2022-2023学年陕西省宝鸡市金台区高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年陕西省宝鸡市金台区高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若，则等于( )
A. B. C. D.
2. 书架的第层放有本不同的计算机书，第层放有本不同的动漫书，第层放有本不同的地理书，从书架上任取本书，不同的取法总数为( )
A. B. C. D.
3. 若，则( )
A. B. C. D.
4. 如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )
A. B. C. D.
5. 若的展开式中第项与第项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
6. 设随机变量的分布列为，为常数，则( )
A. B. C. D.
7. 已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8. 某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数为随机变量，则期望( )
A. B. C. D.
9. 教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了名教师到、、三个乡村学校去支教，每个学校至少去人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有种( )
A. B. C. D.
10. 我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的以下关于杨辉三角的猜想中错误的是( )
A. 由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想：
B. 由“在相邻的两行中，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想：
C. 由“第行所有数之和为”猜想：
D. 由“，，”猜想：
11. 甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，在这个问题已被正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为( )
A. B. C. D.
12. 有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则( )
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 将展开后有______项．
14. 某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这些产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为______ ．
15. 从，，，，，六个数中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到 个不同的对数值．
16. 下列四个命题中为真命题的是______ 写出所有真命题的序号
若随机变量服从二项分布，则其方差；
若随机变量服从正态分布，且，则；
已知一组数据，，，，的方差是，则，，，，的方差也是；
对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
袋中装有个红球和个黑球，这些球除颜色外完全相同．
现在有放回地摸次，每次摸出一个，求“恰好摸出次红球”的概率；
现在不放回地摸次，每次摸出一个，求“至少两次摸出红球”的概率．
18. 本小题分
已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于求：
的值；
展开式中第项；
展开式中的常数项．
19. 本小题分
某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图．
估计这名学生的竞赛成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
若该市共有名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过分的学生人数结果四舍五入到整数．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
20. 本小题分
甲盒中有个黑球，个白球，乙盒中有个黑球，个白球，丙盒中有个黑球，个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其它均相同，从这三个盒中各取一球．
求“三球中至少有一个为白球”的概率；
设表示所取白球的个数，求的分布列．
21. 本小题分
随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课某健身机构统计了年月份某初级私人健身教练课程的月报名人数单位：人与该初级私人健身教练价格单位：元小时的情况，如表所示．
月份
初级私人健身教练价格元小时
初级私人健身教练课程的月报名人数人
求的相关系数，并判断月报名人数与价格是否有很强的线性相关性？当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性精确到
请建立关于的线性回归方程；精确到
当价格为每小时元时，估计该课程的月报名人数为多少人？结果保留整数
参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，参考数据：．
22. 本小题分
某条街边有，两个生意火爆的早餐店，店主卖胡辣汤、油条等，店主卖煎饼果子、豆浆等，小明为了解附近群众的早餐饮食习惯与年龄的关系，随机调查了名到这两个早餐店就餐的顾客，统计数据如下：
店 店
年龄岁及以上
年龄岁以下
判断是否有的把握认为附近群众的早餐饮食习惯与年龄有关．
根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，某天有名顾客到这两个早餐店就餐每人只选一家，且他们的选择相互独立设人中到店就餐的人数为，求的分布列和期望．
附：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，可得，解得，舍．
故选：．
直接利用排列数公式，得到方程求解即可．
本题考查排列数公式的应用，是基本知识的考查．
2.【答案】
【解析】解：根据题意可得从书架上任取本书，有种不同的取法．
故选：．
根据分类加法计算原理即可求解．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理是解决本题的关键，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
令可得．
故选：．
利用赋值法进行计算即可．
本题主要考查二项式定理的应用，利用赋值法进行计算是解决本题的关键，是基础题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两个计数原理的综合应用，属于中档题．
分类要全要细．每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，、不同色；、同色两大类．
【解答】
解：先涂有种颜色可选，再涂有种颜色可选，
剩下的分两种情况：
、不同色注意：、可同色、也可不同色，只要不与、同色，所以可以从剩余的中颜色中任意取一色：有种；
、同色注意：、可同色、也可不同色，只要不与、同色，所以可以从剩余的中颜色中任意取一色：有种，
共有种．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：的展开式通项公式为：，
的展开式中第项与第项的系数相等，
，解得，
故展开式中二项式系数最大的项为第项．
故选：．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得：，解得．
所以．
．
．
故选：．
利用分布列的性质列出方程，求出，然后求解概率，判断选项的正误即可．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．
正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，又有越小图象越瘦长，从而得到正确的结果．
【解答】
解：正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，
第一个曲线的均值比第二和第三个图象的均值小，且第二个曲线和第三个曲线的均值相等，
即，
越小图象越瘦长，
得到第二个曲线的比第三个曲线的要小，即
故选D．
8.【答案】
【解析】解：由题意得随机变量的可能取值有，，，
则，，，
随机变量的分布列为：


．
故选：．
由题意得随机变量的可能取值有，，，可得，，，可得的分布列，即可得出答案．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得名教师分为，，或，，组，
当分为，，组时共有的选派方法数为种，
当分为，，组时共有的选派方法数为种，
所以共有种．
故选：．
由题意可得名教师分为，，或，，组，然后根据排列组合的计数性质分别求出方法数，最后根据分类加法原理计数即可求解．
本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了学生的分类思想，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于：的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行每一项，“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”，即第行第项，则其二项式系数为，后面对称的是第项，其二项式系数为，
则有，所以A正确．
对于：“在相邻的两行中，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”，第行第项，其二项式系数为其“肩上”两个数为第行的和项，二项式系数分别为，，所以B正确．
对于：的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行每一项，由组合数的性质：，则有第行所有数之和为，C正确；
对于：计算可得，错误．
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查合情推理的应用，涉及杨辉三角与二项式定理的关系，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：设事件表示“甲能回答该问题”，事件表示“乙能回答该问题”，事件表示“这个问题被解答”，
则，，故，
所以在这个问题已被解答的条件下，
甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为：．
故选：．
利用独立事件及互斥事件的概率求法求解该问题被解答的概率，再利用条件概率计算公式求解即可．
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题．
分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．
【解答】
解：由题意可知，两次取出的球的数字之和是的所有可能为：，，，，，
两次取出的球的数字之和是的所有可能为，，，，，，
甲，乙，丙，丁，
：甲丙甲丙，
：甲丁甲丁，
：乙丙乙丙，
：丙丁丙丁，
故选：．

13.【答案】
【解析】解：展开式一共有项，
故答案为：．
利用二项式定理展开式，即可解出．
本题考查了二项式定理的展开式项数，学生的数学运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：恰好有个二等品的概率．
故答案为：．
利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查其它排列问题、排列与排列数公式、对数换底公式，属于较易题．
根据所取得两个数中是否含有分为两类，利用排列数公式和对数换底公式即可求出不同的对数值个数．
【解答】
解：根据题意，分种情况讨论：
当取得两个数中有一个是时，则只能作真数，此时，或或或或，
所取的两个数不含有时，即从，，，，中任取两个，分别作为底数与真数可有个对数，
其中，，，，
综上可知：共可以得到个不同的对数值．
故答案为：．

16.【答案】
【解析】解：若随机变量服从二项分布，
则其方差，故正确；
若随机变量服从正态分布，且，
则，故错误；
已知一组数据，，，，的方差是，
则，，，，的方差也是，故正确；
对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，
则，解得，故错误．
故选：．
根据已知条件，结合二项分布的方差公式，正态分布的对称性，方差的线性公式，线性回归方程的性质，即可求解．
本题主要考查二项分布的方差公式，正态分布的对称性，方差的线性公式，线性回归方程的性质，属于基础题．
17.【答案】解：因为袋中装有个红球和个黑球，
所以有放回地每次摸出红球的概率为，
所以有放回地摸次，每次摸出一个，求“恰好摸出次红球”的概率为：
；
由不放回地摸球，则至少两次摸出红球，即为一次摸出个红球，
所以不放回地摸次，每次摸出一个，求“至少两次摸出红球”的概率为；
．
【解析】易得有放回地每次摸出红球的概率为，再利用独立重复试验求解；
利用古典概型的概率求解．
本题考查独立重复试验、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：由题意可知，，解得；
的二项展开式通项为，
故；
令，解得，
故展开式中的常数项为．
【解析】根据已知条件，列出等式，即可求解；
先求出该二项展开式的通项公式，令，即可求解；
结合该二项展开式的通项公式，即可求解．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：样本平均数的估计值：；
由题意可知，，
，
则，
故参赛学生中成绩超过分的学生人数为：．
【解析】根据已知条件，结合平均数公式，即可求解；
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
20.【答案】解：根据题意，记甲、乙、丙盒中取一球为白球事件分别为、、，三球中至少有一球为白球记为事件，
则；；．
；
由题意可知，随机变量的可能取值为，，，．
，
，
，
．
所以，随机变量的分布列如下：

【解析】由题意，分别求出甲、乙、丙盒中取一球为白球事件的概率，再用间接法即可求得“三球中至少有一个为白球”的概率；
由题意可得的可能取值为，，，分别求出各个取值的概率，从而可列出离散型随机变量的分布列．
本题考查随机变量的分布列，涉及互斥事件的概率计算，属于基础题．
21.【答案】解：，，
，，，
．
，与有很强的线性相关性；
，，
关于的线性回归方程为；
当时，．
故当价格为每小时元时，估计该课程的月报名人数为人．
【解析】由相关系数公式求解值，比较与的大小得结论；
求出与的值，可得线性回归方程；
在中求得的线性回归方程中，取，求解值得答案．
本题考查线性回归关系的判断，线性回归方程及其应用，考查数据分析和数学运算的核心素养，是中档题．
22.【答案】解：列联表如下：
店 店 总计
年龄岁及以上
年龄岁以下
总计
此时，
因为，
所以我们有的把握认为附近群众的早餐饮食习惯与年龄有关；
易知顾客到店就餐的，
此时的所有取值为，，，，
所以，，，，
则的分布列为：
此时．
【解析】由题意，补全列联表，代入公式中求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；
先得到的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．
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