沪科版九年级数学上册 22.1比例线段 同步练习（含答案）

22.1比例线段
第一课时
一、单选题
1．已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　）
A． B．2a=3b C． D．3a=2b
2．若，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
3．下列四条线段中，不能成比例的是（　　）
A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10 B．a＝2，b＝2，c＝，d＝5
C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
4．如图，已知是上一点，如果，，点，分别在，上，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（　　）
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=GC D．EG=2GC
二、填空题
6．已知，则=_____．
7．已知，则的值是_____．
8．若 ，则 =________．
9．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD=2，BD=3，则AC的长为_____．
三、解答题
10．如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD：DA=3：2，BF=6，DF=8，
（1）求EF的长；（2）求EA的长．
11．已知：如图，点、在的边上，点在边上，且，．
求证：．
12．已知，求的值．
13．已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否成比例.
(1)a=16cm，b=8cm，c=5cm，d=10cm；
(2)a=8cm，b=5cm，c=6cm，d=10cm.
14．已知
（1）求的值；
（2）若，求的值．
第二课时
一、单选题
1．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于( )
A． B． C． D．
2．若，则等于（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（ ）
A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC BA
C． D．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）
A． B． C． D．
5．在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且DE＝1，将△ADE沿AE对折到△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论，其中正确的有（　　）个．
（1）CG＝FG；（2）∠EAG＝45°；（3）S△EFC＝；（4）CF＝GE
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上，若线段AB=4 cm，则线段BC= cm
7．若==（x，y，z均不为0），=1，则m的值为______ ．
8．如图，在中，点在的延长线上，满足，点是的中点，联结交于点，则__________．
9．如图，在正方形中，与交于点是的中点，点在边上，且为对角线上一点， 则的最大值为__________．
三、解答题
10．如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）求证：AM2＝AD·DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？
11．如右图，△ABC中，DG∥EC，EG∥BC．
求证：AE2 =AB．AD
12．已知a：b：c=2：3：4，且a+3b-2c=15
(1)求a、b、c的值；
(2)求4a-3b+c的值．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
14．如图，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），且经过点和点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，经过点的直线与线段交于点，与抛物线交于另一点．连接，，，的面积与的面积之比为1：7．点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？并求出最大值；
（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，求的取值范围．（直接写出结果即可）
第一课时答案
一、单选题
B．D.C．B.B．
二、填空题
6．
7．
8．
9．
三、解答题
10．
解：（1）∵DF∥AE，
∴＝，即＝，
解得，EF＝4；
（2）∵DF∥AE，
∴＝，即＝，
解得，EA＝．
11．
∵
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即．
12．
解：设＝k，
则，
解得．
所以
13．
（1）=2,=2则 ,
所以a、b、d、c成比例.
（2）由已知得：ab≠cd, ac≠bd, ad≠bc,
所以a、b、c、d四条线段不成比例.
14．
（1）设，
则，，
∴
（2）由（1）
解得，
，，
第二课时答案
一、单选题
C．C．C.BC.
二、填空题
6．12
7．4
8．2：5
9．1
三、解答题
10．
解：（1）∵P为边AB的中点，
∴AP＝AB＝1，
∴PD＝＝＝，
∴PF＝PD＝，从而AF＝PF－AP＝－1，∴AM＝AF＝－1，
∴DM＝AD－AM＝3－．
（2）证明：∵AM2＝(－1)2＝6－2，
AD·DM＝2(3－)＝6－2，
∴AM2＝AD·DM．
（3）图中的点M为线段AD的黄金分割点．理由如下：
∵AM2=AD DM，
∴，
∴点M是AD的黄金分割点．
11．
解：∵DG∥EC，
∴
∵EG∥BC，
∴
∴
∴AE2 =AB.AD
12．
解:(1)设,
∵a+3b-2c=15，
∴2k+9k-8k=15，
∴k=5，
∴a=10，b=15，c=20.
（2）∵a=10，b=15，c=20.
∴4a-3b+c=4×10-3×15+20=15
13．
解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3
∵点A在点B的左侧，
∴A(﹣1，0)，
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DFOC，
∴＝，
∵CD＝4AC，
∴＝＝4，
∵OA＝1，
∴OF＝4，
∴D点的横坐标为4，
代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，
∴D(4，5a)，
把A、D坐标代入y＝kx＋b得，
解得，
∴直线的函数表达式为y＝ax＋a．
（2）如图1，过点E作EN⊥y轴于点N，
设点E(m，a（m＋1）（m﹣3）)，yAE＝k1x＋b1，
则，
解得：，
∴yAE＝a（m﹣3）x＋a（m﹣3），M(0，a（m﹣3）)
∵MC＝a（m﹣3）﹣a，NE＝m
∴S△ACE＝S△ACM＋S△CEM＝[a（m﹣3）﹣a]＋ [a（m﹣3）﹣a]m＝（m＋1）[a（m﹣3）﹣a]＝（m﹣）2﹣a，
∴有最大值﹣a＝，
∴a＝﹣；
（3）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax＋a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴D(4，5a)，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
设P1(1，m)，
①若AD是矩形的一条边，
由AQDP知xD﹣xP＝xA﹣xQ，可知Q点横坐标为﹣4，将x＝﹣4代入抛物线方程得Q(﹣4，21a)，
m＝yD＋yQ＝21a＋5a＝26a，则P(1，26a)，
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，
∴AD2＋PD2＝AP2，
∵AD2＝[4﹣（﹣1）]2＋（5a）2＝52＋（5a）2，
PD2＝（1﹣4）2＋（26a﹣5a）2＝32＋（21a）2，
∴[4﹣（﹣1）]2＋（5a）2＋（1﹣4）2＋（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2＋（26a）2，
即a2＝，
∵a0，
∴a＝﹣，
∴P1（1，﹣）．
②若AD是矩形的一条对角线，
则线段AD的中点坐标为(，)，Q(2，﹣3a)，
m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P(1，8a)，
∵四边形AQDP为矩形，∴∠APD＝90°，
∴AP2＋PD2＝AD2，
∵AP2＝[1﹣（﹣1）]2＋（8a）2＝22＋（8a）2，
PD2＝（4﹣1）2＋（8a﹣5a）2＝32＋（3a）2，
AD2＝[4﹣（﹣1）]2＋（5a）2＝52＋（5a）2，
∴22＋（8a）2＋32＋（3a）2＝52＋（5a）2，
解得a2＝，
∵a0，
∴a＝﹣，
∴P2(1，﹣4)．
综上可得，P点的坐标为P1(1，﹣4)，P2(1，﹣)．
14．
解：（1）把和点代入：，
解得：
所以：抛物线的解析式为：，
（2）,
令 则
解得：
过作轴于 过作轴于，则
的面积与的面积之比为1：7，
设的解析式为：
解得：
为：
解得：
过作轴于，交于
设
则
当最大，则的面积最大，
所以：当时，
所以的最大面积＝
（3）
令
记抛物线与轴的交点为 过作轴交抛物线于，
令 则
解得：
抛物线的顶点为
当时，
当时，的取值范围是，