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分课时教学设计
第六课时《实际问题与一元二次方程》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。
学习者分析 大量事实表明学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题，而列一元二次方程解决实际问题的数量关系比可以用一元一次方程解实际问题的数量关系要复杂一些。对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历，收集信息处理信息的能力较弱，这就构成了本节课的难点。
教学目标 1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。
教学重点 建立数学模型，找等量关系，列方程.
教学难点 发现实际问题的等量关系
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤 1）审：分清已知未知，明确数量关系； 2）设：设未知数； 3）列：列方程； 4）解：解方程； 5）验：根据实际验结果； 6) 答：写出答案。 学生活动1： 学生思考，回答问题 活动意图说明： 先回顾解一元二次方程及列方程解决实际问题的相关知识，为本节课学生学习利用一元二次方程解决 问题做好铺垫。环节二：新知探究教师活动2： 【问题】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【提问1】本题要解决什么问题？（传播问题） 【提问2】第一轮、第二轮中传染源人数和被传染人数各是多少？如何表示？ 【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗 【问题】如果按照这样的传播速度，第三轮传染过后，总共有多少人得流感？ 学生活动2： 学生独立思考，尝试给出答案 （设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则 第一轮传染源人数为1人，被传染人数为x人， 第二轮传染源人数为（x+1）人，被传染人数为 x（x+1）人） 学生独立思考，给出答案。 等量关系:初始传染源人数+第一轮被传染人数+ 第二轮被传染人数=两轮后传染总人数 解设每轮传染中平均一个人传染了x个人 列方程 1+x+x(1+x) = 121 解方程得x1=10，x2=-12 （不合题意，舍去） 答：平均一个人传染了 10 个人 学生独立思考，尝试给出答案。活动意图说明：将学生放置在实际问题的背景下，针对具体情景分析其中的数量关系。学生理解 的难点就是如何表示每一轮的传染源人数和被传染人数。因此在此设问，以帮助学生理解，让学生 经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。环节三：新知探究 教师活动3： 【提问】若某人感染流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，填空： 学生活动3： 学生独立思考，回答，教师引导与纠正 活动意图说明：通过归纳，明确“传播问题”的基本特征，以及解决此类问题的一般过程和方法。环节四：典例精析教师活动4： 例、某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人． (1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）； (2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？ 学生活动4： 学生板演，然后师生共同纠错 解：由题意可知：第一轮传染后患病的人数 人， (2)解：设在每轮传染中一人将平均传给人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵，都不是正整数， ∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．活动意图说明：让学生加深对“传播问题”的掌握。环节五：新知讲解教师活动5： 【提问1】什么是下降额？下降率如何计算？ 下降额=下降前的量-下降后的量 下降率= = 【提问2】什么是增长额？增长率如何计算？ 增长额=增长后的量-增长前的量 增长率= = 问题：两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 一年后、两年后甲、乙两种药品成本各是多少元？如何表示？ 设甲种药品成本的年平均下降率为 x，一年后甲种药品成本为-x）元，两年后甲种药品成本为元． 设乙种药品成本的年平均下降率为 y，一年后乙种药品成本为-y）元，两年后乙种药品成本为元． 【提问】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗 【问题】经过计算，你能得出什么结论？ 【问题】成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？ 【问题】应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 学生活动5： 先由学生回答，最后给出答案 学生独立思考，尝试给出答案 甲种药品成本的年平均下降额为 （5000-3000）÷2=1000（元）， 乙种药品成本的年平均下降额为 （6000-3600）÷2=1200（元）． 显然，乙种药品成本的年平均下降额较大，但是年 平均下降额（元）不等同于年平均下降率 （百分数）。 学生独立思考，给出答案 等量关系:平均变化率为a， 变化前的数量=变化后的数量 解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x 列方程得=3000 解方程得 x1≈0.225，x2≈1.775（舍去）． 答：甲种药品成本的年平均下降率为22.5% 解：设乙种药品成本的年平均下降率为 y 列方程得=3600 解方程得 x1≈0.225，x2≈1.775（舍去）． 答：乙种药品成本的年平均下降率为22.5% 学生独立思考，给出答案。 两种药品成本的年平均下降率相等 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大。 成本下降额表示绝对变化量，成本下降率 表示 相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况。活动意图说明：将学生放置在实际问题的背景下，针对具体情景分析其中的数量关系。学生理解 的难点就是如何表示“第一个时间段”,“第二个时间段”变化前、后的量与平均变化率的关系。 因此在此设问，以帮助学生理解。环节六：新知讲解教师活动6： 【问题】要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬 等宽，左、右边衬 等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ 上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少？如何表示？ 本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗 学生活动6： 学生独立思考，尝试给出答案 封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比 也应是9∶7。设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm 和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之 比是： (27-9a): (21-7a)= 9(3-a):7(3-a)= 9:7） 设上、下边衬的宽均为9y cm ，左、右边衬的宽 均为7y cm， 由题意得 (27-18y)(21-14y)=27 解方程得y1=（不合题 意，舍去） 所以9y=1.8 cm，7y=1.4 cm 答：上、下边衬的宽度为1.8cm，左、右边衬的 宽度为1.4cm 活动意图说明：将学生放置在实际问题的背景下，针对具体情景分析其中的数量关系。学生理解 的难点就是探究上、下边衬与左、右边衬的宽度比。因此在此设问，以帮助学生理解，通过找 等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力环节七：典例精析教师活动7： 出示问题： 例、如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个小矩形，水渠应挖多宽？ 学生活动7： 学生思考，给出答案 解：设水渠的宽应挖 x m . ( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885 解得 x1=105(舍去），x2=1 答：水渠应挖1米宽 活动意图说明：通过列式，提高学生分析和解决问题的能力。
板书设计 列一元二次方程解应用题的步骤： ①审题，明确已知量和未知量，找出等量关系式； ②设未知数，比较不同的未知量，找到最合适的未知量； ③列方程，合理排布等量关系式； ④解方程，利用合适的方法解方程； ⑤检验并写出答案，务必进行验根，并进行回答。
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ） A．8 B．10 C．7 D．9 2．某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 3.如图，准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为_____米． 4．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程________ ． 选做题： 5. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由． 【综合拓展类作业】 6． “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.电影《长津湖》票房最终突破了57亿元．第一天票房约4.1亿元，三天后票房累计总收入达14.22亿元，如果第二天，第三天票房收入按相同的增长率增长，增长率设为x．则可列方程为（ ） A．4.1(1+x)＝14.22 B．4.1(1+x) ＝14.22 C．4.1+4.1(1+x) ＝14.22 D．4.1+4.1(1+x)+4.1(1+x) ＝14.22 2.如图，一块长和宽分别为30cm和20cm的矩形铁皮，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，使它的侧面积为272cm ，则截去的正方形的边长是（ ） A．4cm B．8.5cm C．4cm或8.5cm D．5cm或7.5cm 选做题： 3.某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又生长出同样多的小支根，而其余支根生长出一半数目的小支根，主根、支根、小支根的总数是109个，这种植物的主根长出多少个支根？ 【综合拓展类作业】 4.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： 1）每千克核桃应降价多少元？ 2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
教学反思 本节课抓住了培养方程模型思想的关键问题，通过设置恰当的问题，循序渐进地培养学生的审题能力和审题习惯，再由学生独立完成同类题，最后小组讨论.通过辨析研讨、总结提升等手段和途径，进一步激发学生的学习热情，培养他们动脑和思辨习惯。 本节课还重在使学生经历和体会用各种不同的方法寻找数量关系，突出建立方程模型的一般方法，强调了问题中的基本数量关系和相等关系。因此，本节课在培养学生分析问题的能力方面做得非常到位。 我们生活在一个丰富多彩的世界，其中大量问题涉及数量关系的分析，方程是刻画实际问题中数量关系的一种重要的数学模型.因此，我们的教学要让学生通过探究活动，经历从实际问题抽象岀方程模型的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一种有效的数学模型。
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21.3实际问题与一元二次方程
人教版九年级上册
教材分析
一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。
教学目标
1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。
新知导入
【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤
1）审：分清已知未知，明确数量关系；
2）设：设未知数；
3）列：列方程；
4）解：解方程；
5）验：根据实际验结果；
6) 答：写出答案。
新知讲解
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
[分析] 1）开始传染源_________人；
2）第一轮后有_________人患了流感；
3）第二轮传染中，已经患病的人平均又传染了x人，第二轮后有___________人患了流感；
x+1
x(x + 1)
1
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
一轮传染
二轮传染
具体传播过程
…
……
……
……
……
…
x
x(x+1)
列方程 1+x+x(1+x) = 121
答：平均一个人传染了 10 个人．
解方程，得x1=10，x2=-12 （不合题意，舍去）
新知讲解
【问题】如果按照这样的传播速度，第三轮传染过后总共会有多少人得流感？
[分析]经过两轮传染后共有_______个人患了流感,平均每轮传染________人，则第三轮有___________人患了流感。
121
10
1210
121+121×10 = 1 331（人）
前2轮患病人数
第三轮患病人数
三轮总共患病人数
归纳总结
【提问】若某人感染流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，填空：
起始人数 传播人数 传播后人数
第一轮 1 x
第二轮
第三轮
… … … …
第n轮 m
x+1
x+1
x(x+1)
x(x+1)+x+1=
x(x+1)+x+1
x[x(x+1)+x+1]
x[x(x+1)+x+1]+x(x+1)+x+1
=
mx
mx+m =m
解决“传播问题”的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数。
典例精析
例、某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
典例精析
【解析】
(1)解：由题意可知：第一轮传染后患病的人数人，
(2)解：设在每轮传染中一人将平均传给人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵，都不是正整数，
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．
新知讲解
【提问】什么是下降额？下降率如何计算？
下降额=下降前的量-下降后的量
增长额=增长后的量-增长前的量
下降率= =
【提问】什么是增长额？增长率如何计算？
增长率= =
新知讲解
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600）÷2=1200（元）．
甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000（元），
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大，但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）。
新知讲解
解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x
一年后甲种药品成本为__________________元，
两年后甲种药品成本为____________ 元．
列方程得=3000
解方程得 x1≈0.225，x2≈1.775（舍去）．
答：甲种药品成本的年平均下降率为22.5%
-x）
【补充】下降率是用减少的数除以原数，则所得结果必定小于1，因此不能大于或等于1。
新知讲解
解：设乙种药品成本的年平均下降率为 y
一年后乙种药品成本为____________ 元，
两年后乙种药品成本为____________ 元．
列方程得=3600
解方程得 x1≈0.225，x2≈1.775（舍去）．
答：乙种药品成本的年平均下降率为22.5%
1-y）
新知讲解
【问题】经过计算，你能得出什么结论？
【问题】成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？
【问题】应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
成本下降额表示绝对变化量，
成本下降率表示相对变化量，
两者兼顾才能全面比较对象的变化状况。
两种药品成本的年平均下降率相等
成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大。
新知讲解
要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？
27
21
【分析】封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7。
设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是：
9a
7a
(27-9a): (21-7a)= 9(3-a):7(3-a)= 9:7
新知讲解
解：设上、下边衬的宽均为9y cm ，左、右边衬的宽均为7y cm，
由题意得 (27-18y)(21-14y)=27
整理,得：16y 2 - 48y + 9 = 0
解方程，得y=
则y1=舍去）
答：上、下边衬的宽度为1.8cm，左、右边衬的宽度为1.4cm
所以9y=1.8 cm，7y=1.4 cm
【提问】为什么舍去2.8？请说明原因？
典例精析
例、如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个小矩形，水渠应挖多宽？
解：设水渠的宽应挖 x m .
92×60 - 92x - 2×60x+ 2x2 = 6×885
解得 x1=105(舍去），x2=1
答：水渠应挖1米宽。
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
2．某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为_____米．
4．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程________ ．
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解：1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：x（35﹣2x）＝150，
解得：x1＝10，x2＝7.5，
当x1＝10时，35﹣2x＝15＜18，
当x2＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去），
则养鸡场的宽是10m，长为15m．
2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：x（35﹣2x）＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，
因为方程没有实数根，所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．
课堂练习
【综合拓展类作业】
6．“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：（1）设亩产量的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）第四阶段的亩产量为（公斤），
∵，∴他们的目标可以实现．
课堂总结
实际问题与一元二次方程
步骤
审，设，列，解，检验，答
类型
1、传播问题
2、平均增长率问题
3、几何面积问题
板书设计
21.3实际问题与一元二次方程
列一元二次方程解应用题的步骤：
①审题，明确已知量和未知量，找出等量关系式；
②设未知数，比较不同的未知量，找到最合适的未知量；
③列方程，合理排布等量关系式；
④解方程，利用合适的方法解方程；
⑤检验并写出答案，务必进行验根，并进行回答。
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.电影《长津湖》票房最终突破了57亿元．第一天票房约4.1亿元，三天后票房累计总收入达14.22亿元，如果第二天，第三天票房收入按相同的增长率增长，增长率设为x．则可列方程为（ ）
A．4.1(1+x)＝14.22 B．4.1(1+x) ＝14.22
C．4.1+4.1(1+x) ＝14.22 D．4.1+4.1(1+x)+4.1(1+x) ＝14.22
2.如图，一块长和宽分别为30cm和20cm的矩形铁皮，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，使它的侧面积为272cm ，则截去的正方形的边长是（ ）
A．4cm B．8.5cm C．4cm或8.5cm D．5cm或7.5cm
D
C
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又生长出同样多的小支根，而其余支根生长出一半数目的小支根，主根、支根、小支根的总数是109个，这种植物的主根长出多少个支根？
解：设这种植物的主根长出了个支根.
依据题意得：1++·+·=109，
解得：，（不合题意，舍去）.
答：这种植物的主根长出了12个支根.
作业布置
【综合拓展类作业】
4.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
1）每千克核桃应降价多少元？
2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
作业布置
【综合拓展类作业】
解：1）设每千克核桃应降价x元.
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，
化简，得 x2﹣10x+24=0，
解得x1=4，x2=6.
答：每千克核桃应降价4元或6元.
2）由1）可知每千克核桃可降价4元或6元.
∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克核桃应降价6元
此时，售价为：60﹣6=54（元），
答：该店应按原售价的九折出售．
谢谢
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二十一章
课标要求 “数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。本章的具体要求：能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组；理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系；了解一元二次的根与系数的关系；知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题；能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性，建立模型观念。
内容分析 “一元二次方程”主题单元结构包括一元二次方程的概念、解法和一元二次方程的应用。第一节研究一元二次方程的概念及一般形式；第二节研究用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；第三节研究一元二次方程的应用。一元二次方程是在学习了一元一次方程、二元一次方程组等的基础上进一步学习，是对以前实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，它也是一种数学建模的方法，同时又是以后学习一元二次不等式、二次函数等知识的基础，是学好高中数学的基础。此外，学习一元二次方程对其他学科有重要意义，因此，它在初中数学中占有重要的地位。结合学生的实际水平，采用探索学习方式，以类比发现法为主，讨论法、练习法为辅的教学方法，教学中力求体现“问题情境一数学模型一求解一解释应用”的模式，借助多媒体辅助教学指导学生通过观察直观形象的演示,从具体的问题情境中抽象出数学问题，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性的解决问题，有效的发挥学生的思维能力。
学情分析 九年级的学生，在讲本节课之前，已经系统的学习了一元一次方程及相关概念，学习了整式、分式和二次根式，从知识结构上看他们已经具备了继续探一元二次方程的基础。这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有一定的提高。但是通过近一阶段的教学，也发现很多问题：解一元一次方程、整式乘法、移项、去分母、去括号、分解因式、合并同类项、乘法公式的应用都还存在一问题，在本章知识的教学中，要加强学生计算能力的培养，巩固以前所学的知识。
单元目标 （一）教学目标1、联系一元一次方程、方程组和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型。2、了解一元二次方程及其相关概念，理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法。3、理解配方法的意义，用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程(数字系数)，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。4、掌握根的判别式的有关应用，理解一元二次方程两根与系数的关系。5、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题，解决问题的意识和能力。6、经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力。（二）教学重点、难点教学重点：一元二次方程的四种解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及一元二次方程的实际应用。教学难点：列一元二次方程解决实际问题和转化思想的灵活运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数21.1 一元二次方程121.2 解一元二次方程421.3实际问题与一元二次方程1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务21.1一元二次方程通过一元一次方程的概念，探索归纳一元二次方程的概念，提高学生类比、归纳、总结的能力; .掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。学生能够根据概念判断出一元二次方程；正确指出一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项任务1.出示问题：一元一次方程的概念，一元一次方程的形式任务2.出示四个问题来探究一元二次方程任务3.步步追问，得出一元二次方程的概念任务4.出示例题任务5.归纳总结21.2.1配方法1.通过平方根的意义，解形如x2=p(p≥0)的方程，再通过数学转化的思想，解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程；2.掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤；通过配方法将一元二次方程变形，让学生进一步体会转化的思想，增强他们的数学应用意识和能力，激发学生学习的兴趣。会利用直接开平方法解一元二次方程；掌握利用配方法解一元二次方程的步骤，正确解出一元二次方程；掌握转化思想在解题中的应用。任务1：由实际问题得出直接开平方法解一元二次方程；任务2：探究配方法解一元二次方程的步骤；任务3：通过例题进一步理解掌握因式分解法；21.2.2公式法1.会用公式法解一元二次方程；2.理解用根的判别式判别根的情况；3.通过推导求根公式的过程，加强推理能力的训练，进一步发展逻辑思维能力， 体验类比、转化、降次的数学思想。会利用公式法解一元二次方程；掌握用判别式判断根的情况；会推导求根公式。任务1：由配方法推导出根的判别式；任务2：得出一元二次方程的求根公式任务3：通过例题掌握用公式法解一元二次方程。21.2.3因式分解法1.利用因式分解法解一元二次方程；2.能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法；3.通过学生讨论解一元二次方程的方法，理 解对于某些特殊的一元二次方程，利用因式分解法解起来较为简单，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。让学生再次体会“降次”的思想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。理解因式分解法解一元二次方程的原理，体会“降次”方法的优势；能判断什么情况用因式分解法解一元二次方程简便；会利用因式分解法准确求一元二次方程的解。任务1：探究解方程的方法任务2：思考一元二次方程是如何降次的，得出因式分解法任务3：通过例题掌握用因式分解法解一元二次方程。21.2.4一元二次方程根与系数的关系1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算；3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，掌握由特殊一般-特殊的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神。学生掌握一元二次方程根与系数的关系；会利用一元二次方程根与系数的关系解方程。任务1：思考从因式分解法还原到一般式得出根与系数的关系任务2：用求根公式验证根与系数的关系任务3：通过例题会用根与系数的关系求两根的和与积。21.3实际问题与一元二次方程能够利用一元二次方程解决有关实际问题；能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题，解决问题的意识和能力学生能找出题目的等量关系列出方程，并能注意解的合理性，进行取舍。任务1.传播问题任务2.平均增长率问题任务3.几何面积问题
《第二十一章 一元二次方程》单元教学设计
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