2022-2023学年福建省福州市福清市西山学校高中部高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市福清市西山学校高中部高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知函数，则( )
A. B. C. D.
3. 函数的图象如图，则该函数可能是( )
A. B. C. D.
4. 直线与曲线相切，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 已知是偶函数，则( )
A. B. C. D.
6. 若，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 设函数在区间单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知幂函数的图象如图所示，则值可能为( )
A.
B.
C.
D.
10. 下列判断错误的是( )
A. 的最小值为 B. 若，则
C. 若，则 D. 如果，那么
11. 设函数，对任意的，，以下结论正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 已知函数的定义域为，，则( )
A. B.
C. 是偶函数 D. 为的极小值点
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数，则 ______ ．
14. 不等式组的解集为______ ．
15. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
16. 已知函数在区间上的值域为，则该函数的一个解析式可以为 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知集合，．
若是的子集，求实数的值；
若是的子集，求实数的取值范围．
18. 本小题分
已知函数．
求函数的极值；
求函数在上的最大值和最小值．
19. 本小题分
已知函数在区间上有最小值和最大值，设．
求，的值；
若不等式在上有解，求实数的取值范围．
20. 本小题分
据统计，某产品在过去一段时间内的日销售量单位：千克与日销售单价单位：元均为时间天的函数，日销售量为常数，且时，日销售量为千克，日销售单价满足函数．
写出该商品日销售额关于时间的函数日销售额日销售量销售单价；
求这段时间内该商品日销售额的最大值．
21. 本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若函数在单调递增，求的取值范围．
22. 本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：当时，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，或，
，则．
故选：．
先把集合表示出来，再根据交集的定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：函数，
，
．
故选：．
由，结合分段函数的性质得，由，结合分段函数的性质得．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
3.【答案】
【解析】解：函数的图象如图，
由图象知该函数是奇函数，中的函数是偶函数，故排除；
由图象知该函数过，中的函数过，故排除；
由图象知该函数单调递增区间是，，
在中，函数满足，
在中，函数满足，结合图象C错误，D正确．
故选：．
由图象知该函数是奇函数，函数过，从而排除选项A和；在中，函数满足，在中，函数满足，结合图象C错误，D正确．
本题考查命题真假的判断，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：令，
解得，故切点为，
再代入直线方程得．
故选：．
令曲线对应的导数值等于，求出切点坐标，进而求出的值．
本题考查导数的几何意义以及切点的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：的定义域为，又为偶函数，
，
，
，
，．
故选：．
根据偶函数的性质，运算即可得解．
本题考查偶函数的性质，化归转化思想，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以．
所以必要性成立．
所以“”是“”的充要条件．
故选：．
证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了不等式的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设，对称轴为，抛物线开口向上，
是的增函数，
要使在区间单调递减，
则在区间单调递减，
即，即，
故实数的取值范围是．
故选：．
利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可．
本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：对函数求导可得，，
依题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
易知当时，，
则函数在上单调递减，
则．
故选：．
对函数求导，根据题意可得在上恒成立，设，利用导数求出函数的最大值即可得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据幂函数的图象在第一象限内是单调增函数，且关于原点对称，
通过与直线的图象比较知，，且幂函数为奇函数；
所以由选项知，值可能为和．
故选：．
根据幂函数的图象特征得出，且为奇函数，求出得出的可能取值．
本题主要考查了幂函数的图象和性质的应用问题，熟练掌握幂函数的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：：当时，，
当且仅当时取等号，故A错误，
：当时，成立，故B正确，
：当时，，当时，，
当且仅当时取等号，故C错误，
：当时，，所以，故D正确，
故选：．
利用不等式的性质即可判断选项B，，利用基本不等式的使用条件即可判断选项A，．
本题考查了基本不等式以及不等式的性质的应用，考查了学生的运算理解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，
所以，A错误；
，B正确；
，C正确；
，
当时，，，D错误．
故选：．
由已知函数解析式，结合指数的运算性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由，
取，可得，故A正确；
取，可得，即，故B正确；
取，得，即，
取，得，可得是偶函数，故C正确；
由上可知，，而函数解析式不确定，
不妨取，满足，
常数函数无极值，故D错误．
故选：．
在已知等式中，取判断；取判断；求出，再取判断；取满足等式的特殊函数判断．
本题考查抽象函数的应用，取特值是关键，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：函数，
，
故答案为：．
利用指数与对数函数的运算性质即可得出结论．
本题考查了指数与对数函数的运算性质、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：不等式组，即，即．
求得它的解集为．
故答案为：．
由题意，化简不等式组，分别求出一元二次不等式、绝对值不等式的解集，再取交集，即可得到不等式组的解集．
本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，解不等式组，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为对任意实数，不等式恒成立，
故对任意实数恒成立，
故只需满足，解得：或，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
根据题意将问题转化为对任意实数恒成立，进而得，解不等式即可得答案．
本题考査二次不等式解法，不等式恒成立问题，考查化归转化思想，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：若，当时，，此时函数的值域不可能为，
故，当时，，
因为在区间上的值域为，
所以，
若，则，不合题意；
当时，不合题意；
当时，则，
所以，解得，，
故．
故答案为：．
由已知结合指数函数的单调性及值域对及的范围进行分类讨论分别进行求解即可．
本题主要考查了指数函数的性质在函数解析式求解中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：，，又，
，，；
是的子集，
或或或，
时，，；
时，，；
时，，；
时，由知，
综合可得实数的取值范围为．
【解析】根据题意可得，从而建立方程组即可求解；
由是的子集，可得或或或，再分类讨论建立方程即可求解．
本题考查集合间的关系，方程思想，分类讨论思想，属中档题．
18.【答案】解：，
令，可得或，
，为函数的单调增区间
令，可得，
为函数的单调减区间
时，函数取得极大值为；时，函数取得极小值为；
因为，，，，
所以当时，，当时，．
【解析】求导函数，进而可得函数的单调区间，由此可求函数的极值；
求出端点函数值，与极值比较，可求函数在区间上的最值．
本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查利用导函数求区间上的最值问题，属于中档题．
19.【答案】解：因为的开口向上，对称轴，
故函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
所以，；
由得，
由在上有解得在上有解，
令，则，
所以当时，取得最大值，
所以，
故的取值范围为．
【解析】由已知结合二次函数的性质可求得函数在上的单调性，进而可求函数取得最值的条件，可求；
代入整理后，结合不等式有解与最值关系的相互转化可求．
本题主要考查了二次函数闭区间最值求解，还考查了由不等式的存在性问题求解参数范围问题，体现了转化思想的应用，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可知，
解得．
．
所以．
当时，，
当且仅当，即时，．
当时，，当或时，．
因为，所以时，．
答：时销售额最大，最大日销售额为元．
【解析】本题利用分段函数模型解决实际问题，考查基本不等式以及二次函数的性质，属于中档题．
利用时，日销售量为千克，求解，然后求解该商品日销售额关于时间的函数．
分别求解和时的最大日销售额，再比较即可得到最大日销售额．
21.【答案】解：当时，
则，
求导可得，，
当时，，
当时，，
故曲线在点处的切线方程为：，即；
，
则，
函数在单调递增，
则，化简整理可得，，
令，
求导可得，，
当时，
则，，
故，即在区间上单调递减，
，不符合题意，
令，
则，
当，即时，
，，
故在区间上单调递增，即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，
，符合题意，
当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递减，即单调递减，
，
当时，，单调递减，
，
当时，，不符合题意，
综上所述，的取值范围为．
【解析】根据已知条件，先对求导，再结合导数的几何意义，即可求解；
先对求导，推得，构造函数，通过多次利用求导，研究函数的单调性，并对分类讨论，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于难题．
22.【答案】解：，
则，
当时，恒成立，在上单调递减，
当时，令得，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：由可知，当时，，
要证，只需证，
只需证，
设，，
则，
令得，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
即，
所以得证，
即得证．
【解析】先求出导函数，再对分和两种情况讨论，判断的符号，进而得到的单调性；
由可知，当时，，要证，只需证，只需证，设，，求导可得，从而证得．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数恒成立问题，属于中档题．
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