【分析】连接， 由得异面直线与所成角即为直线与所成角.
5．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】根据双曲线的方程得
则其渐近线方程为
故答案为：
【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程确定焦点的位置，进而求出a，b的值，进而求出双曲线的渐近线方程。
6．【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由题意设圆 ：，
圆 经过 ，
，
圆 方程为：。
故答案为：
【分析】已知圆心设圆的标准方程代入 求出圆的方程。
7．【答案】0.10
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“射手命中圆面Ⅱ ”为事件B，“射手命中圆面Ⅲ”为事件C，则，，，
命中靶的概率是，
不命中靶的概率是.
故答案为：
【分析】利用对立事件求不命中靶的概率 。
8．【答案】假
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】若直线平面，直线在平面上，则直线直线或直线与直线异面。
故答案为：假
【分析】利用空间直线和平面位置关系判断。
9．【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】设圆锥高为，底面半径为 ， 母线 为，
圆锥的体积，
解得，，
圆锥的母线与底面所成角.
故答案为：
【分析】结合圆锥的体积公式画出图形分析.
10．【答案】①②④
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】 与是独立事件， ，
，，①正确；
，②正确；
，③错误；
，④正确；
故答案为：①②④
【分析】利用对立事件判断①，利用独立事件的乘法公式判断②③④。
11．【答案】或
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】设正三棱柱棱长为2，取中点为原点，以为轴，以为轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，如图
则，，，，，，
，，，
设直线的方向向量为， 直线与直线，，所成的角大小为 ，
由题意得，，
即，
由，得或，
当时，得或，当时，令，则，，，当时，令，则，，，
当时，得或，令，则或，，.
故答案为：或
【分析】取中点，连接，以为原点，为轴，为轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量来计算.
12．【答案】4900
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式
【解析】【解答】设 ，，则，
设 ，则是以为首项，为公差的等差数列，
，
的前项和，即，，
又，，求得，，
，，即，，
，
.
故答案为：
【分析】构造等差数列，利用累积法分析求解。
13．【答案】C
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】向量相等定义可知： 在长方体中，与相等的向量有，，，
故答案为：C
【分析】根据向量相等定义判断。
14．【答案】D
【知识点】球面距离及相关计算
【解析】【解答】设为 平面截球所得的小圆 上一点，连接，，，
则，， 小圆的半径长为，
，解得。
故答案为：D
【分析】根据球的几何性质利用勾股定理计算。
15．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用；棱锥的结构特征
【解析】【解答】正棱锥的定义： （1）底面是正多边形的棱锥是正棱锥；（2）侧面是全等的等腰三角形。
对于①不满足（2）；对于②③不满足（1）.
故答案为：A
【分析】根据正棱锥的定义判断命题。
16．【答案】B
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】方案一：丝带从上点出发，沿着点心盒各个表面绕一圈回到，
沿着丝带绕行方向将点心盒展开，则线段为最段路径，
易知，
方案一丝带最短长度为厘米，
方案二：
所需丝带长度为图中正面和侧面两个矩形周长和为，
综上所述小李需要购买的丝带长度至少是厘米。
故答案为：B
【分析】分别求出方案一将点心盒的各个面展开求所需丝带长度，方案二根据点心盒是长、宽、高直接求解所需丝带长度，进行比较即可。
17．【答案】（1）解：由题意可得，，所以公比.
（2）解：由题意可得，，则.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等比数列性质利用，求公比；
（2）先求首项，再利用等比数列求和公式求 的值.
18．【答案】（1）解：因为，所以，
与之间的距离
（2）解：设直线的一个法向量为，
直线的一个法向量为，
因为与的夹角大小为，
所以，解得或，
因此直线的方程为或.
【知识点】平面内两条平行直线间的距离；平面内两直线的夹角与到角问题
【解析】【分析】（1）利用平行直线间距离公式直接计算；
（2）通过直线 与 的法向量其夹角 ，求直线的方程.
19．【答案】（1）解：根据直方图可以看出，组距为，的频数为1，频率为，，
的频数为，频率为，
涂抹的数不确定大小，因此不能确定中位数
众数和极差可以确定，
无论被涂抹的数字是多少，不影响众数为，
极差为
（2）解：
被污染的数值为，
样本平均数，
于是样本方差
由于涂抹的数字是，故可以确定第个数是，则中位数为
于是可估计该年级全体学生上学花费时间的中位数为，平均数为，方差为.
【知识点】频率分布直方图；茎叶图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）结合茎叶图和直方图组距求出 和的值， 利用”中位数、平均数、众数、方差、极差“的定义判断其值是否可以确定，并求解 ；
（2）先根据男女平均数算出被污染的数据，利用两组数的平均值求合成后的平均值，然后由方差公式计算方差。
20．【答案】（1）解：证法一：因为是棱的中点，
所以，
，，
由勾股定理，得，同理可得，，
又，、平面，
所以直线平面；
法二：如图，以为原点，，，的方向为轴的正方向，
建立空间直角坐标系.得，
，
由，，得，，
又，、平面，
所以直线平面.
（2）解：如图，以为原点，，，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.
得，，
设点，则，
由，即，得，
得，设平面的法向量为，
由，得，，
可取，得，
从而得到平面的一个法向量是，因为，
所以点到平面的距离为.
（3）解：作平行于，交于点，连接，得截面，
连接，设线段的长为
由得，，
可得，
又由，可得，
由题意，整理的，解得，
所以线段的长度为.
另解：连接并延长，交的延长线于点，连接，交于点，连接，
得截面，因为平面平行于三棱锥的底面，
得棱台，
设线段的长度为，线段长度为.则，得，
，
，
由题意，，
所以，整理得，
由函数和图像可知，点是两个函数图象的一个交点，
即是方程的一个解，
因式分解，可得，得或或，
由，得，即.
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；直线与平面垂直的判定；空间向量垂直的坐标表示；向量方法证明线、面的位置关系定理
【解析】【分析】（1）法一：利用勾股定理证明和得到直线平面；
法二：以为原点，，，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明直线方向向量垂直平面两相交直线的方向向量即可；
（2）以为原点，，，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即可；
（3）法一：作平行于，交于点，连接，得截面，连接，利用，求长；
法二：连接并延长，交的延长线于点，连接，交于点，连接，得截面， 利用 求长。
21．【答案】（1）解：由题意可知，，将代入，
得，，
所以离心率.
（2）解：当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
直线的方程为，
整理得，
由不重合，可知，得①，
，整理得
因为，所以②，
由①②等价，得
整理得
可得直线与直线的斜率之和为，
整理得，直线的方程为，
即，直线过定点
当直线垂直于轴时，由椭圆的对称性可知，
，，得，
直线的方程为，直线也过定点，
综上所述，直线过定点.
（3）解：直线与圆相切，
证明：如图，设圆半径为，圆心，
即，则点，由相似三角形可知.
，整理得，
由得，
所以，整理得，
由，得，解得或（舍）
，设点，
直线的方程为，整理得，
由直线与圆相切，得，
整理得，
由，代入得，
因为，所以，整理得，
同理可得，即点满足，
所以直线的方程为，
圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由题意得，代入求，再利用，离心率求解；
（2）分直线不垂直于轴和垂直于轴讨论，设直线方程与椭圆联立，利用韦达定理化简证明。
（3）设圆半径为，圆心，由相似三角形可得，求得，设点由两点式设直线方程，利用点到直线距离公式证明。
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