人教版高一数学下学期必修第二册第七章《复数》同步单元必刷培优卷(含解析)

第七章《复数》同步单元必刷卷（培优卷）
单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．（2022·海南·）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022·浙江·温州中学）若复数满足，（其中为虚数单位）则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2021·安徽·泾县中学（文））已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南南乐·（理））已知复数，其中i是虚数单位，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心）已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．（2022·江苏通州·）（ ）
A．1 B．i C．－1 D．－i
7．（2022·安徽亳州·（理））已知，则的共辄复数（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山东枣庄·）已知为虚数单位，则（ ）．A．1 B． C．I D．
多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．（2022·广东·金山中学）下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A． B．
C．的共轭复数为 D．的虚部为
10．（2021·重庆实验外国语学校）下列四种说法中正确的有（ ）
A．自然数集整数集有理数集实数集复数集C
B．（i为虚数单位）
C．复数中，实部为1，虚部为
D．（i为虚数单位）
11．（2021·海南·海港学校）已知复数，，则（ ）
A． B．
C．对应的点在复平面的虚轴上 D．在复平面内，设，对应的点为，，则
12．（2021·全国全国·）若复数满足，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点在直线上 D．的虚部为
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2022·重庆市育才中学）已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数______．
14．（2021·江苏·金陵中学）若复数满足，则的最大值是______.
15．（2022·全国·）已知是虚数单位，若，则的值为______.
16．（2021·天津·耀华中学）复数的虚部是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2021·全国·高二课时练习（文））实数m分别为何值时，复数z（m2﹣3m﹣18）i是
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数．
18．（2021·江苏·高二专题练习）（1）；（2）
（3）；（4）；
（5）；（6）.
19．（2021·全国·）已知复数z的模为，且z的实部和虚部是相等的正数．
(1)设，求；
(2)如果，求实数a、b的值．
20．（2021·全国·高一单元测试）已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）．
（1）设复数，求；
（2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
21．（2021·安徽省郎溪中学高二阶段练习（文））已知i为虚数单位，关于x的方程有实数根b.
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足，求z为何值时，有最小值，并求出的最小值.
22．（2021·江苏省苏州实验中学高一期中）设是虚数是实数，且．
（1）求的值及的实部的取值范围．
（2）设，求证：为纯虚数；
（3）求的最小值．
第七章《复数》同步单元必刷卷（培优卷）全解全析
1．C
【解析】
【分析】
先对已知式子化简求出复数，从而可得答案
【详解】
，
所以z对应的点位于第三象限.
故选：C
2．B
【解析】
【分析】
由复数相等解得复数，再去求复数的模即可解决.
【详解】
令则
由，可得，解之得
故，
故选：B
3．D
【解析】
【分析】
先对已知式子化简求出复数，然后求的值
【详解】
因为，
所以，
所以，
故选：D.
4．B
【解析】
【分析】
先通过复数的四则运算求出z，进而判断象限.
【详解】
，所以在复平面内z对应的点位于第二象限．
故选：B．
5．A
【解析】
【分析】
由复数除法得出，从而得出对应点的坐标后可得结论．
【详解】
∵，∴，则z在复平面内对应点的坐标为，∴z在复平面内对应的点在第一象限．
故选：A．
6．C
【解析】
【分析】
由复数的除法和复数的乘方运算计算．
【详解】
，
所以．
故选：C．
7．B
【解析】
【分析】
先利用复数除法运算得到，进而求出的共轭复数.
【详解】
，则.
故选：B
8．B
【解析】
【分析】
由于，故可以化简为，即可得到答案.
【详解】
.
故选：B.
9．ABD
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的基本概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
由复数，
则，所以A正确；
因为，所以B正确；
根据共轭复数的概念，可得复数的共轭复数为，所以C不正确；
根据复数的基本概念可得，复数的虚部为，所以D正确.
故选：ABD.
10．AD
【解析】
【分析】
根据复数的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
A选项，有关自然数集、整数集、有理数、实数集、复数集的包含关系正确.
B选项，复数不能比较大小，B错误.
C选项，虚部不含，C错误.
D选项，，所以D正确.
故选：AD
11．BD
【解析】
【分析】
A求出来判断；
B求出来判断；
C求出来判断；
D求出来判断.
【详解】
，A错误；
，B正确；
，其在复平面上对应的点为，不在虚轴上，C错误；
在复平面内，设，对应的点为，则，D正确.
故选：BD,
12．BCD
【解析】
【分析】
根据复数的基本概念和复数的运算逐项判断即可.
【详解】
设，则，由， 得，
整理得，
所以，解得，.
所以，所以，故选项A错误；
因为，所以，所以，B正确；在复平面内对应的点为，显然在直线上，C正确；
因为，所以的虚部为，D正确.
故选：BCD.
13．
【解析】
【分析】
应用复数的除法化简，再根据其为纯虚数可得，即可求参数.
【详解】
由题设，为纯虚数，
∴，可得.
故答案为：.
14．3
【解析】
【分析】
设，则，根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，从而求得最大值.
【详解】
设，则，
根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，
则最大值为，
故答案为：3
15．0
【解析】
【分析】
运用复数四则运算及复数相等的定义即可得解.
【详解】
因为，
所以，.
故答案为:
16．
【解析】
【分析】
根据复数除法法则化简即得结果.
【详解】
因为，所以虚部为.
故答案为：
17．（1）m＝6；（2）m≠﹣3且m≠6；（3）m＝1或m．
【解析】
【分析】
（1）根据复数是实数，得虚部为零即可．
（2）根据复数是虚数，则虚部不为零即可．
（3）根据复数是纯虚数，得实部为零，虚部不为0．
【详解】
解：（1）若复数是实数，则，
即，得m＝6；
（2）如复数是虚数，则，
即，则m≠﹣3且m≠6；
（3）如复数是纯虚数，则，
则，
即m＝1或m．
18．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
【解析】
【分析】
根据复数四则运算法则计算、化简即可求得结果.
【详解】
（1），又，，，
；
（2）；
（3）；
（4），，
；
（5）；
（6）
.
19．(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）第一步求出复数复数z的实部与虚部，可以设，所以，代入求解
（2）由（1）可知代入可以利用对应系数相等求的的值.
(1)
，
(2)
由，得解得，
故答案为：；，.
20．（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)先根据条件得到，进而得到，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到，根据复数对应的点在第一象限得到不等式，进而求解.
【详解】
∵，∴.∴.
又∵为纯虚数，∴，解得．∴.
（1），∴；
（2）∵，∴，
又∵复数所对应的点在第一象限，
∴，解得：．
【点睛】
如果是复平面内表示复数的点，则①当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限;②当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内．
21．（1）；（2）
【解析】
（1）方程有实数根b，可得，根据复数相等列出式子解出a，b的值即可；
（2）设（x，），由，得，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示一个圆，再结合图形，可得z，再求出，进而求出最小值即可.
【详解】
（1）是方程的实数根，
，，解得.
（2）设（x，），由，得，
即，它表示复数z对应的点Z到点的距离为，
构成的图形是以为圆心，为半径的圆，如图所示.
当点Z在所在的直线上时，有最大值或最小值，，半径，
当时，有最小值，且.
【点睛】
本题考查复数相等的概念，考查复数及其共轭复数，考查复数的模，考查复数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
22．（1）；（2）见解析；（3） 1.
【解析】
【详解】
（1）因为z是虚数,∴可设z=x+yiR,且、
∴ii
可得，
此时，；
从而证明u是纯虚数；
（2）
；
（3）i，然后化简和计算得到