北师大版九年级数学上册试题 21.2二次函数的图像和性质同步练习（2课时含答案）

21.2二次函数的图像和性质
第一课时
一、单选题
1．抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，3）
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（　　）
A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0）
3．若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D(, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( ).
A．y1< y2< y3 B．y1 < y3< y2 C．y3< y2< y1 D．y2< y3< y1
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
下列说法正确的是(　　)
A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线x＝－
5．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
二、填空题
6．已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是－5，最大值是_________.
7．二次函数y＝x2－2x＋3的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位后，所得二次函数的解析式为_______________．
8．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是_____（填写序号）．
9．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是_____．
三、解答题
10．已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
11．关于x的二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标.
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形.是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
13．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．
（1）求点的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
14．已知函数（，为常数）的图象经过点.
（1）求，满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是，当的值变化时，求关于的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．
第二课时
一、单选题
1．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3
2．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
4．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：
①abc＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③9a﹣3b+c=0；
④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；
⑤5a﹣2b+c＜0．
其中正确的个数有（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是　　
A. B．
C． D．
二、填空题
6．若抛物线C1：y=x2+mx+2与抛物线C2：y=x2﹣3x+n关于y轴对称，则m+n=_____．
7．已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为__．
8．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是______．
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③4b+c＜0；④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）_____．
三、解答题
10．如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．
11．如图，已知二次函数的图象经过点.
（1）求的值和图象的顶点坐标。
（2）点在该二次函数图象上.
①当时，求的值；
②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.
12．已知抛物线经过点，
求该抛物线的函数表达式；
将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
13．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)设x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，若y＝x12+x22+4x1x2，求出y与m的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，若﹣1≤m≤2时，求y的取值范围．
14．一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.
第一课时答案
一、单选题
A．D.D．D.A．
二、填空题
6．4.
7．y＝x2＋4
8．①③④．
9．﹣7＜m＜﹣3．
三、解答题
10．
解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），B（－1，0），
∴抛物线的解析式为；，即，
（2）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
（1）根据抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式．
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．
11．
解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将C（0，3）代入得：3=-3a，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
（2）y=-x2+2x+3=-．
∴对称轴：直线；顶点坐标为.
12．（1）将B、C两点的坐标代入，得
， 解得.
∴二次函数的解析式为y=x2-2x-3.
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；.
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E.
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；.
连接PP′，则PE⊥CO于E，
.
∵C（0，-3），.
∴CO=3，.
又∵OE=EC，.
∴OE=EC=.
∴y= ；.
∴x2-2x-3= ，
解得（不合题意，舍去）.
∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）.
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），
设直线BC的解析式为：y=kx+d，.
则，.
解得： .
∴直线BC的解析式为y=x-3，.
则Q点的坐标为（x，x-3）；.
当0=x2-2x-3，.
解得：x1=-1，x2=3，.
∴AO=1，AB=4，.
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ.
=AB OC+QP BF+QP OF.
=×4×3+ ( x2+3x)×3.
= (x )2+.
当x＝时，四边形ABPC的面积最大.
此时P点的坐标为(， )，四边形ABPC的面积的最大值为．
13．（1）解：∵直线与轴、轴交于、．
∴（，0），（0，4）
∴（5，4）
（2）解：抛物线过（，）
∴．
∴
∴对称轴为．
（3）解：①当抛物线过点时．
，解得．
②当抛物线过点时．
，解得．
③当抛物线顶点在上时．
此时顶点为（1，4）
∴，解得．
∴综上所述或或．
14．
（1）将点代入，
得，
∴；
（2），，
∴，
∴，
（3），
对称轴，
当时，，函数不经过第三象限，则；
此时，当时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当时，，函数不经过第三象限，则，
∴，
∴，
当时，函数有最小值，
当时，函数有最大值，
当时，函数有最大值；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值时，，
∴或，
∵，
∴；
当最大值时，，
∴或，
∵，
∴；
综上所述或；
第二课时答案
一、单选题
D．C．B．B．C．
二、填空题
6．5．
7．．
8．x＞
9．②③⑤
三、解答题
10．
（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
解得
二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵C（0，3），
∴
∴点P的纵坐标，
当时，即
解得（不合题意，舍），
∴点P的坐标为
（3）如图2，
P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
解得
直线BC的解析为y=﹣x+3，
设点Q的坐标为（m，﹣m+3），
PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
OA=1，
S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ
当m=时，四边形ABPC的面积最大．
当m=时，，即P点的坐标为
当点P的坐标为时，四边形ACPB的最大面积值为．
11．
（1）解：把代入，得，
解得.
∵，
∴顶点坐标为.
（2）①当m=2时，n=11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴-2＜m＜2，
∴2≤n＜11.
12．把，代入抛物线解析式得：，
解得：，
则抛物线解析式为；
抛物线解析式为，
将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为．
13．
(1)∵△＝m2﹣4(m﹣2)＝(m﹣2)2+4＞0，
∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)∵ x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，
∴y＝x12+x22+4x1x2＝(x1+x2)2+2x1x2＝(﹣m)2+2(m﹣2)＝m2+2m﹣4；
(3)∵y＝m2+2m﹣4＝(m+1)2﹣5，
∴顶点(﹣1，﹣5)，
又∵﹣1≤m≤2，∴当x＝﹣1时，y最小值＝﹣5，
当x＝2时，y最大值＝4，
∴﹣5≤y≤4．
14．
解：（1）由题意得，k+4=2，解得k=-2，
∴一次函数解析式为：y=-2x+4
又二次函数顶点横坐标为0，
∴顶点坐标为（0,4）
∴c=4
把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2
（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0
∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，
∴W=OA2+BC2=
∴当m=1时，W取得最小值7