1.2矩形的性质与判定　解答题专题训练　2023-2024学年北师大版九年级数学上册（含答案）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
解答题专题训练（附答案）
1．如图，菱形的对角线交于点，点是菱形外一点，．试判定四边形的形状，并给出证明．

2．在中，，，，点D是的边上的中点，，．

证明：
(1)；
(2)求的长．
3．如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的度数．
4．在平行四边形中，于点．

(1)尺规作图：在边上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）；
(2)求证：四边形是矩形．
5．如图，中，O是边中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的度数．
6．如图，在矩形中，是对角线．

(1)在边上确定一点E，将沿翻折后，点E的对应点F恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形是菱形．
7．如图，在平行四边形中，于点E，延长至F点，使，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求的长．
8．在矩形中，对角线、相交于 点 O，且、．

(1)求证：；
(2)若，，求矩形的面积．
9．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分交于点，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求矩形的面积．
10．如图，将矩形绕点顺时针旋转，使点恰好落在上的点处，得到矩形，连交于，连接．

(1)求证：．
(2)若，求长．
11．如图，在矩形中，，，延长到点，使，连接．若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着向终点运动，连接．设点运动的时间为秒．

(1)直接写出的长；
(2)求当为何值时，和全等？
(3)是否存在，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由．
12．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作，且，连接、．

(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，求的长．
13．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接、、．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：．
14．在矩形中，，，点 Q 在线段上，点 P 在线段上，且 ，连接，过点 P 作，与边相交于点 E，与边相交于点 F，连接．

(1)求线段的长
(2)求证：；
(3)试探究线段，，三者之间的等量关系， 并加以证明．
15．【定义新知】
如图1，将矩形纸片沿BE折叠，点A的对称点F落在BC边上，再将纸片沿CE折叠，点D的对称点也与F重合，折叠后的两个三角形拼合成一个三角形()，这个三角形称为叠合三角形．类似地，对多边形进行折叠，若折叠后的图形恰好可以拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，则这样的矩形称为叠合矩形．
(1)图1中叠合的底边BC与高EF的长度之比为_______；
(2)将纸片按图2中的方式折叠成一个叠合矩形，若AD=13，MN=5，求叠合矩形的面积；
【问题解决】
(3)已知四边形ABCD纸片是一个直角梯形，满足，，AB 点F为BC的中点，EF⊥BC，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．
①如图3，若线段EF是其中的一条折痕，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出AB和CD的长；
②如图4，若线段EF是叠合正方形的其中一条对角线，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出此时AB和CD的长．
16．已知矩形纸片中，．

(1)将矩形纸片沿着折叠，点B落在点E处，求此时的长；
(2)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，求折痕的长．
17．点O为矩形的中心．
(1)命题1：如图①，过点O的直线，分别交，于点E，F，则四边形是菱形．
命题2：如图②，P，Q两点在，上，且线段过点O，过点O的直线，分别交，于点E，F，则四边形是菱形．
请先判断两个命题的真假，并选择一个真命题进行证明．
(2)若把图①的四边形的面积记为，图②的四边形的面积记为，则_________．（填“＞”或“＜”或“=”）
18．已知矩形的对角线、相交于点O，点E是边上一点，连接、、，且．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，设与相交于点F，与相交于点H，过点D作的平行线交的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．
19．如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，，，在边上取一点D，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点E处．
(1)求和的长；
(2)求直线的表达式；
(3)直线与平行，当它与矩形有公共点时，直接写出b的取值范围．
20．已知，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，于点E，F．垂足为O．

(1)如图1，连接，，求的长
(2)如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发．沿和各边匀速运动一周，即点P自停止，点Q自停止，在运动过程中，已知点P的速度为，点Q的速度为，运动时间为．当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
参考答案：
1．解：四边形是矩形，
证明如下：
，
四边形是平行四边形，
菱形的对角线相互垂直，即，
，
四边形是矩形．
2．（1）证明：连接，如图所示：

∵，，点D是的边上的中点，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
4．（1）解：如图：点即为所求；

（2）由作图得：，
，
，
，
，
在中，，，，，
∴，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
5．解：（1）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形
∴，
∴
∴
∴．
6．（1）解：所作的图形如下：

（2）证明：∵四边形为矩形，
∴，
由翻折知，，
由作图知，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．

7．解：（1）∵是平行四边形，
∴，
∵，
∴,
∴
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为矩形．

（2）∵四边形为矩形，是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
∴．
8．（1）解：在和中，
，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∴．
9．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，平分，
∴，即，
又∵，
∴，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
10．（1）证明： 四边形是矩形，
，
，
将矩形绕点顺时针旋转至矩形点正好落在上的点处，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于，过点作于，

四边形是矩形，
，
将矩形绕点顺时针旋转，
，，，
，
，
，
在和中，
，
（），
，，
，
．
11．（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
（2）当，即时，
则，
（3）若为等腰三角形，则或或，
当时，，，
，
，
．
当时，
，
．
当时，
，
，
在中，，
，
，
，．

综上所述，当或或时，为等腰三角形．
12．（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，
，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
13．（1）解：四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
．
（2）在，是的中点，
，则是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
（3）连接，四边形是矩形，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，

14．（1）解：∵矩形，，，
∴，，，
∴；
（2）∵矩形，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，． 连接，

∵，
∴为线段的垂直平分线，
∴．
在中， ，
∴．
15．（1）解：由题意可得 ：
故四边形为全等的正方形
故的底边BC与高EF的长度之比为：
（2）解：由四边形是叠合矩形，可得．
易得
∵四边形是平行四边形，
∴
∴．
在和中，
∴
∴，
∴
∵
，
∴叠合矩形的面积
（3）解：①叠合正方形的示意图如图1所示

由折叠的性质可得
由平行线分线段成比例可得
∵四边形EFCG是叠合正方形，
∴,
∴
∴
②叠合正方形EGFH的示意图如图2所示.作于点N,
由题意可得E是AD的中点，

，
∴
∴
∴
16．解：（1）设与相交于点P，连接与交于点O，

∵四边形是矩形，
∴，，，
又∵，
∴
∴，
由折叠的性质可知：，
∴垂直平分，即P是的中点，，
∴，
∴
∴
∴，
∴，
∵P是的中点，，
∴是的中位线，
∴
（2）由折叠得，，设，
则，
在中，
即
解得，即
连接，

由翻折的性质可得，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
，
即，
解得．
17．解：（1）两个命题均为真命题．命题1证明如下：
证明：∵点O为矩形的中心，
∴点O是的中点．
∵，
∴是的垂直平分线．
∴，，．
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
∴四边形为菱形．
命题2证明：如图，连接，则经过点O，
∵四边形是矩形
∴
∴
又
∴
∴
同命题1，可证明，得
又
∴四边形为菱形．
（2）如图，，由图知，，
∴
∵，，，
∴
∵，
∴
18．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：，，，都与的面积相等，
理由：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，都与的面积相等．
19．解：（1）∵四边形是矩形，
由折叠性质得：
在，由勾股定理得： ，
∴，
∴点E坐标为；
在中，，
由勾股定理得： ，
解得：，
∴点D坐标为；
（2）设直线的表达式为，
将D、E代入表达式，得：
，解得：，
∴直线的表达式为，
（3）直线与平行，
，
又当它与矩形有公共点时，由图可知，
直线必在经过点C和点A，且与平行的直线之间（含这两条直线）
将点分别代入直线中，得到和，
故b的取值范围为且.
20．（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵的垂直平分线是，
∴，
设，
则，
∴在中，
由勾股定理得：，
解得，
即；
（2）解：显然当P点在上时，Q点在上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在上时，Q点在或上或P在，Q在时不构成平行四边形，
∴只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，，
∵点P的速度为，点Q的速度为，
∴，，
∴，
解得：．
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，．