2022-2023学年度高三数学期中考试参考答案
一、单选题
1、B 2、C 3、B 4、D 5、C 6、C 7、D 8、B
二、多选题
9、BCD 10、AC 11、ABC 12、ACD
三、填空题
13、 14、2 15、12 16、（1，2）
四、解答题：
17、（1）证明 因为||＝||＝||＝1，且，，之间夹角均为120°，
所以(－)·＝·－·＝||||cos 120°－||||·cos 120°＝0，所以(－)⊥.
（2）解 因为|k＋＋|>1，所以(k＋＋)·(ka＋＋)>1，
即k22＋2＋2＋2k·＋2k·＋2·>1.因为·＝·＝·＝cos 120°＝－，
所以k2－2k>0，解得k<0或k>2，即k的取值范围是 (－∞，0)∪(2，＋∞).
18、解：存在实数a，使得命题p为真命题，理由如下：
命题，使成立，
令，，
则问题转化为，
当且仅当，即时等号成立，故
，对称轴为，开口向上
（1）当，即时，函数在上单调递增，
，解得：，此时无解；
（2）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，解得：，即
（3）当，即时，函数在上单调递减，
，解得：，此时；
综上可知，实数a的取值范围为：
19、解：（1）递增的等差数列{an}的公差设为d，（d＞0），前n项和为Sn，
若a1，a2，a4成等比数列，可得a22＝a1a4，即（a1+d）2＝a1（a1+3d），
化为a1＝d，
S5＝30，可得5a1+10d＝30，解得a1＝d＝2，
可得an＝2+2（n﹣1）＝2n，Snn（2+2n）＝n2+n：
（2）2，
可得前n项和Tn＝2n+1
20、解：
（Ⅰ）因为，所以由，
即，由正弦定理得，
即，∵，
∴，即，
∵，∴，∴，∵，∴.
（Ⅱ）∵，∴，
∵， ，
解得b=c=5
所以三角形ABC为等边三角形，sinB+sinC=
21、解：
解法一：（Ⅰ）取的中点，连结.
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即.
又平面平面，且两平面的交线为，
∴平面，
又平面，
∴.
（Ⅱ）取的中点，连结，则.
∴，且，
∴，，两两互相垂直.
以为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系.
设，则，，，，
∴，.
由异面直线与所成角的余弦值为，
得，解得.
易得平面的一个法向量为，
∴设平面的一个法向量为，
又，，
由，得，
取，得，，
故，
，
∴二面角的余弦值.
解法二：（Ⅰ）取的中点，连结.∵，，
∴，，∴四边形是平行四边形，∴，
∴，∴，即.
取的中点，连结.∵，∴.
又平面平面，且两平面的交线为，∴平面.又平面，
∴.又，∴平面，又平面，∴.
（Ⅱ）同解法一.
22、解：（1）依题可得，且，．．
（2）由题设知，即，
整理得，
设，则上式即为．
，令得．
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
又当时，，只需，即，
设，则．
令得．当时，，单调递增；
当时，，单调递减．．．
试卷第1页，共3页2022-2023 学年度高三数学期中考试参考答案
一、单选题
1、B 2、C 3、B 4、D 5、C 6、C 7、D 8、B
二、多选题
9、BCD 10、AC 11、ABC 12、ACD
三、填空题
8,n 1
13、an 14、2 15、12 16、（1，2）
4n 1,n 2
四、解答题：
17、（1）证明 因为| a |＝| b |＝| c |＝1，且 a ，b ， c 之间夹角均为 120°，
所以( a －b )·c ＝ a ·c －b ·c ＝| a || c |cos 120°－|b || c |·cos 120°＝0，所以( a －b )⊥ c .
（2）解 因为|k a ＋b ＋ c |>1，所以(k a ＋b ＋ c )·(ka＋b ＋ c )>1，
即 k2 a 2＋b 2＋ c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2 b ·c >1.因为 a ·b ＝ a ·c ＝b ·c ＝cos 120°＝－
1
，
2
所以 k2－2k>0，解得 k<0 或 k>2，即 k 的取值范围是 (－∞，0)∪(2，＋∞).
18、解：存在实数 a，使得命题 p为真命题，理由如下：
2 4x
2 9
命题 p : x1 {x | 2 x 2}, x {x |1 x 4}，使 x1 ax1 3 a
2
2 成立，
4x2
4x2 9
令 f (x1) x
2
1 ax1 3 a
2
， g(x2 ) ，
4x2
则问题转化为 x1 {x | 2 x 2}, x2 {x |1 x 4}， f x1 g x min 2 min
4x22 9 9 9 9 3g(x2) x2 2 x2 3当且仅当 x2 ，即 x2 时等号成立，故
4x 4x 4x 4x2 2 2 2 2
g x2 3 min
a
f (x ) x2 ax 3 a，对称轴为 x1 1 1 1 ，开口向上
2
试卷第 1 页，共 6 页
{#{QQABRYAUgggAAAAAABhCQQmQCAEQkACAAKgGxFAEsAAAiRFABAA=}#}
a
（1）当a 4，即 2 时，函数 f (x )在 2,21 上单调递增，
2
4
f x1 f 2 7 3a 3，解得：a ，此时无解； min 3
a a a
（2）当 4 a 4，即 2 2时，函数 f (x )在 2, 1 上单调递减，在 , 2 上2 2 2
单调递增，
a a2 a2
f x1 f 3 a 3，解得： 4 a 0，即 4 a 0 min
2 4 2
a
（3）当a 4，即 2时，函数 f (x 2,21)在 上单调递减，
2
f x1 f 2 7 a 3，解得：a 4，此时a 4； min
综上可知，实数 a的取值范围为： 4,0
19、解：（1）递增的等差数列{an}的公差设为 d，（d＞0），前 n 项和为 Sn，
若 a1，a2，a4成等比数列，可得 a 2 22 ＝a1a4，即（a1+d） ＝a1（a1+3d），
化为 a1＝d，
S5＝30，可得 5a1+10d＝30，解得 a1＝d＝2，
1
可得 an＝2+2（n﹣1）＝2n，S n（2+2n）＝n2n +n：
2
a a 2n 2 n 1 1 1
（2）b
n n 1n 2 ，
an 1 an 2 n 1 2n n n 1
1 2 2+3
可得前 n 项和 Tn＝2n+1 =
+1 +1
20、解：
b2 c2 a2（Ⅰ）因为 accosC c
2cosA，所以由2bccosA accosC c
2cosA，
即2bcosA acosC ccosA，由正弦定理得2sinBcosA sinAcosC sinCcosA，
即 2sinBcosA sin A C ，∵sin A C sin B sinB，
∴2sinBcosA sinB，即sinB 2cosA 1 0，
试卷第 2 页，共 6 页
{#{QQABRYAUgggAAAAAABhCQQmQCAEQkACAAKgGxFAEsAAAiRFABAA=}#}
1
∵0 B ，∴sinB 0，∴cosA ，∵0 A ，∴ A .
2 3
1 3 25 3
（Ⅱ）∵ S ABC bcsinA bc ，∴bc 25，
2 4 4
b2 c2 a2 b2 c2 25 1
∵ cosA ， b
2 c2 50 ，
2bc 2 25 2
解得 b=c=5
所以三角形 ABC为等边三角形，sinB+sinC=√3
21、解：
解法一：（Ⅰ）取 AB 的中点E，连结CE .
∵ AB 4 ，CD 2，
∴ AE / /DC ， AE DC ，
∴四边形 ADCE 是平行四边形，
∴CE AD 2 ，
∴CE AE EB，
∴ ACB 90 ，即CB CA .
又平面PAC 平面 ACB ，且两平面的交线为 AC ，
∴CB 平面PAC ，
又PA 平面PAC ，
∴CB PA .
（Ⅱ）取 AC 的中点O，连结OE ，则OE / /CB .
试卷第 3 页，共 6 页
{#{QQABRYAUgggAAAAAABhCQQmQCAEQkACAAKgGxFAEsAAAiRFABAA=}#}
∴OE AC ，且OP AC ，
∴OC ，OE ，OP 两两互相垂直.
以O为原点，OC ，OE ，OP 为 x ， y ， z 轴的正方向建立空间直角坐标系.
设 OC a(a 0) ，则C a,0,0 ，P 0,0, 4 a2 ， A a,0,0 ，B a,2 4 a2 ,0 ，
∴PC a,0, 4 a2 ， AB 2a,2 4 a2 ,0 .
1
由异面直线PC 与 AB 所成角的余弦值为 ，
4
1 PC AB 2a2 a2
得 ，解得a 1.
4 PC AB 2 4 4
易得平面PAC 的一个法向量为n1 0,1,0 ，
∴设平面PAB的一个法向量为n2 x, y, z ，
又 AB 2,2 3,0 ， AP 1,0, 3 ，
n 2x 2 3y 02 AB 0
由 ，得 ，
n2 AP 0 x 3z 0
取 x 3，得 y 1， z 1，
故n2 3,1,1 ，
n1 ncosn 2
1 5
1,n2 ，
n n 5 51 2
试卷第 4 页，共 6 页
{#{QQABRYAUgggAAAAAABhCQQmQCAEQkACAAKgGxFAEsAAAiRFABAA=}#}
5
∴二面角B PA C的余弦值 .
5
解法二：（Ⅰ）取 AB 的中点E，连结CE .∵ AB 4，CD 2，
∴ AE / /DC ， AE DC ，∴四边形 ADCE 是平行四边形，∴CE AD 2 ，
∴CE AE EB，∴ ACB 90 ，即CB CA .
取 AC 的中点O，连结OP .∵ AP PC，∴OP AC .
又平面PAC 平面 ACB ，且两平面的交线为 AC ，∴OP 平面 ACB .又CB 平面
ACB ，
∴OP CB .又OP AC O，∴CB 平面PAC ，又PA 平面PAC ，∴CB PA .
（Ⅱ）同解法一.
1
22、解：（1）依题可得 f (x) 4x ln a，且 f (1) 0 ， 4+lna 0． a 4 ． e
（2）由题设知 g(x) f (x) 0 ，即ae2x ln x (2x2 x lna) 0，
2x
整理得 ln x 2x ln a ln e
2x ln a ln a e
= ，
x a e2x a e2x a e2x
ln x
设 h(x) ，则上式即为h(x) h ae2x ．
x
1 ln x 1 ln x
h (x) ，令h (x) =0得 x e2 ． x2 x
当 x (0,e) 时，h (x) 0，函数h(x) 单调递增；
当 x (e, ) 时，h (x) 0 ，函数h(x) 单调递减．
试卷第 5 页，共 6 页
{#{QQABRYAUgggAAAAAABhCQQmQCAEQkACAAKgGxFAEsAAAiRFABAA=}#}
ln x 2x x
又当 x (0,1)时，h(x) 0， h(x) h ae 只需 x ae2x，即a ，
x e2x
x 1 2x
设 H (x) ，则H (x) ．
e2x e2x
1 2x 1 1
令 H (x) =0得 x ． 当 x 0, 时，H (x) 0， H (x)单调递增；
e2x 2 2
1 x 1 1
当 x ，1 时，H (x) 0，H (x)单调递减． H (x) ． a ．
2 e
2x 2e 2e
试卷第 6 页，共 6 页
{#{QQABRYAUgggAAAAAABhCQQmQCAEQkACAAKgGxFAEsAAAiRFABAA=}#}2022—2023学年度上学期高三年级期中考试
数学试题
（满分150分 考试时间：120分钟）
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集为R，集合，，则 =( )
A. B. C. D.
2、设，则“m＝2”是“复数z＝（m+2i）（1+i）为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3、三个数的大小关系是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
4、我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”．他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 ＝（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
5、设，若则等于（ ）
A． B． C． D．
6、已知函数在区间的值域为，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7、已知函数,当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
8、正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2 B．
C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9、将函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标缩短为原来的，再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．
B．的图像关于直线对称
C．的图像关于点对称
D．在上单调递增
10、设数列的前n项和为，下列命题正确的是（ ）
A．若为等差数列，则，，仍为等差数列
B．若为等比数列，则，，仍为等比数列
C．若为等差数列，则}（a为正常数）为等比数列
D．若为等比数列，则为等差数列
11、已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为8 B．的最小值为8
C．的最小值为 D．的最小值为
12、在圆锥SO中（S是圆锥顶点，O是底面中心），C是母线SA上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为，则（ ）
A．当时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为
B．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当时，圆锥SO的外接球表面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、已知数列的前项和为，则数列的通项公式为__________．
14、已知，则 .
15、设四边形为平行四边形，，，.若点满足，则_________
16、已知函数的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、已知平面上三个向量的模均为1，它们两两之间的夹角为120°.
（1）求证：(－)⊥；（2）若|＋＋|>1(k∈R)，求k的取值范围.
18、命题，使成立．是否存在实数a，使命题p为真命题？如果存在，求出实数a的取值范围，如果不存在，请说明理由．
19、已知递增的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，且. （1）求数列的通项公式及前项和；
（2）设，求数列的前项和.
20、在中，内角所对的边分别为，
已知. （Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积，且，求.
21、如图，在梯形中，，，，现将沿翻折成直二面角.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角余弦值的大小.
22、已知函数，，其中．
（1）若曲线在处的切线斜率为，求的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．2022—2023学年度上学期高三年级期中考试
数学试题
（满分 150分 考试时间：120分钟）
第 I卷（选择题）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．设全集为 R，集合 A {x 0 x 2}，B {x x 1}，则 A ( B) ( )
R
A. {x 0 x 1} B. {x 0 x 1} C. {x 1 x 2} D. {x 0 x 2}
2、设m ∈ R，则“m＝2”是“复数 z＝（m+2i）（1+i）为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1
3、三个数 log , 0.12 2 ,
0.2
2 的大小关系是 （ ）
4
1 1
（A） log 0.2 0.1 0.1 0.22 2 2 （B） log2 2 2
4 4
1 1
（C） 0.1 0.22 2 log2 （D）
0.1 0.2
2 log2 2
4 4
4、我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”．他用数形结
合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角
形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图，若大正方形的面积是 25，小正方形的
面积是 1，则 ＝（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
1 7
5、设 (0, ), ( , ) ，若 cos ,s in( ) , 则
2 2 3 9
sin 等于（ ）
1 5 1 23
A． B． C． D．
27 27 3 27
2 x 2 2 x
6、已知函数 f x x 4x e e x 1在区间 1,5 的值域为 m, M ，则
m M （ ）
高三数学期中试卷共 4 页 第 1 页
{#{QQABRYAUgggAAAAAABhCQQmQCAEQkACAAKgGxFAEsAAAiRFABAA=}#}
A．2 B．4 C．6 D．8
ex f x
f x ax, x 0, x x 1
f x2
7、已知函数 ,当 2 1 时,不等式 0恒成
x x2 x1
立,则实数 a的取值范围为( )
e e
A. ( ,e] B. , e C. ( , ) D. ( , ]
2 2
8、正三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为 2，点 E，F分别为
棱 BB1，A1C1的中点，若过点 A，E，F作一截面，则截面的周长
为（ ）
2
A．2+2 5 B． 2 5 13
3
13
C．2 5 13 D． 2 5
2
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.
9、将函数 f (x) sin x图像上所有点的纵坐标伸长为原来的 3倍，横坐标缩短为原来的
1
，再将所得的图像向右平移 个单位长度，得到函数 g x 的图像，则（ ）
3 12
A． g(x) 3sin 3x
12
B． g x 的图像关于直线 x 对称
4
5
C． g x 的图像关于点 ,0 对称
12
π
D． g x 在 0, 上单调递增
4
10、设数列 an 的前 n项和为 Sn，下列命题正确的是（ ）
A．若 an 为等差数列，则 Sn， S2n Sn ，S3n S2n 仍为等差数列
B．若 an 为等比数列，则 Sn， S2n Sn ，S3n S2n 仍为等比数列
C．若 an 为等差数列，则{ }（a为正常数）为等比数列
高三数学期中试卷共 4 页 第 2 页
{#{QQABRYAUgggAAAAAABhCQQmQCAEQkACAAKgGxFAEsAAAiRFABAA=}#}
D．若 an 为等比数列，则 lgan 为等差数列
11、已知 a，b为正实数，且ab 2a b 16，则（ ）
A．ab的最大值为 8 B．2a b的最小值为 8
1 1 2
C．a b的最小值为6 2 3 D． 的最小值为
a 1 b 2 2
12、在圆锥 SO中（S是圆锥顶点，O是底面中心），C是母线 SA上靠近点 S的三等分
点， SA l ，底面圆的半径为 r，圆锥 SO的侧面积为3π，则（ ）
A．当 r 1时，从点 A到点 C绕圆锥侧面一周的最小长度为 13
3 3 7
B．当 r 时，过顶点 S和两母线的截面三角形的最大面积为
2 4
8l
C．当 l 3时，圆锥 SO的外接球表面积为
8
2 3
D．当 l 3时，棱长为 的正四面体在圆锥 SO内可以任意转动.
3
第 II卷（非选择题）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
2
13、已知数列 a nn 的前 项和为 Sn 2n 3n 3，则数列 an 的通项公式为
__________．
sin cos
14、已知 tan( ) 2 ，则 .
4 sin cos
15、设四边形 ABCD为平行四边形，| AB | 3，| AD | 4， BAD 60 .若点M 满足
DM 2MC ，则 AM AB _________
16、已知函数 ( )的定义域为(0,+∞)， ′( )为 ( )的导函数，且满足 ′( ) > ( )，
则不等式( 1) ( + 1) > ( 2 1)的解集是___________.
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、已知平面上三个向量a,b,c的模均为 1，它们两两之间的夹角为 120°.
（1）求证：( a －b )⊥ c ；（2）若| ka ＋b ＋ c |>1(k∈R)，求 k的取值范围.
4x22 9
18、命题 p : x {x | 2 x 2}, x {x |1 x 4}，使 x1 ax1 3 a
2
1 2 成立．是
4x2
高三数学期中试卷共 4 页 第 3 页
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否存在实数 a，使命题 p为真命题？如果存在，求出实数 a的取值范围，如果不存在，
请说明理由．
19、已知递增的等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，若a1，a2， a4成等比数列，且
S5 30 . （1）求数列 an 的通项公式及前n 项和 Sn ；
a a
b n n 1（2）设 n ，求数列 b 的前n 项和Tn .
an 1 a
n
n
20、在 ABC中，内角 A, B,C 所对的边分别为a,b,c ，
已知b
2 c2 a2 accosC c2cosA. （Ⅰ）求角 A的大小；
25 3
（Ⅱ）若 ABC的面积 S ，且a 5，求sinB sinC . ABC
4
21、如图，在梯形 ABCD中， AB / /DC ， AD DC 2 ， AB 4，现将 ADC 沿 AC 翻
折成直二面角P AC B.
（Ⅰ）证明：CB PA；
1
（Ⅱ）若异面直线PC 与 AB 所成角的余弦值为 ，求二面角B PA C 余弦值的大小.
4
22、已知函数 f x 2x2 x ln a 2x， g x ae ln x，其中a 0．
（1）若曲线 y f x 在 x 1处的切线斜率为 0，求a 的值；
（2）若对任意的 x 0,1 ，不等式 g x f x 0恒成立，求实数a 的取值范围．
高三数学期中试卷共 4 页 第 4 页
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