2.5等腰三角形的轴对称性　练习 苏科版数学八年级上册（无答案）

2.5等腰三角形的轴对称性（等边三角形）
知识梳理 【知识点1】等边三角形 等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.　　 特别说明：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°. 等边三角形的轴对称性：有3条对称轴，即3条高所在的直线或3条中线所在的直线或3条角平分线所在的直线。 等边三角形的判定：
　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【典型例题】 题型一：等边三角形的性质 【例题】如图，在△ABC中，D，E是边BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为（　　） A．105° B．120° C．130° D．150° 【变式训练】 1.如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD，则∠ADE=（ 　） A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形，，连接，，则的度数为 ________． 3.如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 4.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：CE＝2CF； （2）若CF＝2，求△ABC的周长． 题型二：等边三角形的判定 【例题】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（　　） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形 【变式训练】 1.若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的是（　　） A．这个三角形是钝角三角形 B．这个三角形是直角三角形 C．这个三角形是等边三角形 D．不存在这样的三角形 2．下列说法不正确的是（ ） A．有一个角为的三角形是等边三角形； B．三边相等的三角形是等边三角形 C．三个角相等的三角形是等边三角形 D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 3．在下列结论中： （1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形 （2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 （3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 （4）三个外角都相等的三角形是等边三角形 其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4.三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．钝角三角形 5.在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． （1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值； （2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？ 题型三：等边三角形的性质证明 【例题】已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F． （1）求证：AN＝BM； （2）求证：△CEF为等边三角形． 【变式训练】 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F． （1）求证：BE垂直平分CD； （2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形． 2.如图，点O是等边内一点，以OC为边作等边三角形OCD，连接OD． (1)求证：； (2)若，，当为多少度时，是等腰三角形． 3.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点． （1）若∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠AFB的大小； （2）若D是BC的中点，∠ABE＝30°，求证：△ABC是等边三角形． 4.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝10，求△ODE的周长． 【过关检测】 选择题 1.在下列结论中： （1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形 （2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 （3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 （4）三个外角都相等的三角形是等边三角形 其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2.在解答一道习题时，嘉嘉先作出了的一条高，又作出了的一条角平分线，发现作的是同一条线段，则一定是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 3.若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．无法确定 4.如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 5.如图，中，，是中线，，将沿折叠至，则点C到的距离是（ ） A．4 B． C．3 D． 6.如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　） A．△ABD≌△EBC B．△NBC≌△MBD C．DM=DC D．∠ABD=∠EBC 7.如图，在中，，按图进行翻折，使，，则的度数是（ ） A．25° B．30° C．35° D．40° 填空题 1.在△ABC中，∠A＝60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是______. 2．如图，在等边△ABC中，于点D，若，则________． 3.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝8，BC＝12，△ABD的面积为16，则△CBD的面积为 _____． 4．如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ=PQ，PR=PS，那么下面四个结论：①AS=AR：②QPAR；③△BRP≌△QSP：④BR=QS，其中一定正确的是（填写编号）________． 5.如图，∠EAB=∠CAF，AE=AB，∠E=∠B，给出下列结论：①EF=BC；②AD=AC；③；④∠CAF=∠BFE；⑤AF是∠EFC的平分线．其中正确的结论有_____．（填写序号） 解答题 1.等边中，，且． (1)求证：． (2)求的度数． 2.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上. （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长； （3）求∠BEC的度数 3.如图，已知是边长为的等边三角形，动点P从A点出发，以的速度向B运动，同时点Q从B点出发以速度向C运动，当Q点到达点时，两点停止运动．设点P的运动时间为t（），则 (1) ___________， ___________；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，是等边三角形？ (3)当t为何值时，是直角三角形？
4.在等边三角形中，D为射线上一点，连接，点B关于直线的对称点为E，连接． (1)如图1，点D在线段上，，求的度数； (2)射线与射线的交于点F，过点D作交射线于点G，连接交于点H． ①如图2，点D在线段上，求证：； ②点D在线段延长线上，用等式表示线段和之间的数量关系，并说明理由．