21.3实际问题与一元二次方程—动态几何问题 解答题专题训练 人教版九年级数学上册（含答案）

2023-2024学年人教版九年级数学上册《21.3实际问题与一元二次方程—动态几何问题》
解答题专题训练（附答案）
一、解答题
1．如图，在边长为的等边三角形中，点从点A开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．若，分别从A、同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求经过几秒的面积等于？

2．等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于．
3．如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，另外一点也随之停止运动．

(1)几秒后，四边形的面积等于？
(2)的面积能否等于？请说明理由．
4．如图，在直角梯形中，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从点C出发，沿射线 的方向以每秒1个单位的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

5．如图，在中，，点P从A点出发，以的速度向B点移动，点Q从B点出发，以的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后的面积等于？
6．如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后几秒钟时，的面积为菱形面积的？
7．如图，中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始，沿边向点以的速度移动，点到达点后，点停止运动．
(1)经过后（），的面积等于，求的值；
(2)经过后，（），的长度为，求的值；
(3)的面积能否等于？
8．在平面直角坐标系中，过原点O及点、作矩形OABC，的平分线交AB于点D，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，求当t为多少秒时，为直角三角形．
9．如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒．

(1)填空：______，______（用含的代数式表示）
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)是否存在，使得五边形的面积等于？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
10．如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动，若，两点同时出发，运动时间为．
(1)连接，，，当为何值时，面积为？
(2)当点在上运动时，是否存在这样的的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
11．如图，在中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒．
(1)填空：___________， ___________；（用含t的代数式表示）
(2)当t为几秒时，的长度等于？
(3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由，
12．如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．

(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？
(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
13．如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动．问：
(1)P、Q两点从出发开始几秒时，四边形的面积为？
(2)几秒时点P点Q间的距离是10厘米？
(3)P，Q两点间距离何时最小？
14．如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接，．
(1)用含t的式子表示线段的长：__________；__________．
(2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为？
(3)当t为何值时，四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．
15．如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：
(1)当x为何值时，为等腰三角形；
(2)当x为何值时，的面积为；
(3)当x为何值时，为等腰三角形．
16．如图，是边长为6cm的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，匀速移动，它们的速度都是2，当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为，解答下列问题：
(1)当为何值时，是以为直角的直角三角形？
(2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接．
(1)求出__________；
(2)若平分，求点的坐标；
(3)已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标.
18．图，在矩形 中，，，，， 分别从 ，，， 出发沿 ，，， 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止．已知在相同时间内，若 （），则 ，，．
(1)当 为何值时，， 长度相等？
(2)当 为何值时，以 ， 为两边，以矩形的边（ 或 ）的一部分为第三边能构成一个三角形？
(3)当 为何值时，以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？
参考答案
1．

解：设经过x秒的面积等于，
则，，
过点Q作，垂足为D，
则，
∵等边中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
解得 （不合题意，舍去），，
∴．
答：经过2秒的面积等于．
2．解：设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，的面积等于，
依题意可得，
解得：，即长为．
故长为时，平行四边形的面积等于．
3．（1）解： ，，
当运动时间为 时，，
根据题意可得：
，
整理得：，
解得：或，
当时，点重合，不符合题意，舍去，
∴经过1秒钟，四边形的面积等于；
（2）解：的面积不能等于，
理由如下：根据题意可得：
，
整理得：，
，
所列方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
4．解：如图1，当时，过点P作于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
解得：；

如图2，当时，过点Q作于E，
同理可证四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得：；

如图3，当时，过点P作于E，
同理可证明四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
故方程无解．
综上所述，或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．

5．解：如图，
过点Q作于E，则．
∵，
∴．
∴．
设经过t秒后的面积等于，
则
根据题意，．
．
．
当时，，不合题意舍去，取．
答：经过2秒后的面积等于．
6．解：设出发后秒时，．
，
，
当时，点在线段上，点在线段上．
由；
解得，（舍去）
，
；
当时，点在线段上，点在线段上，
由；化简为，
此时方程，原方程无实数解；
当时，点在线段上，点在线段上，
由；
解得（舍去），
，
，
综上所述，出发后或时，．
7．（1）解：∵点从点开始沿边向点以的速度移动，
∴，
∵，
∴，
∵点从点开始，沿边向点以的速度移动，
∴，
∵的面积等于，
∴，
即，
解得：，,
∵，，
∴，,
∴,
∴（不符合题意，舍去）,
∴,
答：的值为；
（2）解：∵点从点开始沿边向点以的速度移动，
∴，
∵，
∴，
∵点从点开始，沿边向点以的速度移动，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，,
∵，
∴（不符合题意，舍去），
∴，
答：的值为；
（3）解：的面积不能等于，理由如下：
∵点从点开始沿边向点以的速度移动，
∴，
∵，
∴，
∵点从点开始，沿边向点以的速度移动，
∴，
假设的面积能等于，
∴，
即，
整理得：，
∵，
∴该方程没有实数根，
∴假设不成立，即的面积不能等于．
8．解：根据运动特点可得：，，
∴，
∵射线OD是的平分线，
∴OD也是第一象限的角平分线，
∵第一象限的角平分线的点的横纵坐标相等，
∵点P从点O出发射线OD方向移动，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据矩形的性质易得，
则；；；
当为直角三角形时，
时，，
解得；(舍去)；
时，，
解得：，
时，
解得：(舍去)，
综上，，或秒时，为直角三角形．
9．（1）解：∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，
∴，
∵，
∴，
∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，
∴；
故答案为：；．
（2）解：由题意得：，
解得：，；
∴当或时，的长度等于；
（3）解：不存在；理由如下：
长方形的面积是：，
使得五边形的面积等于，则的面积为，
∴，
整理得：，
∵，
∴此方程无解，
∴不存在，使得五边形的面积等于．
10．（1）解：如图，当点在上时，此时，根据题意，得：
，，，，，
∵面积为，
∴，
∴，
整理，得：，
解得：．
如图，当点在上时，此时，
∴，
∴，
解得：，
∴当为秒或秒时，面积为．
（2）存在．
如图，当点在上时，
①当时，可得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
②当时，可得：
，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
如图，当点在上时，此时，
可知：，，，
∴不存在以为腰的等腰．
∴当为秒或秒时，是以为腰的等腰三角形．
11．解：（1）点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，
， ，
，
故答案为：，；
（2）由题意得，
，
解得：，（不合题意，舍去），
当时，的长等于；
（3）存在，理由如下：
若四边形的面积等于面积的，
的面积等于面积的，
，
，
解得：或，
当时，
当时，，四边形变为三角形，不合题意，舍去，
存在时刻，使四边形的面积等于面积的，的值为2．
12．（1）解：过点P作于E，
设x秒后，点P和点Q的距离是．
，
∴， ；
∴经过或，P、Q两点之间的距离是；
（2）解：连接．设经过后△PBQ的面积为．
①当时，，
∴，即，
解得；
②当时，，
则，
解得（舍去）；
③时，，
则，
解得（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒，的面积为．
13．（1）解：当运动时间为t秒时，，，
依题意，得：，
解得：．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为．
（2）设出发秒后、两点间的距离是10厘米．
则，．
作于，
则，
，
解得：或，
∴、出发或秒时，，间的距离是10厘米；
（3），
当时，即时，最小．
14．（1）解：由题意得：，
∵，
∴；
故答案为，；
（2）解：设出发秒后、两点间的距离是．
则，，作于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
解得：或，
答：、出发0.6和5.4秒时，，间的距离是；
（3）解：四边形的形状有可能为矩形；理由如下：
当四边形为矩形，则，
即，
解得：．
答：当、出发3秒时四边形为矩形．
15．（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
根据题意得：，
∴，
当为等腰三角形时，，
∴，
解得：，
即当时，是等腰三角形；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
答：当x为1或5时，的面积为；
（3）解：根据题意，分两种情况：
①当时，如图1所示：
在和中，由勾股定理得：，，
∴，
解得：或（不合题意舍去），
∴；
②当时，如图2所示：
在和中，，，
∴，
解得：或（不合题意舍去），
∴．
综上所述，当x为或时，是等腰三角形．
16．解：（1）由题意得：，
，
为等边三角形，
，
当点到达点时，，
则，
∵，
，
，即，
解得，符合题意；
（2）不存在，使四边形的面积是面积的，理由如下：
假设存在某一时刻，使四边形的面积是面积的，
由（1）得：，
，
如图，过点作于点，
，
，
，
整理得：，
此方程根的判别式为，方程无解，
所以假设不成立，
即不存在，使四边形的面积是面积的．
解：（1）
如图1，作轴与，
∵，
轴，点是在直线，
（2）设
平分，

解得，
∴点的坐标 或.
（3）设
当，且时，
①如图2，点在直线上方时，
过点作直线则轴于点，过点作于点,
则
又
，解得.
则
则.
②
如图3，由得
解得.
则
∴.
当,且时,如图4
作轴于，轴于,
则，
则，解得，
则，
.
综上，点的坐标为或.
18．（1）解： ，，
时，即 ，
解得： 或 （舍去），
当 为 时，， 长度相等；
（2）解：当点 与点 重合或点 与点 重合时，以 ， 为两边，以矩形的边（ 或 ）的一部分为第三边可能构成一个三角形，
当点 与点 重合时，
由题意得：，
解得：，（舍去），
，
此时点 与点 不重合，
符合题意；
当点 与点 重合时，
由题意得：，
解得：，
此时 ，不符合题意，
点 与点 不能重合．
综上所述，所求的值为：；
（3）解： 当 点到达 点时，，此时 点和 点还未相遇，
点 只能在点 的左侧，
当点 在点 的左侧时，如图 所示：
由题意得：，
解得：（舍去），，
当 时四边形 是平行四边形；
当点 在点 的右侧时，如图 所示：
由题意得：，
解得：（舍去），，
当 时，四边形 是平行四边形；
综上所述，当 或 时，以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形．