21.3二次函数与一元二次方程同步练习北师大版九年级数学上册试题 （含答案）
文档属性
| 名称 | 21.3二次函数与一元二次方程同步练习北师大版九年级数学上册试题 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 344.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-18 14:17:59 | ||
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文档简介
21.3二次函数与一元二次方程
第一课时
一、单选题
1．已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
2．若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是﹣3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ）
A．x=﹣3 B．x=﹣2 C．x=﹣1 D．x=1
3．如图是二次函数的部分图象，则的解的情况为（ ）
A．有唯一解 B．有两个解 C．无解 D．无法确定
4．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），那么抛物线与x轴的另一个交点是（ ）
A．（3，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（6，0）
5．函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
二、填空题
6．若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则的值为______．
7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有_____．
①abc＞0
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3
③2a+b=0
④当x＞0时，y随x的增大而减小
8．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．
9．抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________
三、解答题
10．已知函数y=ax2与直线y=2x﹣3的图象交于点A（1，b）．
（1）求a，b的值；
（2）求两函数图象另一交点B的坐标．
11．已知点A（1，1）在抛物线y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1上
（1）求m、n的关系式；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求出它的解析式．
12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＜0
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
13．已知二次函数（为常数）.
（1）求证：不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点；
（2）当取什么值时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方？
14．已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值：
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.
第二课时
一、单选题
1．已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数y=x2+bx﹣t的对称轴为x=2．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣4≤t＜5 B．﹣4≤t＜﹣3 C．t≥﹣4 D．﹣3＜t＜5
二、填空题
6．若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为_____.
7．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ．
8．已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____________．
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，
正确的结论是_____（只填序号）
三、解答题
10．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
11．已知二次函数（m是常数）
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？
12．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．
13．如图，抛物线经过和.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）直接写出当时，的取值范围；
（3）若点在该函数图像上，求点的坐标.
14．阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C=0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2=；x1 x2=．
应用：（1）方程x2﹣2x+1=0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2= ，x1 x2= ．
（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若满足|x1|=x2，求实数m的值．
第一课时答案
一、单选题
A．C.C.C．A．
二、填空题
6．﹣4
7．②③
8．－1或2或1
9．，.
三、解答题
10．（1）解：函数y=ax2与直线y=2x﹣3的图象交于点A（1，b）， ∴A（1，b）代入y=2x﹣3 得 b=2×1﹣3=﹣1，
∴A（1，﹣1），
∴﹣1=a 12 ， 解得a=﹣1，
∴a=﹣1，b=﹣1
（2）解：依题意得 ， 解得 ， ．
故两函数图象另一交点B的坐标为（﹣3，﹣9）
11．解：（1）将点A（1，1）代入y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1得：
1＝12+（2m+1）×1﹣n﹣1，
整理得：n＝2m，
故m、n的关系式为：n＝2m；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴=0，
∵n＝2m，
∴代入上式化简得，4m2+12m+5＝0，
解得m＝﹣或m＝﹣，
当m＝﹣时，n＝﹣5，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+4，
当m＝﹣时，n＝﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2，
∴抛物线的解析式为y＝x2或y＝x2﹣4x+4．
12．
解：（1）图中可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3；
（2）不等式ax2+bx+c＞0时，通过图中可以看出：当1＜x＜3时，y的值＞0，
当x＜1或x＞3时，y＜0．
（3）图中可以看出对称轴为x=2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小；
13．（1）证明：当时，.
解得，.
当，即时，方程有两个相等的实数根；当，即时，方程有两个不相等的实数根.
所以，不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点.
（2）解：当时，，即该函数的图像与轴交点的纵坐标是.
当，即时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方.
14．
(1)∵抛物线y=x2+(k2+k－6)x+3k的对称轴是y轴，
∴，
即k2+k－6=0，
解得k=－3或k=2，
当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去，
当k=－3时，二次函数解析式为y=x2－9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意，
∴k=－3；
(2)∵P到y轴的距离为2，
∴点P的横坐标为－2或2，
当x=2时，y=－5；
当x=－2时，y=－5，
∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5).
第二课时答案
一、单选题
D．B.C．A．A．
二、填空题
6．，
7．0或1
8．
9．②③④
三、解答题
10．
解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．
11．
（1）∵，
∴方程没有实数解.
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
（2）∵，
∴把函数的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数的图象，它的顶点坐标是（m，0）.
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
∴把函数的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
12．
(1)解：设y=0，则0=﹣x2﹣x+4
∴x1=﹣4，x2=2
∴A（﹣4，0），B（2，0）
(2)作PD⊥AO交AC于D
设AC解析式y=kx+b
∴
解得：
∴AC解析式为y=x+4.
设P（t，﹣t2﹣t+4）则D（t，t+4）
∴PD=（﹣t2﹣t+4）﹣（t+4）=﹣t2﹣2t=﹣（t+2）2+2
∴S△ACP=PD×4=﹣（t+2）2+4
∴当t=﹣2时，△ACP最大面积4.
13．
解：（1）根据题意得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为；
（2）令，
解得，，
根据二次函数的性质可得时的取值范围是或
（3）把代入，得，
解得：，，
∴点的坐标为或.
14．
（1）x1+x2＝2，x1 x2＝1；
故答案为2，1；
（2）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个实数根x1、x2，
∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣；
（3）∵|x1|＝x2，
∴x1＝x2或x1＝﹣x2，
当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣，
当x1＝﹣x2，即x1+x2＝2（m+1）＝0，
解得m＝﹣1，
而m≥﹣，∴m＝﹣1舍去．
∴m的值为﹣．
第一课时
一、单选题
1．已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
2．若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是﹣3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ）
A．x=﹣3 B．x=﹣2 C．x=﹣1 D．x=1
3．如图是二次函数的部分图象，则的解的情况为（ ）
A．有唯一解 B．有两个解 C．无解 D．无法确定
4．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），那么抛物线与x轴的另一个交点是（ ）
A．（3，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（6，0）
5．函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
二、填空题
6．若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则的值为______．
7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有_____．
①abc＞0
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3
③2a+b=0
④当x＞0时，y随x的增大而减小
8．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．
9．抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________
三、解答题
10．已知函数y=ax2与直线y=2x﹣3的图象交于点A（1，b）．
（1）求a，b的值；
（2）求两函数图象另一交点B的坐标．
11．已知点A（1，1）在抛物线y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1上
（1）求m、n的关系式；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求出它的解析式．
12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＜0
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
13．已知二次函数（为常数）.
（1）求证：不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点；
（2）当取什么值时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方？
14．已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值：
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.
第二课时
一、单选题
1．已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数y=x2+bx﹣t的对称轴为x=2．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解，则t的取值范围是（ ）
A．﹣4≤t＜5 B．﹣4≤t＜﹣3 C．t≥﹣4 D．﹣3＜t＜5
二、填空题
6．若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为_____.
7．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ．
8．已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____________．
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，
正确的结论是_____（只填序号）
三、解答题
10．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
11．已知二次函数（m是常数）
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？
12．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．
13．如图，抛物线经过和.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）直接写出当时，的取值范围；
（3）若点在该函数图像上，求点的坐标.
14．阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C=0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2=；x1 x2=．
应用：（1）方程x2﹣2x+1=0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2= ，x1 x2= ．
（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若满足|x1|=x2，求实数m的值．
第一课时答案
一、单选题
A．C.C.C．A．
二、填空题
6．﹣4
7．②③
8．－1或2或1
9．，.
三、解答题
10．（1）解：函数y=ax2与直线y=2x﹣3的图象交于点A（1，b）， ∴A（1，b）代入y=2x﹣3 得 b=2×1﹣3=﹣1，
∴A（1，﹣1），
∴﹣1=a 12 ， 解得a=﹣1，
∴a=﹣1，b=﹣1
（2）解：依题意得 ， 解得 ， ．
故两函数图象另一交点B的坐标为（﹣3，﹣9）
11．解：（1）将点A（1，1）代入y＝x2+（2m+1）x﹣n﹣1得：
1＝12+（2m+1）×1﹣n﹣1，
整理得：n＝2m，
故m、n的关系式为：n＝2m；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴=0，
∵n＝2m，
∴代入上式化简得，4m2+12m+5＝0，
解得m＝﹣或m＝﹣，
当m＝﹣时，n＝﹣5，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+4，
当m＝﹣时，n＝﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2，
∴抛物线的解析式为y＝x2或y＝x2﹣4x+4．
12．
解：（1）图中可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3；
（2）不等式ax2+bx+c＞0时，通过图中可以看出：当1＜x＜3时，y的值＞0，
当x＜1或x＞3时，y＜0．
（3）图中可以看出对称轴为x=2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小；
13．（1）证明：当时，.
解得，.
当，即时，方程有两个相等的实数根；当，即时，方程有两个不相等的实数根.
所以，不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点.
（2）解：当时，，即该函数的图像与轴交点的纵坐标是.
当，即时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方.
14．
(1)∵抛物线y=x2+(k2+k－6)x+3k的对称轴是y轴，
∴，
即k2+k－6=0，
解得k=－3或k=2，
当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去，
当k=－3时，二次函数解析式为y=x2－9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意，
∴k=－3；
(2)∵P到y轴的距离为2，
∴点P的横坐标为－2或2，
当x=2时，y=－5；
当x=－2时，y=－5，
∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5).
第二课时答案
一、单选题
D．B.C．A．A．
二、填空题
6．，
7．0或1
8．
9．②③④
三、解答题
10．
解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．
11．
（1）∵，
∴方程没有实数解.
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
（2）∵，
∴把函数的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数的图象，它的顶点坐标是（m，0）.
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
∴把函数的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
12．
(1)解：设y=0，则0=﹣x2﹣x+4
∴x1=﹣4，x2=2
∴A（﹣4，0），B（2，0）
(2)作PD⊥AO交AC于D
设AC解析式y=kx+b
∴
解得：
∴AC解析式为y=x+4.
设P（t，﹣t2﹣t+4）则D（t，t+4）
∴PD=（﹣t2﹣t+4）﹣（t+4）=﹣t2﹣2t=﹣（t+2）2+2
∴S△ACP=PD×4=﹣（t+2）2+4
∴当t=﹣2时，△ACP最大面积4.
13．
解：（1）根据题意得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为；
（2）令，
解得，，
根据二次函数的性质可得时的取值范围是或
（3）把代入，得，
解得：，，
∴点的坐标为或.
14．
（1）x1+x2＝2，x1 x2＝1；
故答案为2，1；
（2）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个实数根x1、x2，
∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣；
（3）∵|x1|＝x2，
∴x1＝x2或x1＝﹣x2，
当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣，
当x1＝﹣x2，即x1+x2＝2（m+1）＝0，
解得m＝﹣1，
而m≥﹣，∴m＝﹣1舍去．
∴m的值为﹣．