2.2 二次函数的图象与性质同步练习 北师大版九年级数学下册（含解析）

北师大版九下 2.2 二次函数的图象与性质
一、选择题（共15小题）
1. 抛物线 的顶点坐标是
A. B. C. D.
2. 定义运算“”：，如：，则函数 的图象大致是
A. B.
C. D.
3. 将抛物线 向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的表达式为
A. B.
C. D.
4. 将函数 的图象向下平移 个单位，下列结论中，正确的是
A. 开口方向不变 B. 顶点不变
C. 与 轴的交点不变 D. 与 轴的交点不变
5. 与抛物线 的形状相同的抛物线为
A. B.
C. D.
6. 在同一直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象大致为
A. B.
C. D.
7. 函数 （）与 在同一坐标系中的大致图象可能为
A. B.
C. D.
8. 二次函数 的图象如图所示．
有下列结论：① ；
② ；
③当 时，．
④ 有两个不相等的实数根．
其中正确的个数是
A. B. C. D.
9. 如图，若抛物线 与 轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为 ，则反比例函数 的图象是
A. B.
C. D.
10. 在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，则该抛物线关于点 成中心对称的抛物线的表达式为
A. B.
C. D.
11. 二次函数 ，若 ，，点 ， 在该二次函数的图象上，其中 ，，则
A. B.
C. D. ， 的大小无法确定
12. 已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小，则函数中 的取值范围是
A. B. C. D.
13. 设函数 （，， 是实数，），当 时，；当 时，，
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
14. 二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；② ；③ ；④当 时， 随 的增大而减小，其中正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
15. 反比例函数 的图象如左图所示，那么二次函数 的图象大致为
A. B.
C. D.
二、填空题（共9小题）
16. 如果抛物线 开口向上，那么 的取值范围是 ．
17. 抛物线 的顶点坐标是 ．
18. 抛物线 的顶点坐标是 ．
19. 已知二次函数 的图象的最低点在 轴上，则 等于 ．
20. 某数学兴趣小组研究二次函数 的图象时发现：无论 如何变化，该图象总经过一个定点，这个定点的坐标是 ．
21. 点 ， 在二次函数 的图象上，则 ．
22. 定义 为关于 的函数 的“特征数”，如：函数 的“特征数”是 ．在平面直角坐标系中，将“特征数”是 的函数的图象向下平移 个单位长度，得到一个新的图象，这个新图象的函数解析式是 ．
23. 二次函数 的图象如图 所示，且 ，，则 ， 的大小关系是
24. 二次函数 的图象如图所示，点 位于坐标原点，点 ，，，， 在 轴的正半轴上，点 ，，，， 在二次函数 位于第—象限的图象上．若 ，，，， 都为等边三角形，则 的 边长 ．
三、解答题（共5小题）
25. 填表：
26. 先将下列函数解析式化为 形式，然后在不同坐标系内画出图象．
（1）；
（2）．
27. 求二次函数 的图象的对称轴和顶点坐标.
28. 已知关于 的一元二次方程 ，
（1）若方程有两个不相等的实根，求实数 的取值范围．
（2）若方程有一实数根为 ，求 的值及另一根．
29. 填表：
答案
1. C
2. C
【解析】，
当 时，图象是 图象的对称轴右侧的部分；
当 时，图象是 图象的对称轴上及其左侧的部分．
3. C
4. A
【解析】由题意知，平移后函数解析式变为 ， 不变，开口方向不变，故A正确，符合题意；
顶点坐标、与 轴的交点均向下移动，发生改变，故B，D错误，不符合题意；
与 轴的交点也发生改变，故C错误，不符合题意．
5. A
6. D
【解析】 一次函数和二次函数都经过 轴上的 ，
两个函数图象交于 轴上的同一点，故B选项错误；
当 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；
7. B
【解析】选项A中，由直线可知 ，，由抛物线可知 ，，，故A不符合题意；
选项B中，由直线可知 ，，由抛物线可知 ，，，故B符合题意；
选项C中，由直线可知 ，，由抛物线可知 ，，，故C不符合题意；
选项D中，由直线可知 ，，由抛物线可知 ，，，故D不符合题意．
8. C
【解析】 对称轴是 ，二次函数 的图象与 轴的一个交点是 ，
二次函数 的图象与 轴的另一个交点是 ，
即 ，
结论①正确；
，
，
结论②正确；
二次函数 的图象与 轴的交点是 ，对称轴是 ，
当 时， 等于 或 ，
结论③不正确；
有两个不相等的实数根，
结论④正确．
综上，可得正确结论的个数是 个：①②④．
9. D
10. A
【解析】由抛物线 知，抛物线顶点坐标是 ．
由抛物线 知，．
抛物线 的顶点坐标是 ．
该抛物线关于点 成中心对称的抛物线的表达式为：．
11. B
【解析】，，
．
又 ，
，
，，
，．
点 ， 在该二次函数 的图象上，
，．
．
．
故选：B．
12. C
13. C
【解析】当 时，；
当 时，；
代入函数式得：
，
整理得：，
若 ，则 ，故A错误；
若 ，则 ，故B错误；
若 ，则 ，故C正确；
若 ，则 ，故D错误．
14. B 【解析】① 抛物线开口向上与 轴交于负半轴，
，．
，故①正确；
② 抛物线的对称轴是 ，
．
．
当 时，，
．
，故②正确；
③ 抛物线与 轴有两个交点，
即一元二次方程 有两个不相等的实数解，
，
，故③正确；
④当 时， 随 的增大而减小，当 时 随 的增大而增大．
故④错误；
正确的答案有①、②、③，共 个．
15. B
【解析】．
，，．
抛物线 的开口向上，对称轴在 轴右侧，与 轴交点在负半轴．
16.
17.
【解析】因为 是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为 ．
故答案为 ．
18.
19.
20.
【解析】在 中，当 时，，
无论 如何变化，图象总经过定点 ．
21.
【解析】由二次函数 可知，抛物线的对称轴为直线 ，
关于对称轴的对称点为 ，
在二次函效 的图象上，
点 就是点 的对称点，
．
22.
【解析】依题意得“特征数”是 的函数解析式为 ，其顶点坐标是 ，向下平移 个单位后得到的顶点坐标是 ，
所以新函数的解析式为 ．
23.
【解析】 抛物线的开口向下，
．
，
且 ．
，．
抛物线与 轴的正半轴相交，
．
．
由图象可知当 时，，即 ．
，即 ．
．
，
．
．
24.
【解析】设 边长为 ，则点 的坐标为 ，
在 上，
，即 ，
（舍去），，
的边长为 ；
对于 ，设其边长为 ，则点 的坐标为 ，
在 上，
，
，（舍去），
的边长为 ；
对于 ，设其边长为 ，则点 的坐标为 ，
在 上，
，
（舍去），，
的边长为 ；以此类推， 的边长为 ．
25.
【解析】抛物线 的对称轴都是 轴，顶点坐标是 ，
当 时，开口向上；
当 时，开口向下．
26. （1） ；如图：
（2） ；如图：
27.
对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
28. （1） 依题意得
，解得 ．
（2） 设另一根为 ，依题意得
解得
的值为 ，另一根为 ．
29.
【解析】抛物线 的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，当 时，开口向上；当 时，开口向下．