2022-2023学年湖南省永州市新田县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省永州市新田县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 点的坐标是，则点所在象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列图象是函数图象的是( )
A. B. C. D.
3. 习近平主席在年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道，下列有关环保的四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 图中表示被撕掉一块的正边形纸片，若，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
5. 某商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，绘制了如图所示的频数分布直方图，请问选择最合适的包装为( )
A. 包 B. 包 C. 包 D. 包
6. 如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：线段的长；的周长；的大小；直线，之间的距离其中会随点的移动而不改变的是( )
A. B. C. D.
7. 如图，在正方形中，点是边的中点，如果，那么四边形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
8. 下列命题，其中正确命题的个数为( )
等边三角形是中心对称图形；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
两条对角线互相垂直的四边形是菱形．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9. 点在的平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则关于长度的选项正确的是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 在中，，，，则的长为______ ．
12. 某班级有名学生，在期中考试学情分析中，分数段在分的频率为，则该班级在这个分数段内的学生有______ 人
13. 函数中自变量的取值范围是______ ．
14. 在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，，，则菱形的面积是______ ．
15. 已知点，点，若轴，则 ______ ．
16. 如图，在 中、相交于点，，当 ______ 时， 是矩形．
17. 如图，正方形的边长是，点为边上一点不与点重合，过点、在正方形内部作正方形，交边于点，连接、，当为等腰三角形时，的长为______ ．
18. 如图，直线经过点与直线相交于点，与轴交于，则不等式组的解集为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
已知，，．
点关于轴的对称点的坐标是______ ．
点关于原点的对称点的坐标是______ ．
在直角坐标系中画出．
的面积是______ ．
20. 本小题分
如图，已知在与中，，，与交于点．
求证：；
若，，求的周长．
21. 本小题分
为营造“人人关心、人人参与、人人支持”的创建文明县城的浓厚氛围校某举行了“文明在我身边”摄影比赛，已知每幅参赛作品成绩记为分校方从幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表．
分数段 频数 频率
合计
根据以上信息解答下列问题：
统计表中的值为______ ；样本成绩的中位数落在分数段______ 中；
补全频数分布直方图：
若分以上含分的作品将被组织展评，试估计全校被展评的作品数量是多少．
22. 本小题分
数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的．
小红同学先任意画出，再取边的中点，连结并延长到点，使，连结，如图所示，并写出了如下尚不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形中， ______ ．
求证：四边形是______ 四边形．
补全已知和求证在方框中填空．
小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程可以用小红的思路，也可以用其他方法．
23. 本小题分
如图，长方形中，，，点为边上一动点不与、重合，连接，随着点的运动，四边形的面积也发生变化．
求四边形的面积与的长之间的函数关系式用表示；
当四边形的面积为时，求的长．
24. 本小题分
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子已知购进甲种粽子的金额是元，购进乙种粽子的金额是元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的倍．
求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共个，要求购进甲种粽子不少于乙种粽子的倍，若设购买甲种粽子个，总费用为元，请为该超市设计出最省钱的购买方案并求最低费用．
25. 本小题分
如图，四边形是正方形，是边上一点，是的中点，平分．
求证：；
；
若，求的长．
26. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴，轴分别交于点、点，点的坐标为，点是轴上一动点．
求一次函数表达式和点的坐标；
连接，若的面积为，求点的坐标；
当点在轴上运动时，是否存在点使是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点在第四象限．
故选：．
由于点的横坐标为正，纵坐标为负，根据各象限内的点的坐标特征即可进行判断．
本题考查了点的坐标：记住各象限内的点的坐标特征．
2.【答案】
【解析】解：、作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有两个交点，故A不符合题意；
B、作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故B符合题意；
C、作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有两个交点，故C不符合题意；
D、作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有两个交点，故D不符合题意；
故选：．
根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
本题考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．
3.【答案】
【解析】解：、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4.【答案】
【解析】解：如图，延长，交于点，
，
，
正多边形的一个外角为，
．
故选：．
延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数．
本题主要考查多边形的内角和外角和，掌握相关定义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由图知这组数据的众数为，取其组中值，
故选：．
最合适的包装即顾客购买最多的包装，而顾客购买最多的包装质量即这组数据的众数，取所得范围的组中值即可．
本题主要考查频数率分布直方图，解题的关键是根据最合适的包装即顾客购买最多的包装，并根据频数分布直方图得出具体的数据及众数的概念．
6.【答案】
【解析】解：点，分别为，的中点，
，，
线段的长不变，直线，之间的距离，故符合题意，
、的长随点的运动而改变，的大小随点的运动而改变，故不符合题意；
故选：．
根据三角形中位线定理判断即可．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
7.【答案】
【解析】解：设的长是，则正方形的边长就是，根据勾股定理可得：
，
所以正方形面积，
答：四边形的面积是，
故选：．
要求四边形的面积，需要求出正方形的边长，再根据梯形的面积公式计算即可，设的长是，则正方形的边长就，根据勾股定理可得：，据此求出的值，再利用面积公式计算即可解答．
本题考查了正方形的性质，解答此题的关键是根据右边的直角三角形，利用勾股定理求出的值，再代入梯形的面积公式计算即可解答问题．
8.【答案】
【解析】解：因为正奇边形不是中心对称图形，故等边三角形不是中心对称图形，此选项错误；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，因为等腰梯形也符合此条件，此选项错误；
两条对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确；
两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项错误．
故选：．
根据中心对称的概念以及平行四边形、正方形、菱形的判定定理进行判断即可．
本题考查了特殊图形的判定定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形、正方形、菱形的各种判定定理．
9.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，于，
平分，点到边的距离等于，
，
．
故选：．
过点作于，与，由角平分线的性质得，由点到直线的距离垂线段最短得出即可解答．
本题考查点到直线的距离最短问题，关键掌握角平分线的性质，和垂线段的性质．
10.【答案】
【解析】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为；
同理可得：，，，，，，，，
，，
，为自然数．
，
点的坐标为，即
故选：．
根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点、、、、、、、等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，为自然数”，依此规律结合即可找出点的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，找到坐标的变化规律是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
故答案为：．
利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了含度角的直角三角形，熟练掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得：该班级在这个分数段内的学生有人．
故答案为：．
用乘以分数段在分的频率，即可求解．
本题主要考查了求频数，熟练掌握频数等于总数乘以频率是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的范围．
本题考查的是函数的自变量取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，，
，，，
点是的中点，
是的中位线，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，再由三角形中位线定理得，然后由勾股定理得，则，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：点，点，轴，
，
．
故答案为：．
根据轴可知，两点的横坐标相同，列出关于的方程，求出的值即可．
本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上各点的横坐标相同是解题的关键．
16.【答案】
【解析】四边形是平行四边形，
时，四边形是矩形，
，
当时，四边形是矩形．
故答案为：．
当时，平行四边形是矩形，即可求出，
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法．
17.【答案】或
【解析】解：连接，如图：
四边形、是正方形，，
、、共线，，
当时，，
；
当时，，
，
，
，
；
当时，与重合，不符合题意，舍去，
这种情况不存在；
当为等腰三角形时，的长为或．
故答案为：或．
分三种情形：当时，当时，当时，根据等腰直角三角形的性质求出即可解决问题．
本题考查正方形的性质、等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质，熟练应用等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍，属于中考常考题型．
18.【答案】
【解析】解：观察图象可知，不等式组的解集为．
故答案为：．
由图象得到直线与直线的交点的坐标及直线与轴的交点点，观察直线落在直线的下方且直线落在轴下方的部分对应的的取值即为所求．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
19.【答案】
【解析】解：点关于轴的对称点的坐标是．
故答案为：；
点关于原点的对称点的坐标是；
故答案为：；
如图，即为所求；
的面积．
故答案为：．
利用轴对称变换的性质判断即可；
利用中心对称变换的性质判断即可；
根据要求作出三角形即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
20.【答案】证明：，
与均是直角三角形，
在与中，
，
≌，
；
解：≌，
，，
，
，
，
，
的周长为．
【解析】根据证明≌，即可求证；
根据≌，可得，，从而得到，进而得到，即可求解．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：本次调查的作品总数为幅，
则，，，
其中位数为第、个数的平均数，
中位数落在中，
故答案为：，；
补全图形如下：
幅，
答：估计全校被展评作品数量是幅．
由频数和频率求得总数，根据频率频数总数求得、、的值，由中位数定义求解可得；
根据中所求数据补全图形即可得；
总数乘以分以上的频率即可．
本题考查读频数率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，以及条形统计图；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22.【答案】 平行
【解析】解：已知：如图，在四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形，
故答案为：，平行．
证明：在与中，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形．
根据题意补全已知和求证；
证明≌得出，，即可得证．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：梯形的面积上底下底高，
，
四边形的面积与的长之间的函数关系式为；
当时，即，
解得：，即，
，
在中，根据勾股定理得，
．
【解析】根据梯形的面积公式代入数值即可找到与之间的关系式；
将代入函数关系式求出，再求出的长，然后利用勾股定理即可求出答案．
本题考查了梯形的面积，函数关系式，函数关系式中的求值等知识点，数形结合是解题的关键．
24.【答案】解：设乙种粽子的单价为元，则甲种粽子的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
即甲种粽子的单价为元，乙种粽子的单价为元；
设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个，总费用为元，
依题意得：，
，
，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值为：元，
此时个，
即购进个甲种粽子，个乙种粽子．
【解析】设乙种粽子的单价为元，则甲种粽子的单价为元，由题意：购进甲种粽子的金额是元，购进乙种粽子的金额是元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少个，列出分式方程，解方程即可；
设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个，总费用为元，可得与的函数关系式，再根据解答即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据题意列函数关系式，再根据解答即可．
25.【答案】证明：，
，
平分，
，
．
证明：如图所示：
过点作交于点，连接．
平分，，，
，
又是的中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可求，
又，
；
解：设，则，
，
，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：，
．
【解析】由，得，；又因平分，得，等量代换得；
因平分，得，，的中点，可证明≌，易得；即可证明；
由和，在中，由勾股定理可求得的长．
本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理等相关知识的综合运用，重点掌握判定两个三角形全等的方法，难点是作垂线，构建角平分线和两个三角形全等，以及证明不在同一条直线上的两条线段的和等于另一条线段方法是将该两条线段转换到同一条直线上．
26.【答案】解：把代入，得，
解得：，
一次函数的表达式为，
令，得，
；
设，则，
的面积为，
，即，
解得：或，
点的坐标为或；
存在，点的坐标为或或或．
设，则，
在中，，
当时，，
解得：或，
点的坐标为或；
当时，如图，
，
，
；
当时，，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或或．
【解析】运用待定系数法可求得一次函数的表达式，令即可求得点的坐标；
设，则，根据三角形面积建立方程求解即可得出答案；
设，则，利用勾股定理可得，分三种情况讨论，当时，当时，当时，由等腰三角形的性质可求解．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象与性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
第1页，共1页