2022-2023学年广东省江门市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省江门市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则( )
A. B. C. D.
2. 若，则( )
A. B. C. D.
3. 在回归分析中，下列判断正确的是( )
A. 回归直线不一定经过样本点的中心 B. 样本相关系数
C. 相关系数越接近，拟合效果越好 D. 相关系数越小，相关性越弱
4. 已知，且，若，则( )
A. B. C. D.
5. 若直线与圆相切，则( )
A. B. C. D.
6. 以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”请问函数在区间上的“中值点”的个数为( )
A. B. C. D.
7. 将名教育志愿者分配到甲、乙、丙和丁个学校进行支教，每名志愿者只分配到个学校，每个学校至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. 设为数列的前项积，若，且，当取得最小值时，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知随机变量服从正态分布，则( )
A. B.
C. D. 的方差为
10. 根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到线性回归模型，对应的残差如图所示，则残差模型( )
A. 满足回归模型的假设
B. 不满足回归模型的假设
C. 满足回归模型的假设
D. 不满足回归模型的假设
11. 已知函数，则( )
A. 的图象是轴对称图形 B. 的单调递减区间是
C. 的极值小值为 D. 的极大值为
12. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于，两点其中点在轴上方，则( )
A. B. 弦的长度最小值为
C. 以为直径的圆与轴相切 D. 以为直径的圆与抛物线的准线相切
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数的极大值为______．
14. 在的展开式中，含的系数为_____．
15. 已知甲箱内有个白球个黑球，乙箱内有个白球个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱，然后从乙箱中任取一球，则事件“从乙箱中取得黑球”的概率为______ ．
16. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次表示抽到的二等品件数，则 ______ ；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用元与二等品件数满足：，则 ______
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列中，，，数列是等差数列，且．
求，和数列的通项公式；
求数列的前项和．
18. 本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为直角梯形，，．
求证；；
若，，，求平面与平面的夹角的余弦值．
19. 本小题分
体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想为推动落实全民健身国家战略，某学校以锻炼身体为目的，每天下午组织足球训练活动．
为了解喜爱足球运动是否与性别有关，从该校随机抽取了男学生和女学生各名观众进行调查，得到如表列联表：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动
男学生
女学生
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？
在某次足球训练课上，球首先由队员控制，此后足球仅在，，三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如表所示：
控球队员
接球队员
概率
若传球次，记队员控球次数为，求的分布列及均值．
附：，．
附表：
20. 本小题分
台山市镇海湾蚝是台山市著名的特产，因镇海湾的生蚝田处于咸淡水交汇之地，所以这里的生蚝长得比其他地方肥大，味道更加鲜美年镇海湾某养殖基地考虑增加人工投入，根据市场调研与模拟，得到人工投入增量人与年收益增量万元的数据和散点图分别如下：
根据散点图，建立了与的两个回归模型：
模型：；模型：．
求出模型中关于的回归方程精确到；
比较模型，的决定系数的大小，说明哪个模型拟合效果更好，并用该模型预测，要使年收益增量超过万元，人工投入增量至少需要多少人？精确到
线性回归方程的系数：，；
模型的决定系数：．
参考数据：令，则，且，，，；模型中；模型中．
21. 本小题分
已知函数，其中．
若，求的单调区间；
讨论函数的零点个数．
22. 本小题分
已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦距．
求椭圆的方程；
设椭圆的左、右顶点分别为，，过左焦点的直线交椭圆于，两点其中点在轴上方，求与的面积之比的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据所有事件概率和为，从而得到．
本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据排列组合数公式计算．
本题主要考查组合数公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于，回归直线一定经过样本点的中心，A错误；
对于，样本相关系数，B错误；
对于，相关系数越接近，拟合效果越好，C正确；
对于，相关系数越小，相关性越弱，D错误．
故选：．
利用回归直线的性质判断；利用相关系数的范围、和相关性强弱的关系判断作答．
本题考查回归分析、相关系数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，则，所以，，
因为，且，解得．
故选：．
求出，由可求得实数的值．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：圆的圆心，半径，
依题意，，解得，
所以．
故选：．
求出圆的圆心和半径，再利用圆的切线性质求解作答．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由拉格朗日中值定理，，，，
则，则，共个解．
故选：．
根据定义，代入拉格朗日中值定理，令，找到 ，解方程．
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的简单应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，有一个学校分配名志愿者，其余学校各分配名志愿者，可以先从名志愿者中任选人，组成一个小组，有种选法，
然后连同其余三人，看成四个元素分配到个不同的学校，有种方法，
由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为．
故选：．
先从名志愿者中任选人，组成一个小组，然后连同其余三人，看成四个元素分配到个不同的学校，再利用分步乘法计数原理求得．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题易知，因为，所以，
所以数列是公比为的等比数列，
由，得，解得，
所以，
所以，
要使取得最小值，则为奇数，且取最小值，
结合二次函数知识知时，满足为奇数，且取最小值，
所以当取得最小值时，，
故选：．
通过等比数列定义及等比数列基本量计算求出通项公式，然后求出前项积，利用指数函数单调性及二次函数知识求解最值即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为随机变量服从正态分布，则，，
所以随机变量所对正态曲线关于对称，
于是，，A正确；
显然和关于对称，而和关于不对称，
因此，，B正确，C错误；
显然的方差为，D错误．
故选：．
根据题意得出，，结合正态分布的对称性，对各选项逐项判定，即可求出结果．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，
残差散点图中散点应是分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，
故由已知残差图可知残差与观测变量有线性关系，
因此残差模型既不满足回归模型的假设，也不满足回归模型的假设．
故选：．
根据已知残差散点的分布图，结合一元线性回归模型中对随机误差的假定的含义，即可判断答案．
本题考查线性回归方程与回归分析，考查学生的读图视图能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，且，
则函数是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确；
由，得，函数在上单调递增，且，
当时，，当时，，
则函数在上递减，在上递增，故B错误；
函数在处取得极小值，无极大值，故C正确，D错误．
故选：．
判断函数的奇偶性判断；求出函数的导数，利用导数分析单调性与极值判断．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：已知抛物线的焦点为，
则，
设直线：，，，，，
联立，
消可得，
，
则，，
则，
同理可得，，
对于选项A，
，
故选项A正确；
对于选项B，
，
故弦的长度最小值为，
故选项B错误；
对于选项C，记中点，
则点到轴的距离为，
由抛物线的性质，，
所以以为直径的圆与轴相切，
故选项C正确；
对于选项D，，
记中点，
则点到抛物线的准线的距离，
故以为直径的圆与抛物线的准线相切，
故选项D正确．
故选：．
由弦长公式计算可判定选项A、；、选项，可以利用圆的性质，圆心到直线的距离等于半径判定直线与圆相切．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
令，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时为极大值点，故极大值为．
故答案为：．
先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出．
本题考查了导数和函数的极值的问题，考查了运算能力，属于基础题
14.【答案】
【解析】解：展开式中含的项为，
所以的系数为，
故答案为：．
根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：记甲箱中取出白球的事件为，从乙箱中取出黑球的事件为，
依题意，，，
所以．
故答案为：．
根据给定条件，利用全概率公式计算作答．
本题主要考查了全概率公式的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，其中表示抽到的二等品件数，
所以抽到二等品的件数符合二项分布，即，
所以，
因为检测费用元与二等品件数满足：，
所以．
故答案为：；．
由题意可得，然后利用二项分布的方差公式及性质求解即可．
本题主要考查离散型随机变量方差的求解，考查转化能力，属于基础题．
17.【答案】解：因为，所以，，
又数列是等差数列，设公差为，则，
所以；
由可知，所以，
所以，
所以数列的前项和．
【解析】直接代入可算出，的值，进而可求公差，即可求得的通项公式；
由和题意可求得数列的通项公式，再用裂项相消法可求．
本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求和，属于中档题．
18.【答案】证明：平面平面，平面平面，，
平面，平面，
平面，因此，．
解：平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内垂直于的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
，，，
、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，则，
因此，平面与平面的夹角的余弦值为．
【解析】利用面面垂直的性质可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值．
本题主要考查线线垂直的证明，平面与平面所成角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：零假设为：喜欢足球运动与性别无关，
此时，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢足球运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．
因为球首先由队员控制，此后足球仅在，，三名队员之间传递，
此时的所有取值为，，，
可得，，
，
则的分布列为：
故．
【解析】由题意，代入公式中求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；
先得到的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．
20.【答案】解：令，则模型为：，
由，，，，
得，，
模型中关于的回归方程是；
模型中的决定系数，
模型的决定系数，
，模型中的决定系数小于模型的决定系数，
故模型的拟合效果更好．
在模型下，年收益增量超过万元，
则有，，
人工投入增量至少需要人．
【解析】，先求出关于的线性回归方程，进而可求关于的回归方程；
代入公式分别求出模型和模型的决定系数，然后比较大小即可；再通过解不等式即可得至少人工投入增量人数．
本题考查线性回归方程与决定系数的求法，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：函数的定义域为，
故，
当时，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是．
当时，由知，，因此函数只有个零点，
当时，由，得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，于是函数无零点，
所以当时，函数有个零点，当时，函数无零点．
【解析】把代入，利用导数求出函数的单调区间作答．
按照与分别求出函数的最小值，即可判断作答．
本题主要考查函数零点个数问题及导数与单调性的应用，属于中档题．
22.【答案】解：双曲线的方程可化为，
其焦距为，
设椭圆的焦点为，
，解得：，
又椭圆的离心率，
，，
椭圆的方程为．
由知：，，，
由题意知：直线斜率不为，
则可设：，，，
由得：，
则，
，，
，，
；
，
又，
，
，即，
又，
，
设，则，
，
解得：，
，
即与的面积之比的取值范围为．
【解析】根据双曲线方程可确定焦距，再结合离心率和椭圆，，的关系可求得椭圆方程；
设：，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据三角形面积公式可知所求面积之比为，利用可构造不等式求得的范围，从而确定面积之比的取值范围．
本题重点考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积相关问题的求解；解题关键是能够将问题转化为变量的取值范围的求解问题，利用非对称韦达的处理方法，结合的范围可构造不等式求得结果．
第1页，共1页