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微专题三 一元一次方程的解法
解不含分母的一元一次方程
1.解方程:
(1)5x-2x+1=9;
(2)2x-(x+10)=5x+2(x-1).
解分母是整数的一元一次方程
解:(1)去分母,得6-(x+2)=6x-3(3-2x),
去括号,得6-x-2=6x-9+6x,
移项,得-x-6x-6x=2-9-6,
合并同类项,得-13x=-13,
系数化为1,得x=1.
解分母是小数的一元一次方程
借助“整体思想”解一元一次方程
解:(2)把(x-4)看作一个整体去分母,得
6(x-4)-3(x-4)+3=18-2(x-4)-4,
移项、合并同类项,得5(x-4)=11,
系数化为1,得x-4=2.2,
所以x=6.2.
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3.4 实际问题与一元一次方程
第1课时 配套和工程问题
配套问题
C
1.某机械厂加工车间有33名工人,平均每名工人每天加工大齿轮5个或小齿轮15个.已知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套,问分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能刚好配套 若设加工大齿轮的工人有x名,则可列方程是( )
A.2×5(33-x)=3×15x
B.2×5x=3×15(33-x)
C.3×5x=2×15(33-x)
D.3×5(33-x)=2×15x
2.某工厂用硬纸生产圆柱形茶叶筒.已知该工厂有44名工人,每名工人每小时可以制作筒身50个或制作筒底120个.要求一个筒身配两个筒 底.设应该分配x名工人制作筒身,其他工人制作筒底,使每小时制作出的筒身与筒底刚好配套,则可列方程为 .
120·(44-x)=2×50x
3.某队有55人,每人每天平均挖土2.5方或运土3方,为合理安排劳动 力,使挖出的土及时运走,应如何分配挖土和运土的人数
解:设分配x人挖土,则分配(55-x)人运土.根据题意,得2.5x=3(55-x),
解得x=30,
所以55-30=25(人).
答:应分配30人挖土,25人运土.
工程问题
4.已知一项工程,甲单独完成需要5天,乙单独完成需要10天,现先由甲单独做2天,然后再安排乙与甲合作完成剩下的部分,则完成这项工程共耗时( )
A.1天 B.2天 C.3天 D.4天
5.从一个蓄水池中抽水,甲抽水机单独抽要12 h抽完,乙抽水机单独抽要15 h抽完,丙抽水机单独抽要20 h抽完,若甲、丙先合抽3 h后乙再加入,则还需几小时可以抽完( )
A.3 h B.4 h C.5 h D.7 h
D
A
6.某厂接到一所中学的冬季校服订做任务,计划用A,B两台大型设备进行加工,如果单独用A型设备,需要45天做完;如果单独用B型设备,需要30天做完.为了同学们能及时领到冬季校服,工厂决定用两台设备同时赶制.
(1)填空:A型设备的工作效率是 ,B型设备的工作效率是 .
(2)两台设备同时加工10天后,B型设备出了故障,暂时不能工作,若由A型设备单独完成剩下的任务,则还需要多少天
A
8.甲、乙两个工程队共同承接了某“煤改气”工程,甲队单独施工需 10天完成,乙队单独施工需15天完成.若甲队先做5天,剩下部分由两队合作,则完成该工程还需要( )
A.2天 B.3天
C.4天 D.8天
9.一项工作,甲、乙单独做,分别需要72天和64天完成.现在两人合作,共用48天完成了整项工作.那么甲休息了 天.
B
30
10.某工厂加工螺栓、螺帽,已知每1块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺帽(说明:每块金属原料无法同时既加工成螺栓又加工成螺帽).已知1个螺栓和2个螺帽组成一个零件,为了加工更多的零件,要求螺栓和螺帽恰好配套.请列方程解决下列问题:
(1)现有20块相同的金属原料,问:最多能加工多少个这样的零件
解:(1)设用x块金属原料加工螺栓,则用(20-x)块金属原料加工螺帽.
由题意,得2×3x=4(20-x),
解得x=8,所以3×8=24(个).
答:最多能加工24个这样的零件.
(2)若把26块相同的金属原料全部加工完,问:加工的螺栓和螺帽恰好配套吗 请说明理由.
解:(2)若把26块相同的金属原料全部加工完,则加工的螺栓和螺帽不能恰好配套.
理由如下:
设用y块金属原料加工螺栓,则用(26-y)块金属原料加工螺帽.
由题意,得2×3y=4(26-y),解得y=10.4.
因为10.4不是整数,所以不合题意,舍去,
所以若把26块相同的金属原料全部加工完,加工的螺栓和螺帽不能恰好配套.
11.一条公路,若由甲工程队单独修建需3个月完成,每月耗资12万元;若由乙工程队单独修建需6个月完成,每月耗资5万元.
(1)请问:甲、乙两工程队合作需几个月完成 共耗资多少万元
(2)若要求最迟4个月完成修建任务,请你设计一种方案,既保证按时完成任务,又最大限度节省资金.(时间按整月计算)
解:(2)根据题意,有如下三种方案:
方案一:由甲工程队单独修建3个月完成任务,耗资12×3=36(万元);
方案二:由甲、乙两工程队合作修建2个月完成任务,耗资34万元;
方案三:由甲、乙两工程队合作修建一段时间,剩下的由乙工程队单独完成修建任务.
设甲、乙合作y个月,剩下的由乙来完成,
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第2课时 移项解一元一次方程
移项解一元一次方程
C
1.解方程时,移项的依据是( )
A.加法交换律
B.减去一个数等于加上这个数的相反数
C.等式的性质1
D.等式的性质2
A
2.下列解方程的过程中,移项错误的是( )
A.方程2x+6=-3变形为2x=-3+6
B.方程2x-6=-3变形为2x=-3+6
C.方程3x=4-x变形为3x+x=4
D.方程4+x=3x变形为3x-x=4
3.若3a-2与2a-3互为相反数,则代数式a2-2a+3的值是 .
4.若关于x的方程mx-4m=x+1的解是x=3,则m的值为 .
2
-4
(3)12x+8=8x-4-2x.
解:(3)移项,得12x-8x+2x=-4-8.
合并同类项,得6x=-12.
系数化为1,得x=-2.
一元一次方程的应用
6.七(1)班有学生53人,七(2)班有学生45人,从七(1)班调x人到七(2) 班,这时两班的人数相等,应列方程是( )
A.53-x=45 B.53=45+x
C.53-x=45+x D.以上都不对
C
B
8.一个三位数,其各数位上的数字之和为15.若百位上的数字比十位上的数字小1,个位上的数字是十位上的数字的2倍,则这个三位数是 .
348
9.用若干辆货车运一批货物,如果每辆车装3.5吨,还有2吨运不走;如果每辆车装4吨,还可以装其他货物1吨,问货物有多少吨 货车有多 少辆
解:设货车有x辆,则货物有(3.5x+2)吨,
根据题意,得3.5x+2=4x-1,
解得x=6,
所以3.5x+2=3.5×6+2=23.
答:货车有6辆,货物有23吨.
D
C
1
13.已知关于x的方程3x-1=2x+1和2x+a=3a+2的解互为倒数,那么a的值是 .
14.一项工程,甲队单独完成需40天,乙队单独完成需50天,现甲队单独做4天后,两队合作.
(1)甲、乙合作多少天才能把该工程完成
(2)在(1)的条件下,甲队每天的施工费用为2 500元,乙队每天的施工费用为3 000元,则完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元
解:(2)需付给甲队:
2 500×(20+4)=60 000(元),
需付给乙队:3 000×20=60 000(元),
所以60 000+60 000=120 000(元).
答:完成此项工程需付给甲、乙两队共120 000元.
15.解方程|x|-2=0,可以按下面的步骤进行:
解:当x≥0时,得x-2=0,
解这个方程,得x=2.
当x<0时,得-x-2=0,
解这个方程,得x=-2.
所以原方程的解是x=2或x=-2.
仿照上述的解题过程,解方程|x-2|-1=0.
解:当x≥2时,得x-2-1=0,
解这个方程,得x=3;
当x<2时,得2-x-1=0,
解这个方程,得x=1.
所以原方程的解是x=3或x=1.
16.已知当x=-1时,代数式6mx3+2x的值为0;关于y的方程2my+n=5-ny+m的解为y=2.
(1)求mn的值;
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第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
一元一次方程的有关概念
A
1.下列属于方程的是( )
A.2x=3 B.2x>-1
C.1-3=-2 D.7y-1
2.下列各数中,是方程2x+1=-5的解的是( )
A.0 B.2
C.-3 D.-2
C
1
3.若关于x的方程3x3n-2+7=0是一元一次方程,则n= .
4.已知方程2+▲=3x,▲处的数被墨水盖住了,已知方程的解是x=2,那么▲处的数是 .
4
5.若(m-1)x|m|+5=0是关于x的一元一次方程:
(1)求m的值;
(2)请写出这个方程;
(3)判断x=1,x=2.5,x=3是不是方程的解.
解:(2)当m=-1时,原方程变为-2x+5=0.
(3)当x=1时,左边=3,右边=0,
所以左边≠右边,
所以x=1不是原方程的解.
同理x=2.5是原方程的解,
x=3不是原方程的解.
列一元一次方程
6.一个长方形的周长为26 cm,若这个长方形的长减少3 cm,就可成为一个正方形,设这个长方形的长为x cm,可列方程( )
A.x-3=13-x B.x+3=13-x
C.x+3=26-x D.x-3=26-x
A
7.《九章算术》中有这样一道数学问题,原文如下:清明游园,共坐八船,大船满六,小船满四,三十八学子,满船坐观.请问客家,大小几船 其大意为:清明时节出去游园,所有人共坐了8只船,大船每只坐6人,小船每只坐4人,38人刚好坐满,问:大、小船各有几只 若设有x只小船,则可列方程为( )
A.4x+6(8-x)=38 B.6x+4(8-x)=38
C.4x+6x=38 D.8x+6x=38
8.甲处有272人,乙处有196人,要使甲处的人数是乙处人数的3倍,应从乙处调多少人到甲处 若设应从乙处调x人到甲处,则可列方程: .
A
272+x=3(196-x)
9.根据条件设未知数,列出方程:
(1)某数与8的和的2倍比它大11,求这个数.
(2)某车间原计划15个小时生产一批零件,后来每小时多生产10个,用了12小时不但完成任务,而且还多生产60个,原计划每小时生产多少个零件
解:(1)设这个数为x,
根据题意,得2(x+8)-x=11.
(2)设原计划每小时生产x个零件,则实际每小时生产(x+10)个零件,
根据题意,得12(x+10)=15x+60.
(3)某购物网站上销售某种文创笔记本和珐琅书签,若文创笔记本的销量比珐琅书签销量的2倍少700件,二者销量之和为5 900件,则珐琅书签的销量是多少件
解:(3)设珐琅书签的销量为x件,则文创笔记本的销量为(2x-700)件,
根据题意,得x+(2x-700)=5 900.
B
D
12.下列说法:①等式是方程;②x=4是方程5x+20=0的解;③x=-4和x=6都是方程|x-1|=5的解.其中说法正确的是 .(填序号)
13.若x=-2是关于x的一元一次方程8-ax-b=3-2x的解,则3-4a+2b=
.
14.若(k-2)x|k|-1-3=0是关于x的一元一次方程,则k2-2k+1的值为
.
③
5
9
15.爸爸与儿子下象棋,爸爸赢1盘记1分,儿子赢1盘记3分,下了8盘后,两人得分相等,如果没有和棋,那么他们各赢了多少盘 对于这个问题,请你设未知数,列出方程,并估计问题的解.
解:设爸爸赢x盘,则儿子赢(8-x)盘.
根据题意,得x=3(8-x).
若x=1,则3(8-x)的值是21;
若x=2,则3(8-x)的值是18;
….
我们可以得出下面的表:
x的值 1 2 3 4 5 6 7 8
3(8-x) 的值 21 18 15 12 9 6 3 0
可以发现,当x=6时,3(8-x)的值是6,
所以x=6是方程x=3(8-x)的解,
此时8-6=2,
故爸爸赢了6盘,儿子赢了2盘.
16.阅读下面材料:
关于x的方程x3+x=13+1的解是x=1;
x3+x=23+2的解是x=2;
x3+x=(-2)3+(-2)的解是x=-2.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)观察上述方程以及解的特征,请你直接写出关于x的方程x3+x=43+4的解为 ;
解:(1)x=4
(2)猜想关于x的方程x3+x=a3+a的解是 ;
(3)请验证第(2)问的猜想;
(4)利用第(2)问的结论,求关于x的方程(x-1)3+x=(a+1)3+a+2的解.
解:(2)x=a
(3)把x=a代入方程,得左边=a3+a=右边.
(4)(x-1)3+x=(a+1)3+a+2,
整理,得(x-1)3+x-1=(a+1)3+a+1,
所以x-1=a+1,
所以x=a+2.
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第2课时 销售和积分问题
销售问题
A
1.“双十一”期间,某平台上一件标价为800元的上衣,按八折销售仍可获利40元.设这件上衣的成本价为x元,则列方程正确的为( )
A.800×0.8-x=40 B.800×8-x=40
C.800×0.8=x-40 D.800×0.8=40-x
2.《九章算术》第七卷“盈不足”中记载:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何 ”译为:今有几个人合伙购买一件物品,每人出8钱,会多3钱;每人出7钱,又差4钱.问人数和物品的价格分别是多少 这个问题的答案是( )
A.1人,11钱 B.6人,50钱
C.7人,61钱 D.7人,53钱
3.商店对某种商品进行调价,按标价的八折出售,此时商品的利润率是10%.若该商品的进价是1 600元,则该商品的标价是 元.
4.小明按标价的八折购买了一双鞋,比按标价购买节省了40元,则这双鞋的实际售价为 元.
D
2 200
160
5.某工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元,按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等,求该工艺品每件的进价、标价分别是多少元.
解:设该工艺品每件的进价为x元,则标价为(x+45)元,
依题意,得
8[85%(x+45)-x]=12(x+45-35-x),
解得x=155,
所以x+45=200,
所以该工艺品每件的进价为155元,标价为200元.
积分问题
6.某电视台举行知识竞赛,共设25个选择题,每题必答,答对一题得4分,答错一题得-1分.下列判断不正确的是( )
A.可能会有参赛者低于0分
B.若参赛者得60分,则他答对了17个题
C.答对24个题的得分是答对12个题得分的2倍
D.每个参赛者的得分都是5的倍数
C
7.某球队参加比赛,开局11场保持不败,积23分,按比赛规则,胜一场得3分,平一场得1分,则该球队获胜的场数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
8.爷爷和孙子下棋,爷爷赢一盘记2分,孙子赢一盘记3分,平局时爷爷记0分,孙子记2分,下了14盘后两人得分相等(其中平局2盘),则爷爷赢了
盘.
C
8
9.某足球队在某次足球联赛小组赛中屡次晋级.小组赛的规则为:①小组赛内有4支球队,每两支球队之间要进行两场比赛;②每队胜一场得 3分,平一场得1分,负一场得0分;③小组赛结束,积分前两名出线.该队经过6场小组赛后,总积分为10分,且负的场数是平的场数的两倍,求该队在小组赛共打平了多少场比赛.
解:设该队在小组赛共打平了x场比赛,则负的场数是2x场,胜的场数是(6-3x)场.
由题意,得3(6-3x)+x=10,解得x=1.
答:该队在小组赛共打平了1场比赛.
B
10.学校组织学生参加知识问答,问答活动共设有20道选择题,各题分值相同,每题必答,下表记录了A,B,C三名学生的得分情况,则另一名参赛学生D的得分可能是( )
参赛学生 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 18 2 88
C 14 6 64
A.62 B.52 C.42 D.32
11.某书城开展学生优惠购书活动,凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠,超过200元的,其中200元按九折算,超过200元的部分按八折算.某学生第一次去购书付款72元,第二次又去购书享受了八折优惠,他查看了所买书的定价,发现两次共节省了34元,则该学生第二次购书实际付款为( )
A.204元 B.230元
C.256元 D.264元
A
12.为了使双减得到有效落实,某校决定为学生购进篮球和足球共16个,共花了2 820元.已知篮球的单价为185元,篮球个数是足球个数的3倍,则足球的单价是( )
A.120元 B.130元
C.150元 D.140元
C
D
4
15.有两种消费券:A券,满60元减20元,B券,满90元减30元.小敏有一张A券,小聪有一张B券,他们都购买一件标价相同的商品,各自付款,若能用券时用券,这样两人共付款150元,则所购商品的标价是 .
100元或85元
16.某超市第一次用5 500元购进了甲、乙两种商品,其中甲种商品 150件,乙种商品100件.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多 5元.甲种商品售价为30元/件,乙种商品售价为35元/件.(注:获利=售价-进价)
(1)该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元
解:(1)设甲种商品每件进价为x元,则乙种商品每件进价为(x+5)元,
由题意得150x+100(x+5)=5 500,解得x=20,
所以x+5=25.
答:该超市第一次购进甲种商品每件20元,乙种商品每件25元.
(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润
解:(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得利润:150×(30-20)+100×(35-25)=2 500(元).
答:该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得 2 500元的利润.
(3)该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品.其中甲种商品每件的进价不变,乙种商品进价每件少2元;甲种商品按原售价提价m%销 售,乙种商品按原售价降价m%销售.如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多270元,那么m的值是多少
解:(3)由题意,得150×[30(1+m%)-20]+100×[35(1-m%)-(25-2)]=2 500+270,
解得m=7.
答:m的值是7.
17.某篮球运动员去年共参加40场比赛,其中3分球的命中率为0.25,平均每场有12次3分球未投中.
(1)该运动员在去年的比赛中共投中多少个3分球
(2)在其中的一场比赛中,该运动员3分球共投出20次.小亮说,该运动员在这场比赛中一定投中了5个3分球.你认为小亮的说法正确吗 请说明理由.
解:(2)小亮的说法不正确.理由如下:
3分球的命中率为0.25,是相对于40场比赛来说的,而在其中的一场比赛中,虽然该运动员3分球共投出20次,但是该运动员在这场比赛中不一定投中5个3分球.
18.某学校足球队参加全市足球联赛,在这个赛季中共需要比赛14场.现在已经比赛了8场,输了1场,得到17分.联赛的记分规则是:胜一场得 3分,平一场得1分,输一场得0分.试求:
(1)在前8场比赛中,该队共胜了多少场;
解:(1)设该队共胜了x场,
则平了(8-1-x)场,
根据题意,得3x+(8-1-x)=17,
解得x=5,
故该队共胜了5场.
(2)如果该队打满14场比赛,那么最高能得多少分;
(3)如果预期目标是打满14场比赛,得分不低于29分,那么在后面的6场比赛中,该队至少还要胜几场.
解:(2)所剩6场比赛均胜的话,最高能得17+3×6=35(分).
(3)由题意知以后的6场比赛中,只要得分不低于12分即可,
所以胜4场,就能达到预期目标.
而胜三场、平三场,即3×3+3=12(分),正好达到预期目标,故至少还要胜3场.
19.在“五一”期间,小明等同学随家长一同到某公园游玩,购买门票时,小明与他爸爸的对话如下:
爸爸:成人门票是每张40元,学生门票是五折优惠,我们一共12人,共需400元.
小明:爸爸,等一下,让我算一算,换一种方式购票是否可以省钱.
票价
成人:每张40元
学生:按成人票五折优惠
团体票(16人以上,含16人):按成人票六折优惠
试根据以上信息,解答下列问题:
(1)小明他们一共去了几个成人 几个学生
解:(1)设去了x个成人,则去了(12-x)个学生,
依题意,得40x+20(12-x)=400,
解得x=8,所以12-x=4,
所以小明他们一共去了8个成人,4个学生.
(2)请你帮助小明算一算,用哪种方式购票更省钱.
解:(2)若按团体票购票,
则需16×40×0.6=384(元).
因为384<400,
所以按团体票购票更省钱.
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第3课时 分段计费和方案设计问题
分段计费问题
A
1.某小区实行“阶梯水价”收费,若每户用水不超过10吨时,每吨收费a元;超过10吨,超过部分每吨加收1元.一用户12月份用水14吨,缴纳水费32元,根据题意列方程为( )
A.10a+4(a+1)=32
B.10a-4(a+1)=32
C.10(a+1)=32
D.14(a+1)-4=32
2.某商场为促销对顾客实行优惠,规定:
(1)如一次性购物不超过200元,则不给予优惠;
(2)如一次性购物超过200元,但不超过500元的部分,按标价给予九折优惠;
(3)如一次性购物超过500元的,其中500元按(2)给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠.
某人两次购物,分别付款160元与360元,如果他一次性购买这些商品,那么应付( )
A.468元 B.498元
C.504元 D.520元
B
3.“若要电费缴得少,节约用电要做好.”某市居民生活用电试行“阶梯电价”收费,标准如下:
居民月用电量x(千瓦时) 单价(元)
不超过210千瓦时 a
超过210千瓦时但不超过400千瓦时的部分 0.6
超过400千瓦时的部分 0.9
已知小丽家七月份用电200千瓦时,电费为110元.
(1)则上表中a= .
解:(1)0.55
(2)若小明家八月份用电240千瓦时,小亮家八月份用电410千瓦时,这两家八月份电费分别是多少元
解:(2)小明家:210×0.55+(240-210)×0.6=133.5(元),
小亮家:210×0.55+(400-210)×0.6+(410-400)×0.9=238.5(元).
答:这两家八月份电费分别是133.5元和238.5元.
(3)若小刚家八月份电费为247.5元,求小刚家八月份的用电量.
解:(3)设小刚家八月份的用电量x千瓦时.
因为247.5>229.5,
所以x>400,
所以210×0.55+(400-210)×0.6+(x-400)×0.9=247.5,
解得x=420.
答:小刚家八月份的用电量为420千瓦时.
方案设计问题
4.某通信公司手机话费收费有A套餐(月租费15元,通话费每分0.1元)和B套餐(无月租费,通话费每分0.15元)两种.当月通话时间为200分时,选择 套餐比较优惠;当月通话时间为 分时,A,B两种套餐收费一样.
B
300
5.某中学刚完成校舍的修建,有一些相同的办公室需要粉刷墙面.一天5名一级技工除粉刷了8个办公室外还多粉刷了60平方米的展示厅墙 面;同样时间内,4名二级技工粉刷了7个办公室,结果有10平方米的墙面未来得及粉刷完.已知每名一级技工比每名二级技工一天多粉刷 10平方米的墙面.
(1)求每个办公室需要粉刷的墙面面积.
(2)已知每天需要给每名一级技工支付费用180元,每天需要给每名二级技工支付费用160元.某中学有40个办公室的墙面和600平方米的展览墙需要粉刷,现有5名一级技工的甲工程队、4名二级技工的乙工程队要来粉刷墙面.该中学有两个选择方案,方案一:全部由甲工程队粉刷;方案二:全部由乙工程队粉刷.若使得总费用最少,则该中学应如何选择方案,请通过计算说明.
解:(2)选择方案一.说明如下:40×30+600=1 800(平方米).
方案一:
甲队每日工作量:8×30+60=300(平方米),1 800÷300=6(天),
6×5×180=5 400(元);
方案二:
乙队每日工作量:7×30-10=200(平方米),1 800÷200=9(天),
9×4×160=5 760(元).
因为5 400<5 760,
所以选择方案一总费用少.
D
6.某校计划购买若干台电脑,现在从两家商场了解到同一型号的电脑,每台报价为4 000元.甲商场经理说:“第一台按原价收费,其余每台优惠25%.”乙商场经理说:“每台优惠20%.”下列方案正确的是( )
A.若买4台,甲商场便宜
B.若买10台,两家商场一样
C.若买25台,乙商场便宜
D.若买30台,甲商场便宜
7.某商店为了促销一种定价为5元的商品,采取下列方式优惠销售:若一次性购买4件以上,则超过部分按原价的八折付款.如果小莹有42元钱,那么她最多可以购买该商品( )
A.9件 B.11件
C.10件 D.12件
A
8.学校为“合唱比赛”印制宣传册,某复印店的收费标准如下:
①印制册数不超过100册时,每册2元;
②印制册数超过100册但不超过300册时,每册按原价打八折;
③印制册数超过300册时,前300册每册按原价打八折,超过300册的部分每册按原价打六折.
学校在该复印店印制了两次宣传册,分别花费192元和576元,若学校把两次印制宣传册合并为一次,则可节省 .
76.8元或48元
9.为了美化环境,某社区需要进行绿化改造,现有甲、乙两个绿化工程队可供选择,已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米,甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造任务.
(1)甲、乙两队每天各能完成多少平方米的绿化改造任务
解:(1)设乙队每天能完成x平方米的绿化改造任务,则甲队每天能完成(x+200)平方米的绿化改造任务,
依题意,得x+200+x=800,解得x=300,所以x+200=300+200=500.
答:甲队每天能完成500平方米的绿化改造任务,乙队每天能完成300平方米的绿化改造任务.
(2)该社区需要进行绿化改造的区域共有12 000平方米,甲队每天的施工费用为600元,乙队每天的施工费用为400元,比较以下三种方案:
①甲队单独完成;
②乙队单独完成;
③甲、乙两队全程合作完成.
哪一种方案的施工费用最少
10.甲、乙两家商店出售同一品牌的乒乓球和乒乓球拍,定价相同,乒乓球拍60元/副,乒乓球20元/盒,两家商店的优惠方案如表所示.
商店 优惠方案
甲商店 每买一副球拍赠一盒乒乓球
乙商店 全部按定价的八折优惠
某班现需买乒乓球拍5副,乒乓球若干盒(不少于5盒).
(1)当购买乒乓球8盒时,请通过计算说明去哪家商店购买更合算.
解:(1)去甲商店购买所需费用为60×5+20×(8-5)=360(元);
去乙商店购买所需费用为(60×5+20×8)×80%=368(元).
因为360<368,
所以去甲商店购买更合算.
(2)当购买乒乓球多少盒时,在甲、乙两家店所需支付的费用相同
解:(2)设当购买乒乓球x盒时,在甲、乙两家店所需支付的费用相同,
依题意得60×5+20(x-5)=(60×5+20x)×80%,
解得x=10.
答:当购买乒乓球10盒时,在甲、乙两家店所需支付的费用相同.
(3)若该班有500元的购买经费,请你帮忙设计出最佳的购买方案,使购买到的乒乓球的盒数最多.
解:(3)因为在甲店购买5副球拍时赠送5盒乒乓球,再次购买乒乓球需要按原价购买,而乙商店所有商品均按定价的八折优惠,
所以在甲商店购买5副球拍,赠送5盒乒乓球,剩余的钱再去乙商店购买乒乓球,
所以(500-60×5)÷(20×80%)=12.5(盒),
所以最佳的购买方案为:在甲商店购买5副球拍获赠5盒乒乓球,再在乙商店购买12盒乒乓球.
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第三章 章末复习
一元一次方程及其解的概念
1.(南充中考)关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1,则a+m的值为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
C
3
等式的性质
D
A
一元一次方程的解法
5.(2022百色)方程3x=2x+7的解是( )
A.x=4 B.x=-4
C.x=7 D.x=-7
6.(2022海南)若代数式x+1的值为6,则x等于( )
A.5 B.-5
C.7 D.-7
C
A
A
8.(2022威海)按照如图的程序计算,若输出y的值是2,则输入x的值 是 .
1
9.解方程:(1)(2021桂林)4x-1=2x+5;
解:(1)4x-1=2x+5,
4x-2x=5+1,
2x=6,
x=3.
一元一次方程的应用
D
11.(2022西宁改编)在数学活动课上,兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验.如图,在轻质木杆O处用一根细线悬挂,左端A处挂一重物,右端B处挂钩码,每个钩码质量是50 g.若OA=20 cm,OB=40 cm,挂3个钩码可使轻质木杆在水平位置平衡(重物质量×OA=钩码质量×OB).设重物的质量为x g,根据题意列方程得 ( )
A.20x=40×50×3 B.40x=20×50×3
C.3×20x=40×50 D.3×40x=20×50
A
12.(2022铜仁)为了增强学生的安全防范意识,某校九(1)班班委举行了一次安全知识抢答赛,抢答题一共20个,记分规则如下:每答对一个得5分,每答错或不答一个扣1分.小红一共得70分,则小红答对的个数为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
13.(2022岳阳)我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题,原文如 下:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问:城中家几何 大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一 头,恰好取完,问:城中有多少户人家 在这个问题中,城中人家的户数为 ( )
A.25 B.75 C.81 D.90
B
B
14.(2022长春)《算法统宗》是中国古代重要的数学著作,其中记载:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房 空.其大意为:今有若干人住店,若每间住7人,则余下7人无房可住;若每间住9人,则余下一间无人住.设店中共有x间房,可求得x的值为
.
8
15.(2021陕西)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时,按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额,与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等.求这种服装每件的标价.
解:设这种服装每件的标价是x元,
根据题意,得
10×0.8x=11(x-30),
解得x=110.
答:这种服装每件的标价是110元.
16.(2022永州)受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响,小勇爱上了雪上运动.一天,小勇在滑雪场训练滑雪,第一次他从滑雪道A端以平均(x+2)米/秒的速度滑到B端,用了24秒;第二次从滑雪道A端以平均 (x+3)米/秒的速度滑到B端,用了20秒.
(1)求x的值;
解:(1)由题意得24(x+2)=20(x+3),
解得x=3.
故x的值为3.
(2)设小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒,所用时间为t秒,请用含t的代数式表示v(不要求写出t的取值范围).
17.(2022镇江)某公司专业生产某种产品,6月初(当月月历如图)接到一份求购5 000件该产品的订单,要求本月底完成,7月 1日按期交货.
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
经盘点目前公司已有该产品库存2 855件,补充原材料后,从本月7日开始生产剩余数量的该产品.已知该公司除周六、周日正常休息外,每天的生产量相同.但因受高温天气影响,从本月10日开始,每天的生产量比原来减少了25件,截止到17日生产结束,库存总量达3 830件.如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品,能否按期完成订单 请说明理由.如果不能,请你给该公司生产部门提出一个合理的建议,以确保能按期交货.
解:不能.理由如下:
设从本月10日开始每天的生产量为x件,
根据题意,得3(x+25)+6x=3 830-2 855,
解得x=100.
如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品,截止到月底生产的天数为9天,那么这9天可生产900件.
因为900+3 830=4 730,4 730<5 000,
所以不能按期完成订单.因为(5 000-3 830)÷9=130,
所以为确保能按期交货,从20日开始每天的生产量至少要达到130件.
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3.1.2 等式的性质
等式的性质
C
B
D
4.已知5a+8b=3b+10,利用等式的性质可求得a+b的值是 .
2
解:(1)正确,依据等式的性质2,两边同乘-5即可.
(2)错误,当c=0时,不能同时除以c.
解:(3)正确,先依据等式的性质2,两边同乘-2,再依据等式的性质1,两边同时加上m即可.
(4)正确,先依据等式的性质1,两边同时加上5,再依据等式的性质2,两边同乘3即可.
利用等式的性质解方程
6.方程2x+3=7的解是( )
A.x=5 B.x=4
C.x=3.5 D.x=2
7.由2x-7=3x+2,得2x-3x=2+7,在此变形中方程的两边同时加上( )
A.3x+7 B.-3x+7
C.3x-7 D.-3x-7
8.关于x的方程3x+2m=9的解是x=1,则m的值是 .
D
B
3
解:(1)x-4=7,
两边同时加上4,得x-4+4=7+4,
即x=11.
解:(3)x-4=2-5x,两边同时加上5x+4,得
x-4+5x+4=2-5x+5x+4,化简,得6x=6,
两边同时除以6,得x=1.
C
A
A B C D
D
1
1
15.下面是小明将等式x-4=3x-4进行变形的过程:
x-4+4=3x-4+4①,
x=3x②,1=3③.
(1)①的依据是 ;
解:(1)等式的性质1
(2)小明出错的步骤是 ,错误的原因是 ;
(3)给出正确的解法.
解:(2)③ 在不确定x是否为0的情况下,等式两边同时除以x
(3)x-4=3x-4,x-4+4=3x-4+4,
x=3x,x-3x=0,
-2x=0,x=0.
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3.3 解一元一次方程(二)——去括号与去分母
第1课时 去括号解一元一次方程
去括号解一元一次方程
C
1.方程7(3-x)-5(x-3)=8去括号正确的是( )
A.21-x-5x+15=8
B.21-7x-5x-15=8
C.21-7x-5x+15=8
D.21-x-5x-15=8
B
3.当x= 时,代数式5x+3的值比代数式3x-1的值大2.
4.如果式子2(x+1)与3(2-x)的值互为相反数,那么x的值为 .
-1
8
5.解下列方程:
(1)4x-3(2-x)=5;
(2)3(4x-1)=5(3x+2)-8.
一元一次方程的应用
6.端午节买粽子,每个肉粽比素粽多1元,购买10个肉粽和5个素粽共用去70元,设每个肉粽x元,则可列方程为( )
A.10x+5(x-1)=70
B.10x+5(x+1)=70
C.10(x-1)+5x=70
D.10(x+1)+5x=70
A
7.一份数学试卷有20道选择题,规定答对一题得5分,不做或做错一题扣1分,结果某学生得分为76分,则他做对的题有( )
A.16道 B.17道
C.18道 D.19道
8.甲、乙两个足球队连续进行对抗赛,规定胜一场得3分,平一场得 1分,负一场得0分,共赛10场,甲队保持不败,得22分,甲队胜 场.
A
6
9.某区域需要将一段长为120米的绿化带进行整修,整修任务由甲、乙两个工程队先后接力共同完成.已知甲工程队每天可以整修8米,乙工程队每天可以整修6米,两个工程队共用了18天完成整修任务,问甲、乙两个工程队整修绿化带分别参加了几天
解:设甲工程队整修绿化带参加了x天,则乙工程队整修绿化带参加了(18-x)天,
依题意有8x+6(18-x)=120,
解得x=6,所以18-x=12.
故甲工程队整修绿化带参加了6天,乙工程队整修绿化带参加了12天.
10.下列去括号中正确的是( )
A.由3x-(2x-1)=4,得3x-2x-1=4
B.由-4(x+1)+3=x,得-4x+4+3=x
C.由2x+7(x-1)=-9x+5,得2x-7x-7=-9x+5
D.由3-[2x-4(x+1)]=2,得3-2x+4x+4=2
D
A
12.鸡兔同笼问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何 ”如图是嘉淇解题过程,需要补足符号所代表的内容,则下列判断不正确的是( )
A.□代表(35-x)
B.☆代表鸡的足数
C.○代表2
D.△代表2
解:设鸡有x只,那么兔子有□只.
因为☆+兔的足数=94,
所以列方程为○x+△(35-x)=94,
解这个方程,得x=23,
从而35-23=12.
答:鸡有23只,兔子有12只.
D
13.用表示大于m的最小整数,例如<1>=2,<3.2>=4,<-3>=-2.用max{a,b}表示a,b两数中较大的数,例如max{-2,4}=4,按上述规定,如果整数x满足max{x,-3x}=-2+11,那么x的值是 .
3或-9
15.用“★”定义一种新运算:对于任意有理数a和b,规定a★b=ab2+ 2ab+a,如:1★3=1×32+2×1×3+1=16.
(1)(-2)★3= ;
解:(1)-32
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3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项
第1课时 合并同类项解一元一次方程
合并同类项解一元一次方程
D
1.下列解方程的过程中,合并同类项不正确的是( )
A.由3x-2x=4,得x=4
B.由2x-3x=3,得-x=3
C.由-7x+2x=-1+5,得-5x=4
D.由5x-2x+3x=-10-2,得6x=-8
2.方程5x-x=-1-7的解是( )
A.x=-2 B.x=2 C.x=-1 D.x=1
A
B
解:(1)2x-4x+3x=5,合并同类项,得x=5.
(3)8y-7y-12y=-6+1;
(4)7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3.
(4)7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3,
合并同类项,得6x=-78,
系数化为1,得x=-13.
合并同类项解方程的应用
A
6.同样一件衣服,A商店的进价比B商店进价高10%,若两商店的利润率分别为50%和20%,并且A商店的售价比B商店的售价高18元,那么A商店的进价是( )
A.60元 B.32元 C.40元 D.44元
D
7.用含盐16%的甲种盐水和含盐25%的乙种盐水,配制成含盐20%的盐水36 kg,则需甲种盐水( )
A.20 kg B.16 kg
C.26 kg D.10 kg
A
9.定义“※”运算为“a※b=ab+2a”,若(3※x)+(x※3)=14,则x等于 ( )
A.1 B.2
C.-1 D.-2
A
A
3
24
13.一个三位数,三个数位上的数字之和是18,个位上的数是百位上的数的3倍,十位上的数是百位上的数的2倍,求这个三位数.
解:设百位上的数字为x,则个位上的数字为3x,十位上的数字为2x,
根据题意,得x+2x+3x=18,
合并同类项,得6x=18,
系数化为1,得x=3,
所以十位上的数字为2x=6,个位上的数字为3x=9,
故这个三位数为369.
14.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题,原文如下:三百七十八里关,初行健步不为难.次日脚疼减一半,六朝才得到其关.要见次日行里数,请公仔细算相还.大意为:有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了多少里路
15.如图是某月的日历,用“U”型框(如阴影部分)覆盖任意七个数并求它们的和,请你运用所学的知识,探索这七个数的和不可能是 ( )
A.63 B.84
C.133 D.161
A
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第2课时 去分母解一元一次方程
去分母解一元一次方程
D
C
B
4
解:(1)去分母,得3(x-3)-2(2x+1)=6,
去括号,得3x-9-4x-2=6,
移项,得-x=17,
系数化为1,得x=-17.
解:(3)去分母,得
6(x+2)+3x-2(2x-1)-24=0,
去括号,得6x+12+3x-4x+2-24=0,
移项,得6x+3x-4x=-12-2+24,
合并同类项,得5x=10,
系数化为1,得x=2.
一元一次方程的应用
C
7.甲、乙两地相距400 km,A车从甲地开出前往乙地,速度为60 km/h,B车从乙地开出前往甲地,速度为90 km/h.则两车相遇的地点离甲地
km.
160
8.一艘船从甲码头到乙码头顺流而行,用了2.5 h;从乙码头返回甲码头逆流而行,用了3 h.已知水流的速度是2 km/h,求船在静水中的平均速度.
解:设船在静水中的平均速度为x km/h,
则顺流速度为(x+2)km/h,
逆流速度为(x-2)km/h,
依题意,得3(x-2)=2.5(x+2),
解得x=22.
答:船在静水中的平均速度为22 km/h.
D
C
A
x=-13
24
14.甲车和乙车分别从A,B两地同时出发相向而行,分别去往B地和A地,两车匀速行驶2 h相遇,相遇时甲车比乙车少走了20 km.相遇后,乙车按原速继续行驶1.8 h到达A地.
(1)乙车的行驶速度是多少千米/时
解:(1)设乙车的行驶速度为x km/h,
依题意得1.8x=2x-20,
解得x=100.
答:乙车行驶速度为100 km/h.
(2)相遇后,甲车先以100 km/h的速度行驶了一段路程后,又以120 km/h的速度继续行驶,刚好能和乙车同时到达目的地,试求相遇后,甲车以100 km/h的速度行驶的路程和以120 km/h的速度行驶的路程各是多少千米.
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