2022-2023学年山东省威海市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省威海市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，则( )
A. B. C. D.
2. 若随机变量，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 某杂交水稻种植研究所调查某水稻的株高，得出株高单位：服从正态分布，其概率分布密度函数为，，若，则( )
A. B. C. D.
4. 函数在区间的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为单位：亿元，现统计前年的数据为，，，，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第年的生产利润为( )
A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元
6. 从正六边形的六个顶点中任取三个顶点，则这三个顶点可以构成直角三角形的概率为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数及其导函数的定义域均为，则“为奇函数”是“为偶函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数，若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 在的展开式中( )
A. 常数项为 B. 各项二项式系数的和为
C. 各项系数的和为 D. 各项系数的绝对值之和为
11. 已知实数，满足，则( )
A. B.
C. D.
12. 已知函数，则( )
A. 存在，使不存在极小值
B. 当时，在区间单调递减
C. 当时，在区间单调递增
D. 当时，关于的方程实数根的个数不超过
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数是偶函数，则实数 ______ ．
14. 有甲、乙、丙、丁、戊名同学站成一排合影留念，若甲和乙相邻，则不同的排法共有______ 种用数字作答．
15. 写出曲线过坐标原点的一条切线方程______ ．
16. 已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
18. 本小题分
某大学在一次调查学生是否有自主创业打算的活动中，获得了如下数据．
男生人 女生人
有自主创业打算
无自主创业打算
若，，根据调查数据判断，是否有的把握认为该校学生有无自主创业打算与性别有关；
若，，从这些学生中随机抽取一人．
(ⅰ)若已知抽到的人有自主创业打算，求该学生是男生的概率；
(ⅱ)判断“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”是否独立．
附：，．
19. 本小题分
根据国家学生体质健康标准，六年级男生和女生一分钟跳绳等级如表单位：次．
一分钟跳绳等级 六年级男生 六年级女生
优秀 及以上 及以上
良好
及格
不及格 及以下 及以下
从某学校六年级男生和女生中各随机抽取名进行一分钟跳绳测试，将他们的成绩整理如表：
男生次
女生次
从这名男生中任取名，求取到的名男生成绩都优秀的概率；
若以成绩优秀的频率代替成绩优秀的概率，且每名同学的测试相互独立从该校全体六年级学生中随机抽取名男生和名女生，设为这名学生中一分钟跳绳成绩优秀的人数，求的概率分布与期望．
20. 本小题分
已知函数．
当时，求在区间的最大值；
若存在唯一的零点，且，求实数的取值范围．
21. 本小题分
在信道内传输，信号，信号的传输相互独立发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为考虑两种传输方案：单次传输和三次传输单次传输是指每个信号只发送次，三次传输是指每个信号重复发送次收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码例如，若依次收到，，，则译码为．
当，时，
(ⅰ)采用单次传输方案，若依次发送，，，求依次收到，，的概率；
(ⅱ)采用三次传输方案，若发送，求译码为的概率；
若发送，采用三次传输方案译码为的概率大于采用单次传输方案译码为的概率，求的取值范围．
22. 本小题分
已知函数．
若在区间单调递减，求实数的取值范围；
若存在两个极值点，．
(ⅰ)求实数的取值范围；
(ⅱ)证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合或，
则．
故选：．
利用补集、交集定义、不等式性质直接求解．
本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，解得．
故选：．
根据二项分布的期望、方差计算可得答案．
本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：依题意，该正态分布的对称性为，
根据正态分布曲线的对称性，则．
故选：．
由题意可知该正态分布的对称性为，再根据正态分布曲线的对称性求解．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
当且仅当，即时，等号成立，
函数在区间的最小值为．
故选：．
利用基本不等式直接求解即可．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
则样本点的中心的坐标为，代入，
得，可得线性回归方程为，
取，可得．
故选：．
由已知求得样本点的中心，代入线性回归方程求解值，进一步取得答案．
本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图，
在六个顶点中任取三个顶点，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况，
因为在正六边形中，过中心的对角线所对的角为直角，
所以有，，，，，，，，，，，，共种情况，
故所求概率．
故选：．
运用列举法根据古典概率公式可得答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：当为奇函数时，则与的定义域关于原点对称，且，
两边同时求导，即，
得，即，所以为偶函数；
反之，当为偶函数时，取，
则，显然满足条件，但显然不是奇函数，
所以“为奇函数”是“为偶函数”的充分不必要条件．
故选：．
由奇函数的定义并求导可判断充分性，反过来取特例即可．
本题考查了充要条件的判定方法、函数的奇偶性，考查了推理能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
由于，，
，所以，
，
所以，
因为函数在上为增函数，
则，
所以．
故选：．
根据对数函数的单调性和中间量比较出，再由函数的单调性得出结果．
本题主要考查对数值大小的比较，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项，，A错误；
选项，，B正确；
选项，，C错误；
选项，，D正确．
故选：．
利用导函数四则运算和简单复合函数求导法则计算出答案．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：：展开式的常数项为，故A正确；
：各项的二项式系数和为，故B错误；
：令，则各项系数和为，故C正确；
：各项系数的绝对值之和与二项式的展开式的关系系数和相等，令，则所求和为，故D正确．
故选：．
：根据二项式定理即可求解判断；：根据二项式系数和公式即可判断求解；：令即可判断；：各项系数的绝对值之和与二项式的展开式的关系系数和相等，令即可求解判断．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，
所以，故A正确；
因为，，
所以，即，B错误；
令，，
则，即在上单调递增，
所以，
所以，即，C正确；
当，时，，D错误．
故选：．
由已知结合不等式的线性检验选A；
构造函数，结合单调性检验选项BC，
结合特殊值检验选项D．
本题主要考查了不等式的性质，导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：已知，
可得，
对于选项A：当时，函数，
易知函数在和上单调递增，
所以不存在极小值，故选项A正确；
对于选项B：当且为偶数时，为奇数，
易知当时，，，，
所以，
此时函数在上单调递增，故选项B错误；
对于选项C：若，
此时，
当时，，，，
所以，
此时函数在上单调递增，故选项C正确；
对于选项D：当时，
若，
易得为方程的实数根；
若，
此时，
不妨设，
可得，
令，
解得或，
即函数至多存在两个零点，
此时函数至多存在三个单调区间，
所以函数至多存在三个零点，
即关于的方程至多存在三个实数根，
综上，当时，关于的方程实数根的个数不超过，故选项D正确．
故选：．
由题意，令，得到函数的解析式，结合指数函数单调性分析判断选项A；令为负偶数，对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断选项B；利用导数的几何意义得到函数的单调性，进而可判断选项C；对和这两种情况进行分析，利用导数的几何意义即可判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
13.【答案】
【解析】解：因为是偶函数，
根据二次函数的性质可知，，即．
故答案为：．
由已知结合函数的奇偶性及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及二次函数性质的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：将甲、乙看成一个元素，再与其余名同学全排，有种排法．
故答案为：．
将甲、乙看成一个元素，利用捆绑法求解即可．
本题考查捆绑法解决排列问题，是中档题．
15.【答案】或任写一个即可
【解析】解：曲线，
，
设切点为：，
故切线方程为：，
由于切线过原点，
可得：，
整理得：，解得或，
当时，切线方程为：，即；
当时，切线方程为：，即；
故答案为：或任写一个即可．
设切点坐标，求出导函数，得到切线的斜率，进而得到切线方程，根据切线过原点，即可求解结论．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为为奇函数，所以，
因为为偶函数，所以，
所以，，
又因为，所以，
所以，所以，
得，所以，
所以，又因为，
，
所以，
．
故答案为：．
根据为奇函数，为偶函数推出所以，，进而由的任意性推出与的关系，与的关系，求出函数的周期，另外由可求出，由以上信息可求得所求值的大小．
本题考查了函数的奇偶性、周期性、抽象函数的性质，考查了推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：由题意知，，
所以，
所以，
解得
即不等式的解集为；
方程，可化为，
即，
即有两个不相等的实数根，
令，则有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
【解析】通过解对数不等式求解结果；
通过解对数方程，利用换元法以及根与系数关系求得的取值范围．
本题主要考查了对数不等式的解法，考查了换元法以及韦达定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：，
所以有的把握认为该校学生有无自主创业打算与性别有关．
记为“抽到的人有自主创业打算”，为“抽到的人是男生”，
，，
所以或
(ⅱ)记为“抽到的人无自主创业打算”，为“抽到的人是男生”，
法一：，又，所以，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立；
法二：，又，所以，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立；
法三：，，
，所以，所以，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立；
法四：，
所以该校学生有无自主创业打算与性别无关，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立．
【解析】计算卡方，与比较后得到结论；
设出事件，利用条件概率公式进行求解；
(ⅱ)法一：计算出，得到结论；法二：计算出，得到结论；
法三：计算得到，得到结论；法四：计算出卡方为，从而得到结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
19.【答案】解：名男生中一分钟跳绳成绩优秀的有名，
则取到的名男生成绩都优秀的概率；
从该校六年级学生中任取一名男生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为，
任取一名女生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为，
由题意可知，所有可能取值有：，，，，
，
，
，
，
故的分布列为：


故E．
【解析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解；
由题意可知，所有可能取值有：，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列、期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：当时，，
则，
由，可得或，，可得，
因此在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增，
所以在区间的最大值为、中较大者，
因为，，
所以在区间的最大值为；
法一：，
当时，，令，可得，不合题意；
当时，解不等式，可得，
解不等式，可得或，
所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，
又因为，所以在存在零点，不合题意；
当时，解不等式，可得或，
解不等式，可得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
又因为，所以在存在零点，
若存在唯一的零点，且，则，
可得，即，解得或，所以．
综上，．
法二：依题意知方程有唯一的负根，
即有唯一负根，
所以与的图象有唯一交点且位于轴左侧，
令，则，，
解不等式，可得，
解不等式，可得或，
所以在单调递减，在，单调递增，在单调递减，
所以，
又，所以，即的取值范围是．
【解析】当时，，根据导数求得函数的单调性，进而求得函数的最大值得到答案；
法一：求得，分、、讨论求得函数的单调区间，结合题意和函数零点的概念可求解；法二：由已知得有唯一负根，转化为与的图象有唯一交点且位于轴左侧，利用导数判断单调性结合函数零点的概念可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，函数的零点问题，考查运算求解能力，属于难题．
21.【答案】解：记“采用单次传输方案，依次发送，，，依次收到，，”为事件，
则；
(ⅱ)记“采用三次传输方案，发送，译码为”为事件，
则；
记“发送，采用三次传输方案译码为”为事件，
记“发送，采用单次传输方案译码为”为事件，
则，
，所以，
因为，整理得，
解得，
即的取值范围为
【解析】记“采用单次传输方案，依次发送，，，依次收到，，”为事件，利用相互独立事件的概率公式、对立事件计算可得；
(ⅱ)记“采用三次传输方案，发送，译码为”为事件，利用相互独立事件的概率公式、对立事件计算可得；
记“发送，采用三次传输方案译码为”为事件，记“发送，采用单次传输方案译码为”为事件，求出、，利用可得答案．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
22.【答案】解：已知，
可得，
若函数在上单调递减，
此时在上恒成立，
即在上恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，函数在上单调递增，
所以，
即，
解得，
所以；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
此时，
则，
综上，实数的取值范围为；
不妨设，函数定义域为，
可得，
若存在两个极值点，，
此时，为函数的两个变号零点，
若，
此时，在上单调递减，
所以不可能存在两个变号零点，不符合题意；
若，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
若存在两个变号零点，
此时函数的最小值，
解得，
又，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在上单调递增，
此时，
又，
所以当时，函数存在两个极值点，
综上，满足条件的实数的取值范围为；
证明：不妨设，
要证，
即证，
因为，，
又函数在上单调递减，
所以需证，
因为，
即证，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在上单调递增，
此时，
即，
所以，
故．
【解析】由题意，对函数进行求导，将问题转化成在上恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可求解；
构造函数，对函数进行求导，将存在两个极值点，，转化成，为函数的两个变号零点，分别讨论当和这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可；
(ⅱ)设，要证，即证，结合函数的单调性，将问题转化成求证，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力．
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