2022-2023学年辽宁省部分学校高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省部分学校高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 已知，则下列不等式一定正确的是( )
A. B. C. D.
3. 等差数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
4. 函数的部分图像大致为( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. “”是“方程有实数解”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知定义在上的奇函数满足对任意的，，且，都有，若，则的解集为( )
A. B.
C. D.
8. 已知过点作的曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知，则( )
A. B. C. D.
10. 若函数既有极大值又有极小值，则( )
A. B. C. D.
11. 设，，则( )
A. B. C. D.
12. 已知函数，函数，则下列结论正确的是( )
A. 若，则有个零点
B. 若，则有个零点
C. 若有个零点，则的取值范围为
D. 一定有零点
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知幂函数是奇函数，则 ______ ．
14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______ ．
15. 黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字若数列是以黄金分割数为公比的等比数列，且，则 ______ ．
16. 已知函数的图象与函数和函数的图象分别交于，两点，若，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知定义在上的奇函数满足当时，．
求的解析式；
若，求的值．
18. 本小题分
已知正实数，满足．
求的最小值；
求的最小值．
19. 本小题分
已知大气压强帕随高度米的变化满足关系式，是海平面大气压强．
世界上有座海拔米以上的高峰，喜马拉雅承包了座，设在海拔米处的大气压强为，求在海拔米处的大气压强结果用和表示．
我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：
平均海拔单位：米
第一级阶梯
第二级阶梯
第三级阶梯
若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围，设在第二级阶梯某处的压强为，在第三级阶梯某处的压强为，证明：．
20. 本小题分
已知数列满足．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
21. 本小题分
已知函数且．
试讨论的值域；
若关于的方程有唯一解，求的取值范围．
22. 本小题分
已知函数满足，且，函数．
求的图象在处的切线方程；
若对任意，存在，使得，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
根据题意，将集合化简，然后结合交集的运算，即可得到结果．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以，故D正确；
对于：若，，满足，此时，故A错误；
对于：若，，满足，此时，故B错误；
对于：因为，所以，故C错误．
故选：．
根据不等式的性质判断、，利用特殊值判断、．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：等差数列的前项和为，且，，
设公差为，由可得，
解得，故．
故选：．
先根据已知求出公差，再利用求和公式得出结果．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，所以的定义域为且关于原点对称．
又，
所以是奇函数，则排除，．
当时，，当时，，排除，
故选：．
求的定义域，并判断奇偶性，可排除不满足相应对称性的图像，再通过判断相应区间函数值的正负，即可选出答案．
本题考查了函数的奇偶性，函数的图像的对称性，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：因为函数在上单调递增，
所以题意可得解得．
故选：．
根据函数在上单调性可得答案．
本题主要考查函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：当时，此时的方程为，即无解，
所以由“”推不出””有实数解，
因为，所以，即，
所以方程有实数解，
所以“”是“方程有实数解”的必要不充分条件．
故选：．
根据充分条件与必要条件的定义求解．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：对任意的，，且，都有，
即在上是减函数，因为，所以在上是减函数，
为奇函数，可得，，可得，
因为，
所以当时，；
当时，，根据在上单调递减可得；
当时，，根据在上单调递减可得；
综上可知，不等式的解集为．
故选：．
根据条件可知函数在上单调递减，再根据奇函数性质即可得出函数的单调性，结合条件并对进行分类讨论即可解出不等式．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设切点为，由题意得，
所以，
整理得，此方程有两个不等的实根．
令函数，则．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，且．
，方程有两个不等的实根，故．
故选：．
先根据导数求出切线斜率，再构造函数把有两条切线转化为函数有两个交点解决问题即可．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：当，时，，故A错误．
函数在上单调递增，故B正确．
函数在上单调递增，故C正确．
函数在上单调递增，故D正确．
故选：．
根据题意，令，，即可判断，由幂函数的单调性即可判断，由指数函数的单调性即可判断，由对数函数的单调性即可判断．
本题考查不等式性质、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：的定义域为，
因为若函数既有极大值又有极小值，
所以方程有两个不等的正根，，
所以，解得，，，
所以和C正确，和D错误．
故选：．
先判断函数定义域，再求导，将题意转化为方程有两个不等的正根，，根据一元二次方程相关知识直接求解即可．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项A：，A错误；
因为，，所以，
选项B：因为，
，则，
有，所以，B正确；
选项C：，C正确；
选项D：，D正确．
故选：．
选项A：根据对数运算相关知识即可解决；选项B：根据对数运算相关知识进行适当放缩即可解决；选项C：根据对数运算相关知识即可解决；选项D：根据对数运算相关知识及基本不等式进行放缩即可解决．
本题考查两个实数的大小比较，以及指数、对数函数的性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：令，解得或；令，解得或或．
根据函数图象的平移变换，可画出的简图，如图所示．
令，则，令，则．
当时，只有解，且，此时只有解，所以只有个零点．
当时，有解，即或．
有解；有解．所以有个零点．
当时，有解，，，，，．
当时，只有解；
当时，有解；
当时，有解．所以有个零点．
当时，有解，即或或只有解；
有解；有解．所以有个零点．
当时，有解，，，．
当时，有解；当时，有解．所以有个零点．
当时，只有解，有解，所以有个零点．
当时，只有解，且，此时只有解，所以只有个零点．
综上，，，D正确．
故选：．
画出的简图，令，则，令，则，然后结合图象，分，，，，和六种情况讨论函数的零点即可．
此题考查函数与方程，考查分段函数的性质，解题的关键是画出的图象，结合图象分情况求解，考查数形结合的思想和分类讨论的思想，属于较难题．
13.【答案】
【解析】解：幂函数是奇函数，
由，解得或，
时，不是奇函数，
时，是奇函数，
所以．
故答案为：．
由幂函数定义求得，再判断奇偶性可得答案．
本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：依题意，，解得，
所以函数的定义域为．
故答案为：．
根据给定条件，利用函数有意义，结合复合函数的意义，列出不等式求解作答．
本题主要考查分式函数的性质，函数的定义域的定义，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，设整体为，较大部分为，则较小部分为，则，
即，解得舍去，故黄金分割数为．
令，则，即，
所以，故．
故答案为：．
先根据题意列方程求出黄金分割数，则可得等比数列的公比，然后根据等比数列的通项公式和黄金分割数的性质求解即可．
本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，
所以函数的图象恒在函数上方，
设，，且，则，
由，得，
又因为所在直线的斜率为，所以，
因为，所以，
即，解得，
因为，所以，代入函数，解得．
故答案为：．
设，，且，根据距离公式及两点的斜率公式求出，由此求出点坐标，再代入计算可得的值．
本题考查了两点间的距离公式及两点的斜率公式应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：因为是定义在上的奇函数，所以．
当时，，，则，
故
由可得只有当时，．
因为，所以，解得．
故的值为．
【解析】由奇函数的定义求解析式；
根据函数值的正负确定，选用相应的函数式计算求解．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
18.【答案】解：因为，所以，
，
当且仅当且，即时，等号成立，
故的最小值为；
因为，为正实数，所以，
又，所以，解得，
当且仅当，时，等号成立；
综上，的最小值为．
【解析】由已知运用基本不等式及相关结论即可求解．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：设在海拔米处的大气压强为，
，
所以，解得；
证明：设在第二级阶梯某处的海拔为，在第三级阶梯某处的海拔为，
则，
两式相减可得，
因为，，所以，
则，
即，
故．
【解析】设在海拔米处的大气压强为，根据已知条件列出关于、的方程组可得答案；
设在第二级阶梯某处的海拔为，在第三级阶梯某处的海拔为，根据已知条件列出关于、的方程组，两式相减可得，再根据、的范围可得答案．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：，，
两式相比得．
，．
数列是以为首项，为公比的等比数列；
数列是以为首项，为公比的等比数列．
．
综上，的通项公式为．
．
，
．
两式相减得
，
所以．
【解析】由可知应将用代替，迭代可得，再将两式相比可得隔项比为，验证首项不为零可得数列是以为首项，为公比的等比数列，数列是以为首项，为公比的等比数列，再求通项．
由可得通项结构为等差数列乘等比构成，可用错位相减法求和．
本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式和数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：．
因为，
所以当时，；当时，．
故当时，的值域为；当时，的值域为．
因为关于的方程只有一个解，
所以有唯一解．
令，，所以有唯一解．
关于的方程有唯一解，
设．
当时，，解得，不符合题意．
当时，，，所以一定有一个解，符合题意．
当时，，，解得．
当时，符合题意，当时，不符合题意．
综上，的取值范围为．
【解析】由，根据，分和讨论求解；
根据方程只有一个解，转化为有唯一解，令，，转化为关于的方程有唯一解求解．
本题主要考查函数的值域的求法，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：令得，即．
因为，所以，故在处的切线方程为．
由题意知：，分别在、上，
由，得．
令，则．
因为，所以，则，在上单调递增．
，即．
所以，在上单调递减，．
图象的对称轴方程是．
当时，，解得．
当时，，无解．
综上，的取值范围为．
【解析】将代入已知等式得，进而求得，即可写出切线方程；
问题化为，分别在、上，再由已知得，构造利用导数研究上函数符号，判断单调性，即可得最小值，根据二次函数性质确定在上最小值，即可求参数范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
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