人教版高中数学必修第二册第六章 平面向量及其应用 单元检测（含解析）

第六章平面向量及其应用单元检测
范围：必修二课本第六章全部内容（P1-P66)
(本试卷共14道题，满分100分，考试时间45分钟）
单选题（每题6分，共36分）
1.下列命题中正确的是（ ）
A. 若、都是单位向量，则 ＝
B. 若=, 则A、B、C、D四点构成平行四边形
C. 若∥，且∥，则∥
D. 与是两平行向量
2.已知平面上不共线的四点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．设，向量，，，且，则＝(　)
A.　　 B. C．2 D．10
4．已知向量与的夹角为120°，||＝3，|＋|＝，则|| 等于 (　　)．
A．5 B．3 C．4 D．1
5.设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝
A.　　 　B. C.　　 　D.
6.在中，，b=1，其面积为，则三角形外接圆的直径等于（ ）
A. B. C. D.
多选题（每题6分，共12分）
7.在直角坐标系xOy中，＝(2,1)，＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值是(　　)
A．1 B．-1 C．3 D．-6
8.下列命题中，正确的是（ ）
A在中，若，则
B.在锐角三角形ABC中，不等式恒成立
C.在中，若，则必是等腰直角三角形
D.在中，若，，则必是等边三角形
填空题（每题6分，共18分）
9.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．
10.在中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若，则实数m的值为________．
11.在中，AB=，AC=1，，则的面积等于________．
解答题（共34分）
12.（本小题10分）如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，＝，＝，＝.
(1)用，表示向量、、、、；
(2)求证：B、E、F三点共线．
13.（本小题12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量＝(a，b)，＝(sin B，sin A)，＝(b－2，a－2)．
(1)若，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
（本小题12分）在中角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，满足，试判断△ABC的形状。
第六章平面向量及其应用单元检测参考答案
单选题（每题6分，共36分）
1.解析：选项A中单位向量方向可以不同，故不一定成立；选项B中ABCD四点可能共线，不能组成四边形；选项C中当时，、为任意向量；选项D正确，相反向量是一对平行向量。故选D
2.解析：，，即，则，故．
故选A
3.解析：由题意可知解得故＋＝(3，－1)，|＋|＝.故选B
4.解析　向量与的夹角为120°，||＝3，|＋|＝，
则·＝||||·cos 120°＝－||，|＋|2＝||2＋2·＋||2.
所以13＝9－3||＋||2，则||＝－1(舍去)或||＝4.故选C
5.解析：由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，所以
cos C＝＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝.故选B
解析:
,
,故选B
二、多选题（每题6分，共12分）
7. 解析：.若∠A＝90°，则·＝6＋k＝0，k＝－6；若∠B＝90°，则·＝·(－)＝0，6＋k－5＝0，k＝－1；若∠C＝90°，则·＝·(－)＝0，k2－k＋3＝0无解．∴综上，k可能取－6，－1两个数．故选BD.
8.解析：本题考查正弦定理、余弦定理及三角形边角的关系。
对于选项A，在中，由正弦定理可得，所以,故A正确；
对于选项B，在锐角三角形ABC中，,且,则，所以故B正确；
对于选项C，在中，由，利用正弦定理可得，得到2A=2B或，故A=B或,即是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于选项D，在中，若，，由余弦定理可得，,所以即，解得a=c,又，所以必是等边三角形，故D正确。
故选ABD
三、填空题（每题6分，共18分）
9.解析：由题意知：·＝(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝
2－·－2＝4－0－2＝2.
10.解析：如图，因为，所以，，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，所以m＝.
11.解析：由正弦定理得，又，或，或，
四、解答题（共34分）
12.（本小题10分）解析：(1)延长AD到G，使＝，连结BG、CG，得到 ABGC，所以＝＋，＝＝(＋)，＝＝(＋)，
＝＝，＝－＝(＋)－＝(－2)，
＝－＝－＝(－2)．
(2)证明：由(1)可＝，有一个公共点B，所以B、E、F三点共线.
13.解析：(1)证明：∵，∴asin A＝bsin B.即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，故a＝b，即△ABC为等腰三角形．
(2)由题意可知·＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，
∴ab＝4(舍去ab＝－1)．故S＝absin C＝·4·sin＝.
14.解析：解法1 利用余弦定理将条件化为边之间的关系可得
，所以或，故△ABC是等腰或直角三角形.
解法2 利用正弦定理化为角的关系可得
，
所以，
即，
即，
所以，结合角的范围知或，即或，即或，可知△ABC为等腰或直角三角形.