人教版高中数学必修第二册8.6空间直线、平面的垂直 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册8.6空间直线、平面的垂直（3） 同步练习(学生版)
1.给出以下四个命题，其中真命题的个数是（　　）
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.
A.4　　　　　　　　　　　 B.3
C.2 D.1
2.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有　（　　）
A.0个　　　　　　　　　　 B.1个
C.无数个 D.1个或无数个
3.从空间一点P向二面角α l β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α l β的平面角的大小是（　　）
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不确定
4.如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，则（　　）
A.存在点G，使PG⊥EF成立
B.存在点G，使FG⊥EP成立
C.不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立
D.不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立
5.在三棱锥P ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2，则二面角P AB C的大小为　　　.
6.如图，直二面角α l β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为　　　.
7.如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.
8.如图，三棱台DEF ABC中， AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
9.如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.
人教版高中数学必修第二册8.6空间直线、平面的垂直（3） 同步练习(解析版)
1.给出以下四个命题，其中真命题的个数是（　　）
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.
A.4　　　　　　　　　　　 B.3
C.2 D.1
解析：选B.①②④正确.①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行或异面；④面面垂直的判定定理.
2.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有　（　　）
A.0个　　　　　　　　　　 B.1个
C.无数个 D.1个或无数个
解析：选D.当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个.
3.从空间一点P向二面角α l β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α l β的平面角的大小是（　　）
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不确定
解析：选C.若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
4.如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，则（　　）
A.存在点G，使PG⊥EF成立
B.存在点G，使FG⊥EP成立
C.不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立
D.不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立
解析：选C.正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，
P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，
在A中，不存在点G，使PG⊥EF成立，故A错误；
在B中，不存在点G，使FG⊥EP成立，故B错误；
在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；
在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误.故选C.
5.在三棱锥P ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2，则二面角P AB C的大小为　　　.
解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，
所以∠PMC就是二面角P AB C的平面角.在△PAB中，PM＝＝1，同理MC＝PC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°.
答案：60°
6.如图，直二面角α l β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为　　　.
解析：如图，连接BC，
因为二面角α l β为直二面角，AC α，且AC⊥l，
所以AC⊥β.
又BC β，所以AC⊥BC，
所以BC2＝AB2－AC2＝3，
又BD⊥CD，
所以CD＝＝.
答案：
7.如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.
证明：取BC的中点D，连接SD、AD（图略），由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，得AB＝AC＝SA.
所以AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS是二面角A BC S的平面角.
又∠BSC＝90°，令SA＝1，
则SD＝，AD＝，所以SD2＋AD2＝SA2.
所以∠ADS＝90°，所以平面ABC⊥平面BSC.
8.如图，三棱台DEF ABC中， AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
证明：
（1）如图所示，连接DG，设CD∩GF＝M，连接MH.
在三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，所以AC＝2DF.
因为G是AC的中点，
所以DF∥GC，且DF＝GC，
所以四边形CFDG是平行四边形，所以DM＝MC.因为BH＝HC，所以MH∥BD.
又BD 平面FGH，MH 平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
（2）因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.
因为AB⊥BC，所以GH⊥BC.
又H为BC的中点，
所以EF∥HC，EF＝HC，
所以四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.
因为CF⊥BC，所以HE⊥BC.
又HE，GH 平面EGH，HE∩GH＝H，
所以BC⊥平面EGH.又BC 平面BCD，
所以平面BCD⊥平面EGH.
9.如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.
证明：由四边形ABCD为正方形，可得CD⊥AD，
又PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥CD，PD⊥AD，
故CD⊥平面AQPD，从而CD⊥PQ.
如图所示，取PD的中点E，连接QE.因为PD∥QA，QA＝PD，则DE∥AQ，且DE＝AQ，
从而四边形AQED是平行四边形，
则QE∥AD，所以QE⊥PD，
所以DQ＝QP.
设QA＝1，则AB＝1，PD＝2.
在△DQP中，
有DQ＝QP＝，PD＝2.
所以DQ2＋QP2＝PD2，
故∠PQD＝90°，即DQ⊥PQ.
又CD∩DQ＝D，
所以PQ⊥平面DCQ.
又PQ 平面PQC，
所以平面PQC⊥平面DCQ.