人教版高中数学必修第二册第九章 统计 达标检测（含解析）

人教版高中数学必修第二册第九章 统计 达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.下列关于简单随机抽样的说法正确的是(　　)
①它要求被抽取样本的总体中的个体数有限;②它是从总体中逐个地进行抽取;③不作特殊说明时,它是一种不放回抽样;④它是一种等可能抽样.
A.①②③④ B.③④
C.①②③ D.①③④
2.某学校高一年级有1 802人,高二年级有1 600人,高三年级有1 499人,现采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛,则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为(　　)
A.33,33,30 B.36,32,30
C.36,33,29 D.35,32,31
3.将一组数据分成5组,第一、三组的频率之和为0.24,第四组的频率是0.5,第二、五组的频率之比为3∶10,那么第二、五组的频率分别为(　　)
A.0.2,0.06 B.0.6,0.02
C.0.06,0.2 D.0.02,0.6
4.某企业六月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据分层随机抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:
产品类别 A B C
产品数量(件) 1 300
样本量 130
由于不小心,表格中A,C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了,统计员只记得A产品的样本量比C产品的样本量多10,根据以上信息,可得C产品的样本量是(　　)
A.70 B.80 C.90 D.100
5.已知10名工人生产同一零件,生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有(　　)
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
6.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位:分):
78　70　72　86　88　79　80　81　94　84　56　98
83　90　91
则这15人成绩的第80百分位数是(　　)
A.90 B.90.5 C.91 D.91.5
7.为了解某校高三学生的视力情况,随机抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数分别为x1,x2,x3,x4,且满足==,后6组的频数分别为y1,y2,y3,y4,y5,y6,且后6组各频数之间差值相同,设最大频率为a,视力在4.6到5.0之间的学生数为b,则a,b的值分别为(　　)
A.0.27,78 B.0.27,83 C.2.7,78 D.2.7,83
8.已知样本x1,x2,…,xn的平均数为,样本y1,y2,…,ym的平均数为,且≠,若样本x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym的平均数为=a+(1-a),其中0A.nm C.n=m D.不能确定
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.在某次考试中,如果你的成绩处在第95百分位数上,那么下列说法错误的是(　　)
A.你得了95分
B.你答对了95%的试题
C.至少有95%的考生得了和你一样或还要低的分数,且至少有5%的考生得了和你一样或还要高的分数
D.你排名在第95名
10.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行了指标测验(指标值满分为5分,分值高者为优),根据测验结果绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述正确的是(　　)
A.甲的数据分析素养优于乙
B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C.甲的六大素养整体水平优于乙
D.甲的六大素养中数据分析最差
11.某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考情况,得到如图所示的柱状图:
2016年高考数据统计
2019年高考数据统计
则下列结论正确的是(　　)
A.与2016年相比,2019年一本达线人数有所增加
B.与2016年相比,2019年二本达线人数增加了0.5倍
C.2016年与2019年艺体达线人数相同
D.与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加
12.在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标来显示疫情已受控制,以便向该地区居民显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例数计算,下列各选项中,一定符合上述指标的是(　　)
A.平均数≤3
B.平均数≤3且标准差s≤2
C.平均数≤3且极差小于或等于2
D.众数等于1且极差小于或等于4
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.下列调查的样本不合理的是　　　　.(填序号)
①某高中在校内发出一千张印有全校各班级的选票,要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”,以了解最受欢迎的教师是谁;
②为了解工人们对厂长的信任情况,通过选举从全厂10 000多名工人中确定100名代表,然后投票表决;
③为了解全市老年人的健康状况,到某老年公寓进行调查;
④为了解全班同学每天的睡眠时间,在每个小组中各随机选取3名学生进行调查.
14.如图是某一容量为200的样本的频率分布直方图,则样本数据落在[6,14)内的频数为　　　　,落在[2,14)内的频率为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
15.已知数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为3,标准差为4,则数据5x1-1,5x2-1,5x3-1,5x4-1,5x5-1的平均数和方差分别为　　　　.
16.某班的全体学生参加消防安全知识竞赛,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].估计本班学生的消防安全知识成绩的第90百分位数是　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)某市化工厂三个车间共有工人1 000名,各车间男、女工人数如下表:
第一车间 第二车间 第三车间
女工人 173 100 y
男工人 177 x z
已知在全厂工人中随机抽取1名,抽到第二车间男工人的可能性是0.15.
(1)求x的值;
(2)现用比例分配的分层随机抽样方法在全厂抽取50名工人,则应在第三车间抽取多少名工人
18.(本小题满分12分)对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下:
甲 60 80 70 90 70
乙 80 60 70 80 75
问:(1)甲、乙的平均成绩谁较好
(2)谁的各门功课发展较平衡
19.(本小题满分12分)从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛,根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.
试利用频率分布直方图估计:(结果保留小数点后一位)
(1)这50名学生成绩的众数与中位数;
(2)这50名学生的平均成绩.
20.(本小题满分12分)山东省教育厅为了了解和掌握2020年高考考生的实际答卷情况,随机地取出了100名考生的数学成绩(单位:分),将数据分成了11组,制成了如下所示的频率分布表:
分组 频数 频率
[80,85) 1 0.01
[85,90) 2 0.02
[90,95) 4 0.04
[95,100) 14 0.14
[100,105) 24 0.24
[105,110) 15 0.15
[110,115) 12 0.12
[115,120) 9 0.09
[120,125) 11 0.11
[125,130) 6 0.06
[130,135] 2 0.02
合计 100 1
(1)求样本数据的第60,80百分位数;
(2)估计2020年高考考生的数学成绩的90%分位数.
21.(本小题满分12分)某市2019年4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)列出频率分布表;
(2)作出频率分布直方图;
(3)根据国家标准,污染指数在0~50之间时,空气质量为优;在51~100之间时,为良;在101~150之间时,为轻度污染;在151~200之间时,为中度污染.请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.
22.(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到了下面的条形图.
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数(x,y∈N).
(1)若n=19,求y与x的函数关系式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件
答案全解全析
一、单项选择题
1.A　由简单随机抽样的定义可知①②③④均正确.
2.B　先将每个年级的人数凑整,得高一年级有1 800人,高二年级有1 600人,高三年级有1 500人,三个年级的总人数为1 800+1 600+1 500=4 900,
则每个年级人数占总人数的比例分别为,,,
因此,各年级抽取的人数分别为98×=36,98×=32,98×=30,故选B.
3.C　∵各个小组的频率和是1,
∴第二、五组的频率之和为1-0.24-0.5=0.26.
又∵第二、五组的频率之比为3∶10,
∴第二组的频率是0.26×=0.06,
第五组的频率是0.26-0.06=0.2.
4.B　设样本总量为x,则×1 300=130,解得x=300,
∴A产品和C产品在样本中共有300-130=170(件).
设C产品的样本量为a,
∵A产品的样本量比C产品的样本量多10,
∴a+a+10=170,解得a=80.故选B.
5.D　由题意得a=×(16+18+15+11+16+18+18+17+15+13)==15.7,b=16,c=18,
∴c>b>a.
6.B　把成绩按从低到高的顺序排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98.因为15×80%=12,所以这15人成绩的第80百分位数是=90.5.
7.A　由题意,4.5到4.6之间的频率为0.09,4.6到4.7之间的频率为0.27,后6组的频数差值相同,设差值为d,则6×0.27+15d=1-0.01-0.03-0.09,∴d=-0.05.
∴b=(0.27×4+6d)×100=78,a=0.27.
8.A　由题意得=,
=,
=
=·+·
=·+·=a+(1-a),
所以=a,=1-a,又0所以0<<<,所以n二、多项选择题
9.ABD　第95百分位数是指把数据从小到大排序后,这组数据中至少有95%的数据小于或等于这个值,且至少有5%的数据大于或等于这个值,故C中说法正确,A、B、D中说法错误.
10.AC　根据雷达图得到的数据如下表所示.
数学 抽象 逻辑 推理 数学 建模 直观 想象 数学 运算 数据 分析
甲 4 5 4 5 4 5
乙 3 4 3 3 5 4
由数据可知选AC.
11.AD　设2016年高考考生人数为x,则2019年高考考生人数为1.5x,
24%·1.5x-28%·x=8%·x>0,故选项A正确;
(40%·1.5x-32%·x)÷(32%·x)=,故选项B不正确;
8%·1.5x-8%·x=4%·x>0,故选项C不正确;
28%·1.5x-32%·x=10%·x>0,故选项D正确.
12.CD　A不一定符合指标,举反例:0,0,0,0,2,6,6,其平均数=2≤3,不符合指标.B不一定符合指标,举反例:0,3,3,3,3,3,6,其平均数=3,且标准差s=≤2,不符合指标.C对,若极差等于0或1,在≤3的条件下,显然符合指标;若极差等于2且≤3,则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能:(1)0,2,(2)1,3,(3)2,4,符合指标.D对,若众数等于1且极差小于或等于4,则最大值不超过5,符合指标.故选CD.
三、填空题
13.答案　①③
解析　①在班级旁画“√”与了解最受欢迎的教师没关系,故样本不符合有效性;
②样本合理,属于合理的调查;
③老年公寓中的老年人不能代表全市老年人,故样本缺少代表性;
④在每个小组中各随机选取3名学生进行调查,属于合理的调查.
故调查的样本不合理的是①③.
14.答案　136;0.76
解析　由题图得,样本数据落在[6,14)内的频率为0.08×4+0.09×4=0.68,
∵样本容量为200,∴样本数据落在[6,14)内的频数为0.68×200=136,
样本数据落在[2,14)内的频率为(0.02+0.08+0.09)×4=0.76.
15.答案　14,400
解析　由题意得,(x1+x2+…+x5)=3,即x1+x2+…+x5=15,
[(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x5-3)2]=42=16,
∴[(5x1-1)+(5x2-1)+…+(5x5-1)]=[5(x1+x2+…+x5)-5]=×5(x1+x2+…+x5)-1=15-1=14,
[(5x1-1-14)2+(5x2-1-14)2+…+(5x5-1-14)2]
={25[++…+(x5-3)2]}=400.
16.答案　93
解析　由题图得,从左到右的第一、二、三、四小组的频率分别是0.10,0.20,0.40,0.30.
第一、二、三小组的频率之和为0.10+0.20+0.40=0.70,
所以第90百分位数在第四小组[80,100]内,为80+20×≈93.
四、解答题
17.解析　(1)依题意,得=0.15,
解得x=150.(4分)
(2)∵第一车间的工人数是173+177=350,第二车间的工人数是100+150=250,
∴第三车间的工人数是1 000-350-250=400.(7分)
设应从第三车间抽取m名工人,则有=,解得m=20,
∴应在第三车间抽取20名工人.(10分)
18.解析　(1)由题表得,=×(60+80+70+90+70)=74,(2分)
=×(80+60+70+80+75)=73,(4分)
因为>,所以甲的平均成绩较好.(6分)
(2)由题表得,=[(60-74)2+(80-74)2+(70-74)2+(90-74)2+(70-74)2]=104,(8分)
=[(80-73)2+(60-73)2+(70-73)2+(80-73)2+(75-73)2]=56,(10分)
因为>,所以乙的各门功课发展较平衡.(12分)
19.解析　(1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数,所以众数应为75.(2分)
∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3,
∴前三个小矩形的面积的和为0.3,而第四个小矩形的面积为0.03×10=0.3,0.3+0.3>0.5,
∴中位数应位于[70,80)内.(4分)
设中位数为x,则0.03×(x-70)=0.5-0.3,
解得x≈76.7,故中位数约为76.7.(6分)
(2)平均成绩为45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+65×(0.02×10)+75×(0.03×10)+85×(0.024×10)+95×(0.016×10)=76.2.(12分)
20.解析　(1)从频率分布表得,前六组的频率之和为0.01+0.02+0.04+0.14+0.24+0.15=0.60,
前七组的频率之和为0.60+0.12=0.72,
前八组的频率之和为0.72+0.09=0.81,
前九组的频率之和为0.81+0.11=0.92,(4分)
由前六组的频率之和为0.60,得样本数据的第60百分位数为110,(5分)
样本数据的第80百分位数一定在第八组[115,120)内,由115+5×≈119.4,
估计样本数据的第80百分位数约为119.4.(8分)
(2)由前八组的频率之和为0.81,前九组的频率之和为0.92,知90%分位数一定在第九组[120,125)内,由120+5×≈124.1,估计2020年高考考生的数学成绩的90%分位数为124.1.(12分)
21.解析　(1)①求极差,103-45=58;
②确定组距与组数,以10为组距,分成7组:[41,51),[51,61),[61,71),[71,81),[81,91),[91,101),[101,111];
③求出各组的频数,计算频率,列出频率分布表:
分组 频数 频率
[41,51) 2
[51,61) 1
[61,71) 4
[71,81) 6
[81,91) 10
[91,101) 5
[101,111] 2
(4分)
(2)根据频率分布表,作出频率分布直方图,如图所示.
(8分)
(3)答对下述两条中的一条即可.
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平,占当月天数的;有26天处于良的水平,占当月天数的;处于优或良的天数为28,占当月天数的,说明该市空气质量基本良好.
②轻度污染有2天,占当月天数的;污染指数在80以上的接近轻度污染的天数为15,加上处于轻度污染的天数,共17天,占当月天数的,超过50%,说明该市空气质量有待进一步改善.(12分)
22.解析　(1)当x≤19时,y=3 800;
当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.
所以y与x的函数关系式为
y=(x∈N).(3分)
(2)由条形图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(6分)
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为3 800元,20台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为4 300元,10台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000元.(9分)
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为4 000元,10台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).(11分)
比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)