中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
专题22.1.2 二次函数y=ax 的图象和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
抛物线顶点坐标为，
故选．
2．若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣1，4），则该图象必经过点（ ）
A．（1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣4，1） D．（4，﹣1）
【答案】A
【解析】∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣1，4），则该图象必经过点（1，4）．
故选A．
3．关于函数y＝x2的叙述，错误的是（ ）
A．图象的对称轴是y轴
B．图象的顶点是原点
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y有最大值
【答案】D
【解析】∵函数y＝x2的顶点在原点，
∴其对称轴是y轴，顶点是原点，故A、B正确；
∵函数y＝x2的开口向上，顶点是原点，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，y有最小值，故C正确，D错误．
故选D．
4．已知抛物线（）过，两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵抛物线
关于轴对称点的坐标为．
又
．
故选C．
5．抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是( )
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y的值随x的值增大而减小
【答案】B
【解析】抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是顶点坐标都是（0，0），对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，
故选B．
6．下列抛物线的图象，开口最大的是（ ）
A．yx2 B．y＝4x2 C．y＝﹣2x2 D．无法确定
【答案】A
【解析】∵二次函数中|a|的值越小，函数图象的开口越大，
又∵||＜|﹣2|＜|4|，
∴抛物线yx2的图象开口最大，
故选A．
7．已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大，
∴二次函数的图象开口向上，
∴a-1＞0，即：，
故选B．
8．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；
D符合题意；
故选D．
9．下列判断中唯一正确的是（ ）
A．函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝﹣ax2的图象开口向下
B．二次函数y＝ax2，当x＜0时，y随x的增大而增大
C．y＝2x2与y＝﹣2x2图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同
D．抛物线y＝ax2与y＝﹣ax2的图象关于x轴对称
【答案】D
【解析】
A、若当a＜0时，则函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝﹣ax2的图象开口向上，故A不正确；
B、若a＞0时，则二次函数y＝ax2开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，故B不正确；
C、由于两函数中二次项系数互为相反数，故两抛物线的开口方向相反，故C不正确；
D、因为a和﹣a互为相反数，所以抛物线y＝ax2与y＝﹣ax2的开口方向相反，对称轴、顶点坐标都相同，故其图象关于x轴对称；
故选D．
10．已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵A（-5，m），B（5，m），
∴点A与点B关于y轴对称；
由于y=x+2不关于y轴对称，的图象关于原点对称，因此选项A、D错误；
∵n2＞0，
∴m+n2+1＞m；
由A（-5，m），C（-2，m+n2+1）可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
对于二次函数只有a＜0时，满足条件，
∴B选项正确，
故选B．
二、填空题
11．已知函数，不画图象，回答下列各题：
（1）其图象的开口方向：________
（2）其图象的对称轴：________
（3）其图象的顶点坐标：________
（4）当x>0时，y随x的增大而__________________________；
（5）当x__ 时，函数y的最_____值是________
【答案】 向下 y轴 (0，0) 减小 =0 大 0
【解析】因为已知函数，所以其图象是抛物线．
又因为a＜0，所以抛物线开口方向向下；
对称轴是y轴(或直线x=0)；
顶点坐标是(0，0)；
当x>0时，y随x的增大而减小；
当x=0时，y最大，最大值是0．
故答案为：向下；y轴；(0，0)；减小；0，大，0．
12．已知二次函数的图象开口向上，则m的值为 ．
【答案】2
【解析】∵二次函数的图象开口向上，
∴，
解得，m＝2，
故答案为：2．
13．二次函数的最小值为________．
【答案】-2
【解析】由二次函数可得：开口向上，有最小值，
∴二次函数的最小值为-2；
故答案为-2．
14．如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】图像在轴右侧部分下降，
抛物线开口向下，
，
解得，
故答案为：．
15．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在抛物线yx2，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”连接）．
【答案】y2＜y3＜y1
【解析】∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在抛物线yx2，
∴y1（﹣3）2＝6，y2（﹣1）2，y322，
∵6，
∴y2＜y3＜y1，
故答案为：y2＜y3＜y1．
16．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是 ．
【答案】8
【解析】∵函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象关于x轴对称，
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为4的正方形面积为16，
所以图中的阴影部分的面积是8．
故答案为8．
17．无论取什么实数，点都在二次函数上，是二次函数上的点，则_____________．
【答案】3
【解析】由题意得，当x=a-1时，y=2a2-4a+1=2（a-1）2-1，
∴可得：y=2x2-1，
∵Q（m，n）是二次函数y=2x2-1上的点，
∴2m2-1=n，
∴2m2-n=1，
所以4m2-2n+1=2（2m2-n）+1=3．
故答案为：3．
18．在平面直角坐标系xoy中，矩形四个顶点坐标分别为(1，1)，(1，2)，(3，1)，(3，2)，若抛物的图象与矩形的边有公共点，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】根据题意得：抛物线过点（1，2）时开口最小，过点（3，1）时，开口最大．
当抛物线过点（1，2）时，2=a×1，
解得：a=2．
当抛物线过点（3，1）时，1=9a，
解得：，
∴实数的取值范围是．
故答案为：
三、解答题
19．已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）
（1）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上？
（2）求点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标．
【解析】（1）将点A（﹣2，﹣8）代入抛物线y＝ax2，
可得4a＝﹣8，即a＝﹣2，
则y＝﹣2x2，
当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2＝﹣2≠﹣4，
所以点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上；
（2）将P（m，﹣6）代入y＝﹣2x2，
得﹣6＝﹣2m2，
解得m＝±，
则点P的坐标为（，﹣6）或（，﹣6）．
20．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
【解析】（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，
∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，
∴c＝﹣2，
故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
故答案为：p＜m＜n．
21．已知y＝是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为 ；对称轴为 ．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 ．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 ．
【解析】（1）由是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得
，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
∴对称轴为y轴，
故答案为：-3，y轴；
（2）∵点A（1，m），
∴点A关于y轴对称点的坐标为（﹣1，m），
故答案为：（﹣1，m），
故答案为：（﹣1，m）；
（3）如图所示：
当时，，
当x＝4时，，
根据函数图象可得当x＝0时，y取得最大值，当x＝0时，，
∴当时，；
故答案为：．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为（1，4），且过点（﹣1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求将抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位后抛物线的函数表达式．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把（﹣1，0）代入得a（﹣1﹣1）2+4＝0，
解得a＝﹣1．
所以抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；
（2）平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1+2）2+4+5，即y＝﹣x2﹣2x+8．
23．已知函数式的x范围，求y范围：（可结合草图求解）
（1）已知二次函数y＝x2在2＜x＜3范围内，求y的范围；
（2）已知二次函数y＝﹣x2+4在﹣2＜x＜3范围内，求y的范围．
【解析】（1）y＝x2＝（x﹣0）2+0；
∴x＝0时，该函数取最小值0；
所以2＜x＜3，y的范围为4＜y＜9；
（2）y＝﹣x2+4＝﹣（x﹣0）2+4；
∴x＝0时，该函数取最大值4；
所以﹣2＜x＜3，y的范围为﹣5＜y≤4．
24．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．
【解析】 (1)把代入得：，
∴抛物线解析式为；
(2)设直线AB的函数解析式为，
把，代入得：，，
∴直线AB的解析式为，
将与联立得：
或，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴．
25．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）．例如：（﹣2，3）的变换点是（2，﹣1）．
（1）（1，2）的变换点为 ，（﹣1，﹣2）的变换点为 ．
（2）点M（m﹣1，5）的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标.
（3）如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点．
①请在方格图中画出点Q所在函数的图象.
②求点Q所在函数图象的表达式．
【解析】（1）∵1>0，
∴(1,2)的变换点为( 1, 2)，
∵ 1<0，
∴( 1, 2)的变换点为(1,4)，
故答案为：( 1, 2),(1,4).
（2）当m﹣1＞0时，点M的变换点为（1﹣m，﹣5），
∴1﹣m+2＝﹣5，∴m＝8，
∴点M（7，5），
当m﹣1≤0时，点M的变换点（1﹣m，﹣3），∴1﹣m+2＝﹣3，
∴m＝6（不合题意舍去） ，
∴点M坐标（7，5）.
（3）①设点P（x，y）.
当x≤0时，点Q（﹣x，﹣y+2），即﹣x≥0，
∵y＝﹣x2+4，∴﹣y＝x2﹣4，∴﹣y+2＝x2﹣4+2，
∴﹣y+2＝（﹣x）2﹣2，
∴点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣2 （x≥0），
当x＞0时，点Q（﹣x，﹣y），即﹣x＜0，
∵y＝﹣x2+4，
∴﹣y＝x2﹣4＝（﹣x）2﹣4.
点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣4（x＜0）.
由函数解析式可得图象如下：
②由①可得.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
专题22.1.2 二次函数y=ax 的图象和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣1，4），则该图象必经过点（ ）
A．（1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣4，1） D．（4，﹣1）
3．关于函数y＝x2的叙述，错误的是（ ）
A．图象的对称轴是y轴
B．图象的顶点是原点
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y有最大值
4．已知抛物线（）过，两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是( )
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y的值随x的值增大而减小
6．下列抛物线的图象，开口最大的是（ ）
A．yx2 B．y＝4x2 C．y＝﹣2x2 D．无法确定
7．已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（ ）
A． B．
C． D．
9．下列判断中唯一正确的是（ ）
A．函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝﹣ax2的图象开口向下
B．二次函数y＝ax2，当x＜0时，y随x的增大而增大
C．y＝2x2与y＝﹣2x2图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同
D．抛物线y＝ax2与y＝﹣ax2的图象关于x轴对称
10．已知点在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知函数，不画图象，回答下列各题：
（1）其图象的开口方向：________
（2）其图象的对称轴：________
（3）其图象的顶点坐标：________
（4）当x>0时，y随x的增大而__________________________；
（5）当x__ 时，函数y的最_____值是________
12．已知二次函数的图象开口向上，则m的值为 ．
13．二次函数的最小值为________．
14．如果二次函数的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条件的一个a的值是________．
15．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在抛物线yx2，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”连接）．
16．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是 ．
17．无论取什么实数，点都在二次函数上，是二次函数上的点，则_____________．
18．在平面直角坐标系xoy中，矩形四个顶点坐标分别为(1，1)，(1，2)，(3，1)，(3，2)，若抛物的图象与矩形的边有公共点，则实数的取值范围是____________．
三、解答题
19．已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）
（1）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上？
（2）求点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标．
20．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
21．已知y＝是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为 ；对称轴为 ．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 ．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 ．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为（1，4），且过点（﹣1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求将抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位后抛物线的函数表达式．
23．已知函数式的x范围，求y范围：（可结合草图求解）
（1）已知二次函数y＝x2在2＜x＜3范围内，求y的范围；
（2）已知二次函数y＝﹣x2+4在﹣2＜x＜3范围内，求y的范围．
24．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．
25．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）．例如：（﹣2，3）的变换点是（2，﹣1）．
（1）（1，2）的变换点为 ，（﹣1，﹣2）的变换点为 ．
（2）点M（m﹣1，5）的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标.
（3）如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点．
①请在方格图中画出点Q所在函数的图象.
②求点Q所在函数图象的表达式．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
