人教版高一数学下学期必修第二册第十章《概率》单元达标高分突破基础卷(含解析)

人教版高一数学下学期必修第二册第十章《概率》单元达标高分突破基础卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④，则的值不小于0．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
3．口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与对立 C． D．
4．从甲地开车到乙地共有，，三条路线可走，路线堵车的概率为0.06，路线堵车的概率为0.09，路线堵车的概率为0.12，且三条路线是否堵车相互独立，若小李从这三条路线中随机选一条，则堵车的概率为（ ）
A．0.06 B．0.09 C．0.12 D．0.27
5．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
137 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．0.40 B．0.30
C．0.35 D．0.25
6．下列说法正确的是（ ）
A．在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率
B．掷一枚骰子次，“出现点”与“出现点”是对立事件
C．甲 乙两人对同一个靶各射击一次，记事件“甲中靶”，“乙中靶”，则“恰有一人中靶”
D．拋掷一枚质地均匀的硬币，若前次均正面向上，则第次正面向上的概率小于
7．袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）
A． B．
C． D．
8．中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气歌”是以“春 夏 秋 冬”开始的四句诗，2016年11月30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国古代第五大发明”.从某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有45人，能说出三句或三句以上的有32人，据此估计从该校一年级学生中抽取一人，对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的概率约为（ ）
A．0.45 B．0.32 C．0.23 D．0.77
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列说法不正确的是（ ）
A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件
B．若A，B为两个事件，则
C．若事件A，B，C两两互斥，则
D．若事件A，B满足，则A与B相互对立
10．已知甲罐中有四个相同的小球，标号分别为1，2，3，4，乙罐中有五个相同的小球，标号分别为1，2，3，5，6.现从甲罐 乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ）
A．事件发生的概率为 B．事件发生的概率为
C．事件发生的概率为 D．至少抽到一个有标号为3的小球的概率为
11．已知事件，且，，则（ ）
A．如果，那么,
B．如果与互斥，那么,
C．如果与相互独立，那么，
D．如果与相互独立，那么,
12．豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ）
A．m的值是32%
B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56
D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2021年湖南新高考实行“3+1+2模式”，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1，政治、地理、化学和生物4选2，共有12种选课模式．今年高一小明与小芳都准备选历史与政治，假设他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为________．
14．甲、乙两人进行羽毛球比赛，采用三局两胜制（打满三局），已知甲每局比赛获胜的概率均为.现用计算机随机产生的之间的整数值来模拟甲和乙胜负的情况,用，，，，，，表示甲胜，用，，表示乙胜.由于是三局两胜制，所以以每个随机数为一组，产生组随机数：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.估计最终乙获胜的概率为______.
15．把一个正方体的表面涂上红色，在它的长、宽、高上等距离地各切三刀，则大正方体被分割成了个大小相等的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起.如果你从这些小正方体中随意地取出个，则这个小正方体至少有一个面涂有红色的概率为_______.
16．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“三局两胜制”（即先赢两局者为胜，若前两局某人连胜，则无需比第三局），根据以往两人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题的概率都是0.6，若每位面试者都有三次机会，一旦答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第三次为止.用Y表示答对题目，用N表示没有答对的题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么：
(1)在图的树状图中填写样本点，并写出样本空间；
(2)求李明最终通过面试的概率.
18．近年来，国家大力推动职业教育发展，职业教育体系不断完善，人才培养专业结构更加符合市场需求.一批职业培训学校以市场为主导，积极参与职业教育的改革和创新.某职业培训学校共开设了六个专业，根据前若干年的统计数据，学校统计了各专业每年的就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）和每年各专业的招生人数，具体统计数据如下表：
专 业 机电维修 车内美容 衣物翻新 美容美发 泛艺术类 电脑技术
招生人数
就 业 率
(1)从该校已毕业的学生中随机抽取人，求该生是“衣物翻新”专业且直接就业的概率；
(2)为适应市场对人才需求的变化，该校决定从明年起，将“电脑技术”专业的招生人数减少人，将“机电维修”专业的招生人数增加人，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值．
19．2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨．我市某小区为了防止疫情在小区出现，严防外来人员进入小区，切实保障居民正常生活，设置“特殊值班岗”．现有包含甲、乙在内的4名志愿者参与该工作，每人安排一天，每4天一轮．在一轮的“特殊值班岗”安排中，求：
(1)甲、乙两人相邻值班的概率；
(2)甲或乙被安排在前2天值班的概率．
20．某化肥厂有甲 乙两个车间生产同一种产品，从两个车间生产的产品中各随机抽取7包称重，记录数据如下（单位：）：
甲：
乙：
(1)计算甲 乙两个车间抽取的产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品质量比较稳定；
(2)从两组数据中各随机抽取一个不小于100的数据，甲组中抽取的数据记为x，乙组中抽取的数据记为y，求的概率.
21．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流.”阅读会让精神世界闪光.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：
(1)求；
(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（单位：分钟）；
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于的概率.
22．已知甲、乙、丙三人独自射击，命中目标的概率分别是、、．设各次射击都相互独立．
(1)若甲、乙、丙三人同时对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率；
(2)若甲、乙两人各自对目标射击两次，求四次射击中恰有两次命中目标的概率．
参考答案全解全析
1．B
【详解】
①2022年8月18日，北京市不下雨，随机事件；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰，不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，是随机事件；
④，则的值不小于0，必然事件；
∴随机事件有①、③.
故选：B
2．C
【详解】
解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，
而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：
“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，
故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.
故选：C
3．C
【详解】
依题意，取到的小球为黑球且编号为②，事件与同时发生，则与不互斥，也不对立，A，B都不正确；
由古典概率得：，，，于是得，
C正确，D不正确.
故选：C
4．B
【详解】
因为路线是随机选的，所以选择每条路线的概率都是．选择走路线且堵车的概率为，
选择走路线且堵车的概率为，
选择走路线且堵车的概率为，
所以堵车的概率为．
故选：B
5．D
【解析】
【详解】
试题分析：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数，在组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：137,271,932,812,393共5组随机数，所以所求概率为，故选D．
考点：古典概型及其概率的计算．
6．A
【解析】
【分析】
根据频率与概率、互斥与对立、并事件、概率等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A，在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率，A正确；
对于B，掷一枚骰子次，“出现点”与“出现点”是互斥事件，但不是对立事件，B错误；
对于C，“靶被击中”，C错误；
对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，无论哪一次，正面向上的概率都等于，D错误.
故选：A.
7．C
【解析】
【分析】
根据题意，由古典概型的概率计算方法求解即可.
【详解】
由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：
共4个基本事件，
根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，
故选：C.
8．C
【解析】
【分析】
先求出只能说出第一句或一句也说不出的学生人数，可得它所占的比例，即为所求．
【详解】
由题意，只能说出第一句，或一句也说不出的同学有100﹣45﹣32＝23人，
故只能说出第一句或一句也说不出的学生占的比例为，
故选：C
9．BCD
【解析】
【分析】
A. “A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；
B. ,所以该选项错误；
C. 举反例说明不一定成立，所以该选项错误；
D. 举反例说明A与B不对立，所以该选项错误.
【详解】
解：A. 若A，B为两个事件，“A与B互斥”则“A与B不一定相互对立”； “A与B相互对立”则“A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；
B. 若A，B为两个事件，则,所以该选项错误；
C. 若事件A，B，C两两互斥，则不一定成立，如：掷骰子一次，记向上的点数为1，向上的点数为2，向上的点数为3，事件A，B，C两两互斥，则.所以该选项错误；
D. 抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，所以该选项错误.
故选：BCD
10．BCD
【解析】
【分析】
根据题意分别列出事件A和事件B所包含的基本事件，再逐个选项判定，即可求解.
【详解】
由题意知，从甲罐，乙罐中分别随机抽取1个小球，共有个基本事件，
其中事件A包含的基本事件有：
，共有11个基本事件；
事件B包含的基本事件有：，共有8个基本事件，
对于A中事件A发生的概率为，所以A不正确；
对于B中，由以上可得事件B是事件A的子事件，所以事件的概率为，
所以B正确；
对于C中，由事件B是事件A的子事件，所以事件概率为，所以C正确；
对于D中，可分为三种情况：当甲罐中抽到3，乙罐不是3时，有种；当甲罐不是3，乙罐是3时，有；当甲罐抽到3且乙罐也是3时，有1种，所以至少抽到一个有标号为3的小球的概率为，所以D正确.
故选：BCD.
11．ABD
【解析】
【分析】
根据互斥事件的加法公式、独立事件的乘法公式以及对立事件的概率公式进行计算可得答案.
【详解】
对于A，如果，则，
，故A正确；
对于B，如果与互斥，则，，故B正确；
对于C，如果与相互独立，则，，故C不正确；
对于D，如果与相互独立，则，。故D正确
故选：ABD
12．ACD
【解析】
【分析】
对A选项，由题意参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则二星及以上的频率加和为，即可求解；对B选项，由频率只能推出可能有24人符合条件；对C选项，将评价为三星和五星的频率加和即可；对D选项，“至多1人评价五星”即为无人评价或1人评价五星，依据互斥事件与对立事件定义判断即可.
【详解】
对A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，
则，所以，故A正确；
对B选项，随机抽取100名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B错误；
对C选项，由A选项，评价是三星或五星的概率约为，故C正确；
对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确；
故选：ACD
13．
【解析】
【分析】
求出基本事件的总数，以及他们选课相同包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.
【详解】
今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，
则基本事件有
（地，地），（地，化），（地，生），
（化，地），（化，化），（化，生），
（生，地），（生，化），（生，生）共个，
他们选课相同包含的基本事件有：（地，地），（化，化），（生，生）共有个，
所以他们选课相同的概率．
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
由随机数中找出含有，，中的两个数字的随机数，计数后由公式计算概率．
【详解】
组随机数中含有，，中的两个数字的有，，，，，，共组，所以估计最终乙获胜的概率为.
故答案为：．
15．##
【解析】
【分析】
由图形可知没有面是红色的小正方体有个，结合对立事件概率公式可求得结果.
【详解】
个小正方体中，将大正方体外层的正方体去掉，可知没有面是红色的小正方体有个，
至少有一个面涂有红色的概率为.
故答案为：.
16．
【解析】
【分析】
根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式分别求得甲前两局获胜的概率和前两局中一胜一负，第三局胜利的概率，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】
因为甲在每局比赛中获胜的概率为，
若甲前两局获胜，其概率为；
若甲前两局中一胜一负，第三局胜利，其概率为,
所以本次比赛中甲获胜的概率为.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据树状图表示出样本空间；（2）先计算李明未通过面试的概率，再由对立事件的计算公式求出通过面试的概率.
(1)
由题意，样本空间为.
样本点的填写如图所示，
(2)
可知李明未通过面试的概率为，
所以李明通过面试的概率为
18．(1)0.08
(2)120
【解析】
【分析】
理解题意，根据数据列式求解
(1)
由题意，该校往年每年的招生人数为，
“衣物翻新”专业直接就业的学生人数为，
所以所求的概率为．
(2)
由表格中的数据，可得往年各专业直接就业的人数分别为，，，，，，往年全校整体的就业率为，
招生人数调整后全校整体的就业率为，
解得
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用列举法求解即可；
（2）利用列举法求解即可.
(1)
由题意，设4名志愿者为甲，乙，丙，丁，4天一轮的值班安排所有可能的结果是：
（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，丁），（甲，丙，丁，乙），
（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙），（乙，甲，丙，丁），（乙，甲丁，丙），
（乙，丙，甲，丁），（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，甲，丙），（乙，丁，丙，甲），
（丙，甲，乙，丁），（丙，甲，丁，乙），（丙，乙，甲，丁），（丙，乙，丁，甲），
（丙，丁，乙，甲），（丙，丁，甲，乙），（丁，甲，乙，丙），（丁，甲，丙，乙），
（丁，乙，甲，丙），（丁，乙，丙，甲），（丁，丙，乙，甲），（丁，丙，甲，乙），
共24个样本点
设甲乙相邻为事件A，则事件A包含：（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），
（乙，甲，丙，丁），（乙，甲，丁，丙），（丙，甲，乙，丁），（丙，乙，甲，丁），（丙，丁，乙，甲），
（丙，丁，甲，乙），（丁，甲，乙，丙），（丁，乙，甲，丙），（丁，丙，乙，甲），（丁，丙，甲，乙），
共12个样本点，故
(2)
设甲或乙被安排在前两天值班的为事件B．
则事件B包含：（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，丁），（甲，丙，丁，乙），
（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙），（乙，甲，丙，丁），（乙，甲，丁，丙），（乙，丙，甲，丁），
（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，甲，丙），（乙，丁，丙，甲），（丙，甲，乙，丁），（丙，甲，丁，乙），
（丙，乙，甲，丁），（丙，乙，丁，甲），（丁，甲，乙，丙），（丁，甲，丙，乙），（丁，乙，甲，丙），
（丁，乙，丙，甲），
共20个样本点，故.
20．(1)甲的平均数，甲的方差为，乙的平均数，乙的方差为，甲车间产品质量比较稳定
(2)
【解析】
【分析】
（1）分别求得平均数和方差，比较下结论；
（2）利用古典概型的概率求解.
(1)
解：甲的平均数，
甲的方差为
.
乙的平均数，
乙的方差为
.
因为，，
所以甲车间产品质量比较稳定.
(2)
甲组中不小于100的数据有102，104，100，分别记为，，；
乙组中不小于100的数据有101，102，101，103，分别记为，，，.
从两组数据中各随机抽取一个不小于100的数据，该试验的样本空间为
，共12个样本点，
设事件A表示“”，则，共5个样本点，
所以.
21．(1)
(2)74.4分钟，74分钟
(3)
【解析】
【分析】
（1）频根据分布直方图的所有矩形面积之和为1可得答案；
（2）计算出中位数位于区间内，设中位数为，由得出，再计算出平均数，可估计该地年轻人阅读时间的中位数和平均数；
（3）由题意得出抽取的5人中位于区间、、的人数，列出从5人中任取2人的情况和恰有1人每天阅读时间在的情况，由古典概型概率公式可得答案.
(1)
因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，
所以，
解得.
(2)
∵，，
则中位数位于区间内，设中位数为，
则，解得，
平均数为，
所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟，平均数为74分钟.
(3)
由题意，阅读时间位于的人数为人，
阅读时间位于的人数为人，
阅读时间位于的人数为人，
则抽取的5人中位于区间有1人，设为，位于区间有2人，设为，，位于区间有2人，设为，，
则从5人中任取2人，样本空间
含有10个样本点.
设事件为“恰有1人每天阅读时间在”，
，
含有6个样本点.
∴.
22．(1)
(2)
【解析】
【详解】
解：（1）设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C
三人同时对同一目标射击，目标被击中为事件D
可知，三人同时对同一目标射击，目标不被击中为事件
有P()=1 P()
又由已知
∴
∴三人同时对同一目标进行射击，目标被击中的概率为
（2）设“四次射击中恰有两次击中目标”为事件E
则
∴四次射击中恰有两次击中目标的概率为