人教版高一数学下学期必修第二册第七章《复数》同步单元必刷基础卷(含解析)

第七章《复数》同步单元必刷卷（基础卷）
单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．（2022·浙江湖州·）复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022·全国·（文））已知复数，则（ ）．
A． B．2 C． D．
3．（2021·安徽·六安一中（文））的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·安徽·淮南第一中学（理））已知复数，则在复平面内表示复数的点位于（ ）
A．实轴上 B．虚轴上 C．第三象限 D．第四象限
5．（2022·江苏海安·）已知复数z满足(1－i)z＝2＋3i（i为虚数单位），则z＝（ ）
A．－＋i B．＋i
C．－i D．－－i
6．（2022·吉林吉林·（理））若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·安徽阜阳·（文））为虚数单位，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·陕西·（文））（ ）
A． B． C． D．
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．（2021·江苏·丰县宋楼中学）已知是复数，下列结论中不正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
10．（2022·全国·）若实数，满足，则（ ）
A．的共轭复数为 B．
C．的值可能为 D．
11．（2021·河北·沧州市一中）下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）
A．复数是实数的充要条件是
B．复数是纯虚数的充要条件是
C．若、互为共轭复数，则是实数
D．若、互为共轭复数，则
12．（2021·重庆巴蜀中学）已知是虚数单位，是复数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面上对应的点位于第一象限 B．在复平面上对应的点位于第二象限
C． D．
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2021·北京·北师大实验中学）若复数，则___________.
14．（2019·北京·（文））复数的虚部为______．
15．（2022·江苏常州·）是虚数单位，已知复数满足等式，则的模________．
16．（2021·全国·）设复数，x，，且，则满足的复数z共有______个．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2021·全国·）计算下列各题：
(1)；(2)；(3)；(4).
18．（2021·上海·高一课时练习）已知复数.
（1）若在复平面中所对应的点在直线上，求的值；
（2）求的取值范围.
19．（2020·全国·高一课时练习）已知复数 (，为虚数单位)
(1)若是纯虚数，求实数的值；
(2)若，设 ()，试求.
20．（2021·福建省宁化第一中学高一阶段练习）（1）已知关于的实系数方程，若是方程的一个复数根，求出，的值；
（2）已知，，均为实数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
21．（2021·上海·高一课时练习）已知复数，是实数．
（1）求复数z；
（2）若复数是关于x的方程的根，求实数b和c的值．
22．（2020·全国·高一专题练习）已知i为虚数单位，关于x的方程有实数根b.
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足，求z为何值时，有最小值，并求出的最小值.
第七章《复数》同步单元必刷卷（基础卷）全解全析
1．A
【解析】
【分析】
由题知，进而根据几何意义求解即可.
【详解】
解：，
所以复数（是虚数单位）在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A
2．D
【解析】
【分析】
复数代数形式的乘法运算和模长的计算.
【详解】
因为，
所以，故选D．
3．C
【解析】
【分析】
先用复数除法公式求出，进而求出的共轭复数.
【详解】
，则的共轭复数为.
故选：C
4．B
【解析】
【分析】
利用复数的乘法及除法运算可得，即得.
【详解】
∵复数，
∴，
∴在复平面内表示复数的点位于虚轴上.
故选：B.
5．A
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则求解.
【详解】
∵(1－i)z＝2＋3i,
∴.
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
根据复数的三角形式的定义直接判断.
【详解】
复数的模为1，辐角为，
所以复数的三角形式为.
故选：A
7．B
【解析】
【分析】
利用复数的除法与减法化简可得复数.
【详解】
由，得.
故选：B.
8．A
【解析】
【分析】
由复数的除法运算直接化简即可.
【详解】
.
故选：A
9．ABC
【解析】
【分析】
举反例，可判断选项A、B，举反例，可判断选项C，设，，分别计算、即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A：取，，，，
满足，但与是两个复数，不能比较大小，故选项A不正确；
对于选项B：取，，，
而无意义，故选项B不正确；
对于选项C：取，，则，但是，，故选项C不正确；
对于选项D：设，，则
，
，，所以，所以，故选项D正确.
故选：ABC.
10．BCD
【解析】
【分析】
由复数相等的定义求出的关系，并求得的可能值，然后判断各选项.
【详解】
因为.
所以，，
即，，则.解得或，
故A错误，B，C，D均正确.
故选：BCD.
11．ACD
【解析】
【分析】
根据复数的类型确定充要条件，可判断A、B的正误；由共轭复数的概念及性质可判断C、D的正误.
【详解】
是实数的充要条件，纯虚数的充要条件是，故A正确，B错误；
、互为共轭复数，则为实数，C、D正确；
故选：ACD
12．BD
【解析】
【分析】
根据复数的乘除运算求出，利用复数的几何意义可判断A、B；利用复数模的求法可判断C、D.
【详解】
由，
则，
所以在复平面上对应的点为，
即在复平面上对应的点位于第二象限.
所以.
故选：BD
13．
【解析】
【分析】
根据复数乘法整理成复数一般形式，再由复数模的定义即可求得
【详解】
，所以
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
利用复数乘法计算公式化简后，即得复数的虚部.
【详解】
，所以复数的虚部为.
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
以复数运算规则和复数模的运算性质对已知条件进行变形整理，是本题的简洁方法.
【详解】
由，可得
则有，即，故有
故答案为：
16．4
【解析】
【分析】
方法一(代数运算)：联立方程组求解；
方法二(几何意义)：利用复数的几何意义求解﹒
【详解】
方法一(代数运算)：由，得．又，联立，解得，
故答案为：4
方法二(几何意义)：由，知复数在复平面内对应的点构成一个单位圆．又，故复数在复平面内对应的点落在直线上，显然直线与单位圆有四个交点，
故答案为：4
17．(1)1＋7i
(2)1－34i
(3)－1
(4)5＋i
【解析】
【分析】
应用复数的加减乘除、乘方等四则运算及复数乘除的几何性质化简复数即可.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
18．（1）；（2）.
【解析】
（1）化简，得在复平面中所对应的点的坐标，代入直线计算；（2）代入模长公式表示出，再利用二次函数的性质求解最值即可.
【详解】
（1）化简得，所以在复平面中所对应的点的坐标为，在直线上，所以，得.
（2），因为，
且，所以，所以的取值范围为.
19．（1）；（2）
【解析】
【详解】
分析：（Ⅰ）先把复数整理成的形式，由虚部等于0得到实数的值；
（Ⅱ）把复数整理成的形式，根据复数相等的条件得到的值进而求出．
详解：（Ⅰ）若是纯虚数，则，
解得.
（Ⅱ）若，则.
∴
，
∴，，∴.
点睛：本题考查纯虚数和复数相等的概念，以及复数的四则运算．对于复数要掌握常规运算技巧和常规思路，其次要熟记复数 的实部、虚部、模、几何意义、共轭复数等知识点．
20．（1） （2）
【解析】
（1）把代入方程即可求解；
（2）设，计算出，均为实数，即虚部为0，求出x,y的值，，根据所在象限列不等式组得解.
【详解】
（1）由题得，
解得
（2）设，为实数，.为实数，，.，
由已知得解得，即的取值范围是.
【点睛】
此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于根据复数的运算法则准确计算求解.
21．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据复数的除法运算，化简得，结合是实数，列出方程，即可求解；
（2）根据是方程的根，得到，结合复数相等的条件，列出方程，即可求解.
【详解】
（1）因为，
可得，
又由是实数，可得，解得，所以．
（2）因为是方程的根，
所以，即，
可得，解得.
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，以及复数相等的概念求参数，其中解答中熟记复数的除法运算法则，以及复数相等的充要条件列出方程组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
22．（1）；（2）
【解析】
（1）方程有实数根b，可得，根据复数相等列出式子解出a，b的值即可；
（2）设（x，），由，得，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示一个圆，再结合图形，可得z，再求出，进而求出最小值即可.
【详解】
（1）是方程的实数根，
，，解得.
（2）设（x，），由，得，
即，它表示复数z对应的点Z到点的距离为，
构成的图形是以为圆心，为半径的圆，如图所示.
当点Z在所在的直线上时，有最大值或最小值，，半径，
当时，有最小值，且.